ThanhTam
14-01-2009, 09:54 PM
1. Tóm tắt lý thuyết:
[Only registered and activated users can see links]
2. Bài giải mẫu:
1. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân:
[Only registered and activated users can see links] %5Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bdx%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx% 2B1%7D%7D.%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2Bx%5E2%7D%7D%7D%7 D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Xét:
[Only registered and activated users can see links] %7B%7B%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2 Bx%5E2%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Rõ ràng:
[Only registered and activated users can see links] +%5Cge++1&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ta sẽ tìm cách sử dụng dấu hiệu so sánh 2 bằng cách xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x).
Muốn vậy, ta sẽ thay thế các vô cùng bé (vô cùng lớn) khi [Only registered and activated users can see links] có trong f(x) bằng các VCB (VCL) tương đương .
Ở đây ta có:
[Only registered and activated users can see links] x%5E%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D++%2C+%7B%5Csqrt% 5B3%5D%7B1%2Bx%5E2%7D%7D+%5Csim+%7Bx%5E%7B+%5Cdfra c%7B2%7D%7B3%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Do đó: [Only registered and activated users can see links] %7B%7B%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%7D.%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1% 2Bx%5E2%7D%7D%7D%7D+%5Csim+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx %5E%7B+%5Cdfrac%7B7%7D%7B6%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Vậy hàm số g(x) cần xét ở đây là:
[Only registered and activated users can see links] Bx%5E%7B+%5Cdfrac%7B7%7D%7B6%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] y%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%7D++ %3D+1&bg=ffffff&fg=333333&s=0 (việc kiểm tra dành cho bạn)
Mà: [Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B+%5Cdfrac%7 B7%7D%7B6%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 hội tụ (do s = [Only registered and activated users can see links]).
Vậy theo dấu hiệu so sánh ta có: [Only registered and activated users can see links] %5Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bdx%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx% 2B1%7D%7D.%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2Bx%5E2%7D%7D%7D%7 D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 hội tụ.
2.2.Ví dụ 2 : Xét sự hội tụ của tích phân:
[Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bx%2Bsinx%7D%7Bx%5E%7B2%7D .%28x+-+sinx%29%7D%7D+%5C%2C+dx&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ta tìm các xây dựng hàm g(x) bằng cách thay thế các VCL tương đương.
Do [Only registered and activated users can see links] y%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bsinx%7D%7Bx%7D%7D+%3D+0&bg=ffffff&fg=333333&s=0 nên x là VCL bậc cao hơn sinx.
Vậy: [Only registered and activated users can see links]
Nên: [Only registered and activated users can see links] E%7B2%7D.%28x-sinx%29%7D%7D+%5Csim+%7B+%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bx%5E%7B 3%7D%7D%7D+%5Csim+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7 D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Vậy hàm g(x) cần xét là: [Only registered and activated users can see links]
Đến đây dễ kết luận tích phân cần xét là hội tụ.
2.3. Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân:
[Only registered and activated users can see links] 5Cinfty%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Rõ ràng, không thể tính trực tiếp tích phân này vì hàm lấy tích phân không thể có nguyên hàm là các hàm sơ cấp.
Mặc dù, [Only registered and activated users can see links] là VCB khi [Only registered and activated users can see links] nhưng ta không thể tìm được VCB tương đương nào để thay thế. Cũng vậy, nếu viết [Only registered and activated users can see links] 3%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 thì ta cũng không chỉ ra được VCL tương đương nào với [Only registered and activated users can see links]
Vậy không thể xây dựng hàm g(x) tương đương.
Tích phân này cũng không thể sử dụng dấu hiệu Dirichlet để so sánh.
Ta tìm cách chặn hàm f(x) bởi các bất đẳng thức.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] t+%5Cge+0+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Do vậy: [Only registered and activated users can see links] 7D+%3C+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Tuy nhiên, ta không thể xét hàm [Only registered and activated users can see links] 5E3%7D+%2C+%5Cforall+t+%5Cge+0+&bg=ffffff&fg=333333&s=0. Vì hàm f(x) xác định tại x = 0 trong khi hàm g(x) lại không xác định. Nếu không chú ý ta sẽ dễ dẫn đến ngộ nhận là [Only registered and activated users can see links] fty%7D%7Bf%28x%29%7D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 phân kỳ vì [Only registered and activated users can see links] fty%7D%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D%7D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 phân kỳ.
Ta phải xét trên các khoảng mà cả f(x) lẫn g(x) đều cùng xác định. Do đó:
[Only registered and activated users can see links] 5Cinfty%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits_%7B0% 7D%5E%7B1%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%2B+%5Cint%5Climits_%7B1% 7D%5E%7B%2B+%5Cinfty%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%5C%5C+%5Cqquad+%5Cle+%5C int%5Climits_%7B0%7D%5E%7B1%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%2B+%5Cint_%7B1%7D%5E%7B% 2B+%5Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B3%7D%7 D%7D+%5C%2C+dx&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Tích phân đầu tiên ở vế phải là tích phân xác định nên hội tụ, tích phân còn lại cũng hội tụ (do s = 3 > 1) .
Vậy theo dấu hiệu so sánh thì tích phân cần xét phải hội tụ.
Chú ý: [Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D%7B+%5Cdfrac%7Bsinx%7D%7Bx%5E2%7D%7D+%5C% 2C+dx+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 hội tụ, nhưng [Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bsinx%7D%7Bx%5E2%7D%7D+%5C %2C+dx+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 phân kỳ.
