blue.cloudy
21-07-2009, 07:32 PM
Chủ Đề I: Mệnh Đề - Tập Hợp I. Mệnh đề:
Mệnh đề là một câu nói đảm bảo các tính chất: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Mệnh đề chứa biến: Là một câu nói có chứa một giá trị chưa biết (biến) chưa biết rõ tính đúng, sai nhưng với mỗi giá trị của biến thì câu nói đó trở thành mệnh đề.
Kí hiệu các mệnh đề: Kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: [Only registered and activated users can see links] ....
Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề [Only registered and activated users can see links] mệnh đề phủ định của nó là "Không phải [Only registered and activated users can see links]" và được kí hiệu là [Only registered and activated users can see links]
Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu [Only registered and activated users can see links]
Mệnh đề [Only registered and activated users can see links] chỉ sai khi [Only registered and activated users can see links] đúng [Only registered and activated users can see links] sai.
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] là giả thiết, [Only registered and activated users can see links] là kết luận. hoặc [Only registered and activated users can see links] là điều kiện đủ của [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] là điều kiện cần để có [Only registered and activated users can see links]
Mệnh đề đảo: Mệnh đề [Only registered and activated users can see links] là mệnh đề đảo của [Only registered and activated users can see links]
Hai mệnh đề tương đương: Hai mệnh đề [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] gọi là tương đương nếu cả [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] đều đúng. Khi đó kí hiệu: [Only registered and activated users can see links]
Khi [Only registered and activated users can see links] ta nói: [Only registered and activated users can see links] tương đương với [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] là điều kiện cần và đủ để có [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
Kí hiệu [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] : Dùng trong các mệnh đề chứa biến.
II. Tập hợp:
1. Tập hợp:
Tập hợp: là một khái niệm cơ bản của Toán học, không định nghĩa, chỉ có thể nhận biết. Ta thường kí hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa: [Only registered and activated users can see links] ...
Các cách xác định tập hợp:
a. Liệt kê các phần tử: Ví dụ: [Only registered and activated users can see links]
b. Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp: Ví dụ: [Only registered and activated users can see links]
Ta thường minh họa tập hợp bởi phần mặt phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.
Tập rỗng: Tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu: [Only registered and activated users can see links]
Tập con: [Only registered and activated users can see links] là tập con của [Only registered and activated users can see links] nếu mọi phần tử của [Only registered and activated users can see links] cũng là phần tử của [Only registered and activated users can see links] kí hiệu [Only registered and activated users can see links]
Hai tập hợp bằng nhau: Tập hợp [Only registered and activated users can see links] và tập hợp [Only registered and activated users can see links] được gọi là bằng nhau nếu [Only registered and activated users can see links] là tập con của [Only registered and activated users can see links] và ngược lại.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao của hai tập hợp: gồm các phần tử chung của hai tập hợp. Kí hiệu [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%5Cin%20A%20%5C%5C%20x%5C in%20B%20%5Cend%7Bcases%7D.
Hợp của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong [Only registered and activated users can see links] hoặc nằm trong [Only registered and activated users can see links] Kí hiệu: [Only registered and activated users can see links]
Hiệu của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong [Only registered and activated users can see links] mà không nằm trong [Only registered and activated users can see links] Kí hiệu [Only registered and activated users can see links]
Phần bù của tập hợp [Only registered and activated users can see links] trong [Only registered and activated users can see links] gồm các phần tử nằm trong [Only registered and activated users can see links] mà không nằm trong [Only registered and activated users can see links] (khi [Only registered and activated users can see links]), chính là hiệu [Only registered and activated users can see links]
III. Các Tập hợp số:
1. Các tập hợp số:
Tập số tự nhiên : [Only registered and activated users can see links]
Tập số nguyên [Only registered and activated users can see links] Gồm các số tự nhiên và số âm.
Tập số hữu tỉ [Only registered and activated users can see links] gồm các số nguyên và các phân số dạng [Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là các số nguyên.
Tập số thực [Only registered and activated users can see links] Gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Tập số phức [Only registered and activated users can see links] Gồm các số thực và các số ảo dạng [Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] là số thực.
2. Các tập con thường gặp của tập số thực:
a) Khoảng:
[Only registered and activated users can see links] Cb%7D
[Only registered and activated users can see links] quad%20a%3Cx%7D
[Only registered and activated users can see links]
b) Đoạn:
[Only registered and activated users can see links] %20x%5Cleq%20b%7D
c) Nửa khoảng:
[Only registered and activated users can see links] %20x%3Cb%7D
[Only registered and activated users can see links] Cleq%20b%7D
[Only registered and activated users can see links] d%20a%5Cleq%20x%7D
[Only registered and activated users can see links] q%20b%7D
IV. Số gần đúng, sai số:
1. Sai số tuyệt đối: Nếu a là số gần đúng của số đúng [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng [Only registered and activated users can see links]
Sai số tuyệt đối chỉ đại diện cho độ sai lệch của một phép đo (tính toán) so với số đúng.
Độ chính xác của một phép đo (tính toán) là [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links] và quy ước [Only registered and activated users can see links] .
2. Sai số tương đối: Nếu [Only registered and activated users can see links] là sai số tuyệt đối của phép đo (tính toán) thì [Only registered and activated users can see links] Ba%7D%7D%7B%5Coverline%7Ba%7D%7D được gọi là sai số tương đối của phép đo (tính toán) đó. Sai số tương đối thể hiện độ chính xác của một phép đo hơn sai số tuyệt đối.
3. Quy tắc làm tròn số:
Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số 0.
Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số 0 và chữ số liền bên trái nó cộng thêm một đơn vị.
Chủ Đề II: Hàm Số Bậc Nhất - Hàm Số Bậc Hai 1. Hàm số:
Hàm số là một quy tắc tương ứng từ một tập con [Only registered and activated users can see links] của tập số thực [Only registered and activated users can see links] vào [Only registered and activated users can see links] sao cho mỗi giá trị [Only registered and activated users can see links] tương ứng với duy nhất một giá trị [Only registered and activated users can see links] Khi đó [Only registered and activated users can see links] gọi là tập xác định của hàm số. Tập hợp tất cả các giá trị [Only registered and activated users can see links] tương ứng với giá trị [Only registered and activated users can see links] được gọi là tập giá trị của hàm số. Kí hiệu hàm số: [Only registered and activated users can see links]
Cách cho một hàm số:
Cho hàm số bằng bảng giá trị tương ứng.
Cho hàm số bằng biểu đồ.
Cho hàm số bằng biểu thức [Only registered and activated users can see links])
Tập xác định của hàm số: Là tập hợp tất cả các giá trị [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn biểu thức hàm số [Only registered and activated users can see links] có nghĩa.
Đồ thị của một hàm số: Là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ [Only registered and activated users can see links] với mọi [Only registered and activated users can see links]
Sự biến thiên của hàm số:
Hàm số là đồng biến trên [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links] %28a;b%29 thì [Only registered and activated users can see links] và nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links] %28a;b%29 thì [Only registered and activated users can see links]
Tính chẵn lẻ của hàm số:
Tập [Only registered and activated users can see links] là tập đối xứng nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links]
Hàm số [Only registered and activated users can see links] là hàm số chẵn nếu tập xác định [Only registered and activated users can see links] của nó là tập đối xứng và [Only registered and activated users can see links] Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.
Hàm số [Only registered and activated users can see links] là hàm số lẻ nếu tập xác định D của nó là tập đối xứng và [Only registered and activated users can see links] Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
2. Hàm số bậc nhất:
[Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Tập xác định: [Only registered and activated users can see links]
Chiều biến thiên:
Với [Only registered and activated users can see links] thì hàm số đồng biến trên [Only registered and activated users can see links]
Với [Only registered and activated users can see links] thì hàm số nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links]
Bảng biến thiên:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị:
Đồ thị của hàm số bậc nhất [Only registered and activated users can see links] là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] (nếu [Only registered and activated users can see links]) và luôn cắt hai trục tọa độ tại hai điểm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Hàm hằng [Only registered and activated users can see links] Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trụ tung tại điểm [Only registered and activated users can see links]
Hàm số [Only registered and activated users can see links]
Hàm số này có thể viết dưới dạng: [Only registered and activated users can see links] %5Cgeq%200%20%5C%5C%20-x,%5Cqquad%20x%3C0%5Cend%7Bcases%7D
Từ đó có thể suy ra hàm số đồng biến trên [Only registered and activated users can see links] và nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links]
Bảng biến thiên:
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị:
[Only registered and activated users can see links]
Với [Only registered and activated users can see links] thì đồ thị là phần của đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và với [Only registered and activated users can see links] thì đồ thị là phần của đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
3. Hàm số bậc hai:
[Only registered and activated users can see links] %5Cin%20R,%5Cquad%20a%5Cneq%200%29.