(Nguồn: Blog thunhan)
[Only registered and activated users can see links]
2. Bài giải mẫu:
1. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân:
[Only registered and activated users can see links] %5Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bdx%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx% 2B1%7D%7D.%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2Bx%5E2%7D%7D%7D%7 D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Xét:
[Only registered and activated users can see links] %7B%7B%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2 Bx%5E2%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Rõ ràng:
[Only registered and activated users can see links] +%5Cge++1&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ta sẽ tìm cách sử dụng dấu hiệu so sánh 2 bằng cách xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x).
Muốn vậy, ta sẽ thay thế các vô cùng bé (vô cùng lớn) khi [Only registered and activated users can see links] có trong f(x) bằng các VCB (VCL) tương đương .
Ở đây ta có:
[Only registered and activated users can see links] x%5E%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D++%2C+%7B%5Csqrt% 5B3%5D%7B1%2Bx%5E2%7D%7D+%5Csim+%7Bx%5E%7B+%5Cdfra c%7B2%7D%7B3%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Do đó: [Only registered and activated users can see links] %7B%7B%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%7D.%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1% 2Bx%5E2%7D%7D%7D%7D+%5Csim+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx %5E%7B+%5Cdfrac%7B7%7D%7B6%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Vậy hàm số g(x) cần xét ở đây là:
[Only registered and activated users can see links] Bx%5E%7B+%5Cdfrac%7B7%7D%7B6%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] y%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%7D++ %3D+1&bg=ffffff&fg=333333&s=0 (việc kiểm tra dành cho bạn)
Mà: [Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B+%5Cdfrac%7 B7%7D%7B6%7D%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 hội tụ (do s = [Only registered and activated users can see links]).
Vậy theo dấu hiệu so sánh ta có: [Only registered and activated users can see links] %5Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bdx%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx% 2B1%7D%7D.%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2Bx%5E2%7D%7D%7D%7 D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 hội tụ.
2.2.Ví dụ 2 : Xét sự hội tụ của tích phân:
[Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bx%2Bsinx%7D%7Bx%5E%7B2%7D .%28x+-+sinx%29%7D%7D+%5C%2C+dx&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ta tìm các xây dựng hàm g(x) bằng cách thay thế các VCL tương đương.
Do [Only registered and activated users can see links] y%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bsinx%7D%7Bx%7D%7D+%3D+0&bg=ffffff&fg=333333&s=0 nên x là VCL bậc cao hơn sinx.
Vậy: [Only registered and activated users can see links]
Nên: [Only registered and activated users can see links] E%7B2%7D.%28x-sinx%29%7D%7D+%5Csim+%7B+%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bx%5E%7B 3%7D%7D%7D+%5Csim+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7 D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Vậy hàm g(x) cần xét là: [Only registered and activated users can see links]
Đến đây dễ kết luận tích phân cần xét là hội tụ.
2.3. Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân:
[Only registered and activated users can see links] 5Cinfty%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Rõ ràng, không thể tính trực tiếp tích phân này vì hàm lấy tích phân không thể có nguyên hàm là các hàm sơ cấp.
Mặc dù, [Only registered and activated users can see links] là VCB khi [Only registered and activated users can see links] nhưng ta không thể tìm được VCB tương đương nào để thay thế. Cũng vậy, nếu viết [Only registered and activated users can see links] 3%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 thì ta cũng không chỉ ra được VCL tương đương nào với [Only registered and activated users can see links]
Vậy không thể xây dựng hàm g(x) tương đương.
Tích phân này cũng không thể sử dụng dấu hiệu Dirichlet để so sánh.
Ta tìm cách chặn hàm f(x) bởi các bất đẳng thức.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] t+%5Cge+0+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Do vậy: [Only registered and activated users can see links] 7D+%3C+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Tuy nhiên, ta không thể xét hàm [Only registered and activated users can see links] 5E3%7D+%2C+%5Cforall+t+%5Cge+0+&bg=ffffff&fg=333333&s=0. Vì hàm f(x) xác định tại x = 0 trong khi hàm g(x) lại không xác định. Nếu không chú ý ta sẽ dễ dẫn đến ngộ nhận là [Only registered and activated users can see links] fty%7D%7Bf%28x%29%7D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 phân kỳ vì [Only registered and activated users can see links] fty%7D%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D%7D+%5C%2C+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 phân kỳ.
Ta phải xét trên các khoảng mà cả f(x) lẫn g(x) đều cùng xác định. Do đó:
[Only registered and activated users can see links] 5Cinfty%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits_%7B0% 7D%5E%7B1%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%2B+%5Cint%5Climits_%7B1% 7D%5E%7B%2B+%5Cinfty%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%5C%5C+%5Cqquad+%5Cle+%5C int%5Climits_%7B0%7D%5E%7B1%7D+e%5E%7B-x%5E%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%2B+%5Cint_%7B1%7D%5E%7B% 2B+%5Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B3%7D%7 D%7D+%5C%2C+dx&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Tích phân đầu tiên ở vế phải là tích phân xác định nên hội tụ, tích phân còn lại cũng hội tụ (do s = 3 > 1) .
Vậy theo dấu hiệu so sánh thì tích phân cần xét phải hội tụ.
Chú ý: [Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D%7B+%5Cdfrac%7Bsinx%7D%7Bx%5E2%7D%7D+%5C% 2C+dx+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 hội tụ, nhưng [Only registered and activated users can see links] Cinfty%7D+%7B+%5Cdfrac%7Bsinx%7D%7Bx%5E2%7D%7D+%5C %2C+dx+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 phân kỳ.
(Nguồn: Blog thunhan)