Tập xác định: [Only registered and activated users can see links]
Chiều biến thiên:
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hàm số nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links] và đồng biến trên [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hàm số đồng biến trên [Only registered and activated users can see links] và nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links]
Bảng biến thiên:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị là một Parabol có đỉnh là [Only registered and activated users can see links] trục đối xứng là đường thẳng [Only registered and activated users can see links] bề lõm quay lên nếu [Only registered and activated users can see links] và bề lõm quay xuống nếu [Only registered and activated users can see links]
Chủ Đề III: Phương Trình - Hệ Phương Trình 1. Phương Trình:
Phương trình ẩn [Only registered and activated users can see links] là mệnh đề chứa biến có dang: [Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là các biểu thức của [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] được gọi là vế trái, [Only registered and activated users can see links] được gọi là vế phải của phương trình [Only registered and activated users can see links]
Số thực [Only registered and activated users can see links] được gọi là nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links]
Giải phương trình [Only registered and activated users can see links] là việc tìm tất cả các nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links]
Nếu phương trình [Only registered and activated users can see links] không có nghiệm ta nói phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm (Tập nghiệm là tập rỗng).
Điều kiện của phương trình: Là tập số thực [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn các biểu thức [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] có nghĩa.
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.
Các phép biến đổi tương đương:
Cộng hay trừ hai vế của phương trình cho cùng một biểu thức hoặc cùng một số mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Nhân hay chia hai vế của phương trình với cùng một số khác [Only registered and activated users can see links] hoặc một biểu thức khác [Only registered and activated users can see links] mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] và phương trình [Only registered and activated users can see links] Nếu tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] là tập con của tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình [Only registered and activated users can see links]
2. Phương trình bậc nhât:
Dạng: [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] luôn có nghiệm duy nhất [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có vô số nghiệm (vô định).
Nếu [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm.
3. Phương trình bậc hai:
Dạng: [Only registered and activated users can see links]
Biệt thức [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt: [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm trùng nhau (nghiệm kép) [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình [Only registered and activated users can see links] có hệ số [Only registered and activated users can see links] thì ta có thể dùng biệt thức Delta thu gọn: [Only registered and activated users can see links] 29%5E%7B2%7D-ac.
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] %7D%7Ba%7D.
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm trùng nhau [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm.
3. Định lí Vi-Et:
Nếu phương trình bậc hai [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] thì:
[Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] D.
Ngược lại, nếu hai số [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] có tổng [Only registered and activated users can see links] và tích [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của phương trình:
[Only registered and activated users can see links]
Chú ý: Điều kiện để tồn tại hai số [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn bài toán ngược là: [Only registered and activated users can see links]
4. Các phương trình quy về bậc nhất và bậc hai thường gặp:
a) Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Dạng 1: [Only registered and activated users can see links] %29.
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hoặc một biểu thức ta có các cách biến đổi để đưa phương trình về dạng thông thường như sau:
[Only registered and activated users can see links] 0%5C%5C%20g%28x%29%5Cgeq%200%20%5Cend%7Bcases%7D
Hoặc [Only registered and activated users can see links] cases%7D
Ta cũng có thể chia khoảng để đưa về các phương trình thông thường sau khi xét điều kiện [Only registered and activated users can see links] hoặc xét riêng từng trường hợp [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Dạng 2: [Only registered and activated users can see links] 282%29
Phương trình [Only registered and activated users can see links] có thể biến đổi về việc tìm nghiệm của hai phương trình sau:
[Only registered and activated users can see links]
Hoặc [Only registered and activated users can see links]
Sau khi giải hai phương trình mới này ta lấy hợp hai tập nghiệm thì ta có tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links]
Một cách khác, phương trình [Only registered and activated users can see links] %29%5E%7B2%7D=%28g%28x%29%29%5E%7B2%7D.
Giải phương trình này ta có tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links]
b) Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai:
Dạng : [Only registered and activated users can see links] %283%29
Điều kiện của phương trình: [Only registered and activated users can see links] 20%5C%5C%20g%28x%29%5Cgeq%200%5Cend%7Bcases%7D
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 8g%28x%29%29%5E%7B2%7D và ta có thể giải phương trình mới này với điều kiện đã cho ở trên.
Tương tự đối với phương trình dạng [Only registered and activated users can see links] 7D.
5. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn:
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng: [Only registered and activated users can see links] với điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Nghiệm của phương trình là một cặp số [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn phương trình.
Ta có thể chứng minh được phương trình [Only registered and activated users can see links] luôn có vô số nghiệm và biểu diễn mỗi nghiệm bằng một điểm có tọa độ [Only registered and activated users can see links] trên mặt phẳng tọa độ thì biểu diễn tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] là một đường thẳng.
b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng: [Only registered and activated users can see links] Dy=c_%7B1%7D%20%5C%5C%20a_%7B2%7Dx+b_%7B2%7Dy=c_%7 B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D
Cách giải:
Phương pháp thế: Rút một ẩn từ một phương trình theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của một phương trình với một số phù hợp rồi cộng phương trình mới với phương trình ban đầu để triệt tiêu một ẩn.
Phương pháp dùng định thức cấp hai:
[Only registered and activated users can see links] %7D-a_%7B2%7Db_1
[Only registered and activated users can see links] 20&b_%7B1%7D%5C%5Cc_%7B2%7D&b_%7B2%7D%5C%5C%5Cend%7Bvmatrix%7D=c_%7B1%7Db_%7B2 %7D-c_%7B2%7Db_%7B1%7D
[Only registered and activated users can see links] 20&c_%7B1%7D%5C%5Ca_%7B2%7D&c_%7B2%7D%5C%5C%5Cend%7Bvmatrix%7D=a_%7B1%7Dc_%7B2 %7D-a_%7B2%7Dc_%7B1%7D
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hệ có nghiệm duy nhất : [Only registered and activated users can see links] 7D%7BD%7D%20%5C%5C%20y=%5Cfrac%7BD_%7By%7D%7D%7BD% 7D%5Cend%7Bcases%7D
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hệ có vô số nghiệm (vô định).
Nếu [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] thì hệ vô nghiệm.
c) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn:
Dạng: [Only registered and activated users can see links] c_%7B1%7Dz=d_%7B1%7D%5C%5Ca_%7B2%7Dx+b_%20%20%7B2% 7Dy+c_%7B2%7Dz=d_%7B2%7D%5C%5Ca_%7B3%7Dx+b_%7B3%7D y+c_%7B3%7Dz=d_%7B3%7D%5Cend%7B%20%20cases%7D
Dùng phép biến đổi đưa hệ về dạng chéo:
[Only registered and activated users can see links] c_%7B1%7Dz=d_%7B1%7D%5C%5Ca_%7B2%7Dx+b_%20%20%7B2% 7Dy%5Cquad%5Cquad%20=d_%7B2%7D%5C%5Ca_%7B3%7Dx%5Cq uad%5Cquad%5Cquad%5Cquad%20=d_%7B3%7D%5Cend%7Bcase s%7D
Sau đó dùng phương pháp thế để tìm ra các ẩn [Only registered and activated users can see links]
Chú ý: Trong quá trình biến đổi, ta có thể rút gọn dần theo các ẩn, có thể để lại bất kì ẩn nào trong phương trình chỉ còn một ẩn (vai trò của ba ẩn [Only registered and activated users can see links] là như nhau).
Ta cũng có thể dùng phương pháp định thức cấp ba để giải hệ này nhưng có nhược điểm là khó nhớ cách tính định thức cấp ba.
6. Bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình:
Trong các bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình cần chú ý đặt ẩn phù hợp với các yếu tố cần tìm, đặc biệt lưu ý đến đieuf kiện của ẩn sau khi đặt ẩn để có thể tìm ra nghiệm của bài toán một cách chính xác.
(nguồn: butnghien)
Mệnh đề là một câu nói đảm bảo các tính chất: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Mệnh đề chứa biến: Là một câu nói có chứa một giá trị chưa biết (biến) chưa biết rõ tính đúng, sai nhưng với mỗi giá trị của biến thì câu nói đó trở thành mệnh đề.
Kí hiệu các mệnh đề: Kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: [Only registered and activated users can see links] ....
Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề [Only registered and activated users can see links] mệnh đề phủ định của nó là "Không phải [Only registered and activated users can see links]" và được kí hiệu là [Only registered and activated users can see links]
Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu [Only registered and activated users can see links]
Mệnh đề [Only registered and activated users can see links] chỉ sai khi [Only registered and activated users can see links] đúng [Only registered and activated users can see links] sai.
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] là giả thiết, [Only registered and activated users can see links] là kết luận. hoặc [Only registered and activated users can see links] là điều kiện đủ của [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] là điều kiện cần để có [Only registered and activated users can see links]
Mệnh đề đảo: Mệnh đề [Only registered and activated users can see links] là mệnh đề đảo của [Only registered and activated users can see links]
Hai mệnh đề tương đương: Hai mệnh đề [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] gọi là tương đương nếu cả [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] đều đúng. Khi đó kí hiệu: [Only registered and activated users can see links]
Khi [Only registered and activated users can see links] ta nói: [Only registered and activated users can see links] tương đương với [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] là điều kiện cần và đủ để có [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
Kí hiệu [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] : Dùng trong các mệnh đề chứa biến.
II. Tập hợp:
1. Tập hợp:
Tập hợp: là một khái niệm cơ bản của Toán học, không định nghĩa, chỉ có thể nhận biết. Ta thường kí hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa: [Only registered and activated users can see links] ...
Các cách xác định tập hợp:
a. Liệt kê các phần tử: Ví dụ: [Only registered and activated users can see links]
b. Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp: Ví dụ: [Only registered and activated users can see links]
Ta thường minh họa tập hợp bởi phần mặt phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.
Tập rỗng: Tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu: [Only registered and activated users can see links]
Tập con: [Only registered and activated users can see links] là tập con của [Only registered and activated users can see links] nếu mọi phần tử của [Only registered and activated users can see links] cũng là phần tử của [Only registered and activated users can see links] kí hiệu [Only registered and activated users can see links]
Hai tập hợp bằng nhau: Tập hợp [Only registered and activated users can see links] và tập hợp [Only registered and activated users can see links] được gọi là bằng nhau nếu [Only registered and activated users can see links] là tập con của [Only registered and activated users can see links] và ngược lại.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao của hai tập hợp: gồm các phần tử chung của hai tập hợp. Kí hiệu [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%5Cin%20A%20%5C%5C%20x%5C in%20B%20%5Cend%7Bcases%7D.
Hợp của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong [Only registered and activated users can see links] hoặc nằm trong [Only registered and activated users can see links] Kí hiệu: [Only registered and activated users can see links]
Hiệu của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong [Only registered and activated users can see links] mà không nằm trong [Only registered and activated users can see links] Kí hiệu [Only registered and activated users can see links]
Phần bù của tập hợp [Only registered and activated users can see links] trong [Only registered and activated users can see links] gồm các phần tử nằm trong [Only registered and activated users can see links] mà không nằm trong [Only registered and activated users can see links] (khi [Only registered and activated users can see links]), chính là hiệu [Only registered and activated users can see links]
III. Các Tập hợp số:
1. Các tập hợp số:
Tập số tự nhiên : [Only registered and activated users can see links]
Tập số nguyên [Only registered and activated users can see links] Gồm các số tự nhiên và số âm.
Tập số hữu tỉ [Only registered and activated users can see links] gồm các số nguyên và các phân số dạng [Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là các số nguyên.
Tập số thực [Only registered and activated users can see links] Gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Tập số phức [Only registered and activated users can see links] Gồm các số thực và các số ảo dạng [Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] là số thực.
2. Các tập con thường gặp của tập số thực:
a) Khoảng:
[Only registered and activated users can see links] Cb%7D
[Only registered and activated users can see links] quad%20a%3Cx%7D
[Only registered and activated users can see links]
b) Đoạn:
[Only registered and activated users can see links] %20x%5Cleq%20b%7D
c) Nửa khoảng:
[Only registered and activated users can see links] %20x%3Cb%7D
[Only registered and activated users can see links] Cleq%20b%7D
[Only registered and activated users can see links] d%20a%5Cleq%20x%7D
[Only registered and activated users can see links] q%20b%7D
IV. Số gần đúng, sai số:
1. Sai số tuyệt đối: Nếu a là số gần đúng của số đúng [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng [Only registered and activated users can see links]
Sai số tuyệt đối chỉ đại diện cho độ sai lệch của một phép đo (tính toán) so với số đúng.
Độ chính xác của một phép đo (tính toán) là [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links] và quy ước [Only registered and activated users can see links] .
2. Sai số tương đối: Nếu [Only registered and activated users can see links] là sai số tuyệt đối của phép đo (tính toán) thì [Only registered and activated users can see links] Ba%7D%7D%7B%5Coverline%7Ba%7D%7D được gọi là sai số tương đối của phép đo (tính toán) đó. Sai số tương đối thể hiện độ chính xác của một phép đo hơn sai số tuyệt đối.
3. Quy tắc làm tròn số:
Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số 0.
Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số 0 và chữ số liền bên trái nó cộng thêm một đơn vị.
Chủ Đề II: Hàm Số Bậc Nhất - Hàm Số Bậc Hai 1. Hàm số:
Hàm số là một quy tắc tương ứng từ một tập con [Only registered and activated users can see links] của tập số thực [Only registered and activated users can see links] vào [Only registered and activated users can see links] sao cho mỗi giá trị [Only registered and activated users can see links] tương ứng với duy nhất một giá trị [Only registered and activated users can see links] Khi đó [Only registered and activated users can see links] gọi là tập xác định của hàm số. Tập hợp tất cả các giá trị [Only registered and activated users can see links] tương ứng với giá trị [Only registered and activated users can see links] được gọi là tập giá trị của hàm số. Kí hiệu hàm số: [Only registered and activated users can see links]
Cách cho một hàm số:
Cho hàm số bằng bảng giá trị tương ứng.
Cho hàm số bằng biểu đồ.
Cho hàm số bằng biểu thức [Only registered and activated users can see links])
Tập xác định của hàm số: Là tập hợp tất cả các giá trị [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn biểu thức hàm số [Only registered and activated users can see links] có nghĩa.
Đồ thị của một hàm số: Là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ [Only registered and activated users can see links] với mọi [Only registered and activated users can see links]
Sự biến thiên của hàm số:
Hàm số là đồng biến trên [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links] %28a;b%29 thì [Only registered and activated users can see links] và nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links] %28a;b%29 thì [Only registered and activated users can see links]
Tính chẵn lẻ của hàm số:
Tập [Only registered and activated users can see links] là tập đối xứng nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links]
Hàm số [Only registered and activated users can see links] là hàm số chẵn nếu tập xác định [Only registered and activated users can see links] của nó là tập đối xứng và [Only registered and activated users can see links] Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.
Hàm số [Only registered and activated users can see links] là hàm số lẻ nếu tập xác định D của nó là tập đối xứng và [Only registered and activated users can see links] Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
2. Hàm số bậc nhất:
[Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Tập xác định: [Only registered and activated users can see links]
Chiều biến thiên:
Với [Only registered and activated users can see links] thì hàm số đồng biến trên [Only registered and activated users can see links]
Với [Only registered and activated users can see links] thì hàm số nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links]
Bảng biến thiên:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị:
Đồ thị của hàm số bậc nhất [Only registered and activated users can see links] là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] (nếu [Only registered and activated users can see links]) và luôn cắt hai trục tọa độ tại hai điểm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Hàm hằng [Only registered and activated users can see links] Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trụ tung tại điểm [Only registered and activated users can see links]
Hàm số [Only registered and activated users can see links]
Hàm số này có thể viết dưới dạng: [Only registered and activated users can see links] %5Cgeq%200%20%5C%5C%20-x,%5Cqquad%20x%3C0%5Cend%7Bcases%7D
Từ đó có thể suy ra hàm số đồng biến trên [Only registered and activated users can see links] và nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links]
Bảng biến thiên:
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị:
[Only registered and activated users can see links]
Với [Only registered and activated users can see links] thì đồ thị là phần của đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và với [Only registered and activated users can see links] thì đồ thị là phần của đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
3. Hàm số bậc hai:
[Only registered and activated users can see links] %5Cin%20R,%5Cquad%20a%5Cneq%200%29.
Tập xác định: [Only registered and activated users can see links]
Chiều biến thiên:
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hàm số nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links] và đồng biến trên [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hàm số đồng biến trên [Only registered and activated users can see links] và nghịch biến trên [Only registered and activated users can see links]
Bảng biến thiên:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đồ thị là một Parabol có đỉnh là [Only registered and activated users can see links] trục đối xứng là đường thẳng [Only registered and activated users can see links] bề lõm quay lên nếu [Only registered and activated users can see links] và bề lõm quay xuống nếu [Only registered and activated users can see links]
Chủ Đề III: Phương Trình - Hệ Phương Trình 1. Phương Trình:
Phương trình ẩn [Only registered and activated users can see links] là mệnh đề chứa biến có dang: [Only registered and activated users can see links] trong đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là các biểu thức của [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] được gọi là vế trái, [Only registered and activated users can see links] được gọi là vế phải của phương trình [Only registered and activated users can see links]
Số thực [Only registered and activated users can see links] được gọi là nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links]
Giải phương trình [Only registered and activated users can see links] là việc tìm tất cả các nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links]
Nếu phương trình [Only registered and activated users can see links] không có nghiệm ta nói phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm (Tập nghiệm là tập rỗng).
Điều kiện của phương trình: Là tập số thực [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn các biểu thức [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] có nghĩa.
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.
Các phép biến đổi tương đương:
Cộng hay trừ hai vế của phương trình cho cùng một biểu thức hoặc cùng một số mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Nhân hay chia hai vế của phương trình với cùng một số khác [Only registered and activated users can see links] hoặc một biểu thức khác [Only registered and activated users can see links] mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] và phương trình [Only registered and activated users can see links] Nếu tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] là tập con của tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình [Only registered and activated users can see links]
2. Phương trình bậc nhât:
Dạng: [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] luôn có nghiệm duy nhất [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có vô số nghiệm (vô định).
Nếu [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm.
3. Phương trình bậc hai:
Dạng: [Only registered and activated users can see links]
Biệt thức [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt: [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm trùng nhau (nghiệm kép) [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình [Only registered and activated users can see links] có hệ số [Only registered and activated users can see links] thì ta có thể dùng biệt thức Delta thu gọn: [Only registered and activated users can see links] 29%5E%7B2%7D-ac.
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] %7D%7Ba%7D.
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm trùng nhau [Only registered and activated users can see links]
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm.
3. Định lí Vi-Et:
Nếu phương trình bậc hai [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] thì:
[Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] D.
Ngược lại, nếu hai số [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] có tổng [Only registered and activated users can see links] và tích [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của phương trình:
[Only registered and activated users can see links]
Chú ý: Điều kiện để tồn tại hai số [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn bài toán ngược là: [Only registered and activated users can see links]
4. Các phương trình quy về bậc nhất và bậc hai thường gặp:
a) Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Dạng 1: [Only registered and activated users can see links] %29.
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hoặc một biểu thức ta có các cách biến đổi để đưa phương trình về dạng thông thường như sau:
[Only registered and activated users can see links] 0%5C%5C%20g%28x%29%5Cgeq%200%20%5Cend%7Bcases%7D
Hoặc [Only registered and activated users can see links] cases%7D
Ta cũng có thể chia khoảng để đưa về các phương trình thông thường sau khi xét điều kiện [Only registered and activated users can see links] hoặc xét riêng từng trường hợp [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Dạng 2: [Only registered and activated users can see links] 282%29
Phương trình [Only registered and activated users can see links] có thể biến đổi về việc tìm nghiệm của hai phương trình sau:
[Only registered and activated users can see links]
Hoặc [Only registered and activated users can see links]
Sau khi giải hai phương trình mới này ta lấy hợp hai tập nghiệm thì ta có tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links]
Một cách khác, phương trình [Only registered and activated users can see links] %29%5E%7B2%7D=%28g%28x%29%29%5E%7B2%7D.
Giải phương trình này ta có tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links]
b) Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai:
Dạng : [Only registered and activated users can see links] %283%29
Điều kiện của phương trình: [Only registered and activated users can see links] 20%5C%5C%20g%28x%29%5Cgeq%200%5Cend%7Bcases%7D
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 8g%28x%29%29%5E%7B2%7D và ta có thể giải phương trình mới này với điều kiện đã cho ở trên.
Tương tự đối với phương trình dạng [Only registered and activated users can see links] 7D.
5. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn:
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng: [Only registered and activated users can see links] với điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Nghiệm của phương trình là một cặp số [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn phương trình.
Ta có thể chứng minh được phương trình [Only registered and activated users can see links] luôn có vô số nghiệm và biểu diễn mỗi nghiệm bằng một điểm có tọa độ [Only registered and activated users can see links] trên mặt phẳng tọa độ thì biểu diễn tập nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] là một đường thẳng.
b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng: [Only registered and activated users can see links] Dy=c_%7B1%7D%20%5C%5C%20a_%7B2%7Dx+b_%7B2%7Dy=c_%7 B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D
Cách giải:
Phương pháp thế: Rút một ẩn từ một phương trình theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của một phương trình với một số phù hợp rồi cộng phương trình mới với phương trình ban đầu để triệt tiêu một ẩn.
Phương pháp dùng định thức cấp hai:
[Only registered and activated users can see links] %7D-a_%7B2%7Db_1
[Only registered and activated users can see links] 20&b_%7B1%7D%5C%5Cc_%7B2%7D&b_%7B2%7D%5C%5C%5Cend%7Bvmatrix%7D=c_%7B1%7Db_%7B2 %7D-c_%7B2%7Db_%7B1%7D
[Only registered and activated users can see links] 20&c_%7B1%7D%5C%5Ca_%7B2%7D&c_%7B2%7D%5C%5C%5Cend%7Bvmatrix%7D=a_%7B1%7Dc_%7B2 %7D-a_%7B2%7Dc_%7B1%7D
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hệ có nghiệm duy nhất : [Only registered and activated users can see links] 7D%7BD%7D%20%5C%5C%20y=%5Cfrac%7BD_%7By%7D%7D%7BD% 7D%5Cend%7Bcases%7D
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì hệ có vô số nghiệm (vô định).
Nếu [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] thì hệ vô nghiệm.
c) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn:
Dạng: [Only registered and activated users can see links] c_%7B1%7Dz=d_%7B1%7D%5C%5Ca_%7B2%7Dx+b_%20%20%7B2% 7Dy+c_%7B2%7Dz=d_%7B2%7D%5C%5Ca_%7B3%7Dx+b_%7B3%7D y+c_%7B3%7Dz=d_%7B3%7D%5Cend%7B%20%20cases%7D
Dùng phép biến đổi đưa hệ về dạng chéo:
[Only registered and activated users can see links] c_%7B1%7Dz=d_%7B1%7D%5C%5Ca_%7B2%7Dx+b_%20%20%7B2% 7Dy%5Cquad%5Cquad%20=d_%7B2%7D%5C%5Ca_%7B3%7Dx%5Cq uad%5Cquad%5Cquad%5Cquad%20=d_%7B3%7D%5Cend%7Bcase s%7D
Sau đó dùng phương pháp thế để tìm ra các ẩn [Only registered and activated users can see links]
Chú ý: Trong quá trình biến đổi, ta có thể rút gọn dần theo các ẩn, có thể để lại bất kì ẩn nào trong phương trình chỉ còn một ẩn (vai trò của ba ẩn [Only registered and activated users can see links] là như nhau).
Ta cũng có thể dùng phương pháp định thức cấp ba để giải hệ này nhưng có nhược điểm là khó nhớ cách tính định thức cấp ba.
6. Bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình:
Trong các bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình cần chú ý đặt ẩn phù hợp với các yếu tố cần tìm, đặc biệt lưu ý đến đieuf kiện của ẩn sau khi đặt ẩn để có thể tìm ra nghiệm của bài toán một cách chính xác.
(nguồn: butnghien)