ThanhTam
24-01-2009, 10:37 AM
Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
- Lập hiệu A-B
- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B[Only registered and activated users can see links]
- Kết luận A[Only registered and activated users can see links]
- Xét trường hợp A=B khi nào
VD: CMR:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Ba%7D%5Cgeq2 với mọi a, b cùng dấu.
CM: Ta có:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Ba%7D%20-2%20=%20%5Cfrac%7Ba%5E2+b%5E2-2ab%7D%7Bab%7D=%20%5Cfrac%7B%28a-b%29%5E2%7D%7Bab%7D
a, b cùng dấu => ab>o => [Only registered and activated users can see links]
Vậy [Only registered and activated users can see links] b%7D%7Ba%7D%5Cgeq2
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./.
Bài tập tương tự : CMR:
[Only registered and activated users can see links] rac%7B1%7D%7B1+b%5E2%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7B2%7D%7B1 +ab%7D
với ab>1
Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
[Only registered and activated users can see links]
vì [Only registered and activated users can see links] nên [Only registered and activated users can see links]
=>[Only registered and activated users can see links]
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0
VD: CMR: [Only registered and activated users can see links]
với mọi x
CM:
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
=> [Only registered and activated users can see links]
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2
Bài tập tương tự:CMR:
[Only registered and activated users can see links] %7D%7B2.3%7D+...%20+%5Cfrac%7B1%7D%7B99.100%7D%20% 3C1
Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Nếu[Only registered and activated users can see links]
VD: CMR: [Only registered and activated users can see links]
CM: [Only registered and activated users can see links] 100%7D=%208000000%5E%7B100%7D
[Only registered and activated users can see links] 100%7D=%2090000%5E%7B100%7D
=>[Only registered and activated users can see links]
Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] +c%29%7D%7B%28b+c%29%7D
Nếu[Only registered and activated users can see links]ì [Only registered and activated users can see links] +c%29%7D%7B%28b+c%29%7D
Nếu b,d>o thì từ [Only registered and activated users can see links] %7D%7Bd%7D=%3E%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3C%5Cfrac%7B%2 8a+c%29%7D%7B%28b+d%29%7D%3C%5Cfrac%7Bc%7D%7Bd%7D
VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Bc+b%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba+c%7D%3C2
CM:
Do c>o =>[Only registered and activated users can see links] a%7D%7Ba+b%7D%3C%5Cfrac%7Ba+c%7D%7Ba+b+c%7D (3)
Tương tự ta có : [Only registered and activated users can see links] b%7D%7Bc+b%7D%3C%5Cfrac%7Ba+b%7D%7Ba+b+c%7D (4)
và: [Only registered and activated users can see links] c%7D%7Bc+a%7D%3C%5Cfrac%7Bc+b%7D%7Ba+b+c%7D (5)
cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Bc+b%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba+c%7D%3C2 (đpcm)
Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:[Only registered and activated users can see links] %7Ba_2%7D%7Bb_2%7D%5Cleq%5Cfrac%7Ba_3%7D%7Bb_3%7D
CMR: [Only registered and activated users can see links] %7Ba_1+a_2+a_3%7D%7Bb_1+b_2+b_3%7D%5Cleq%5Cfrac%7B a_3%7D%7Bb_3%7D
Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng.
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
-[Only registered and activated users can see links] ab+2bc+2ca
[Only registered and activated users can see links] 5E2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2dc
[Only registered and activated users can see links]
VD: Cho a,b là các số thực. CMR:
[Only registered and activated users can see links]
CM:
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
<=>[Only registered and activated users can see links]
<=>[Only registered and activated users can see links]
<=>[Only registered and activated users can see links] (luôn đúng)
=>đpcm
Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR:
[Only registered and activated users can see links] 7Bca%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7Bab%7D%5Cgeq2%28%5Cfrac%7B 1%7D%7Ba%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%29
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội
Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
[Only registered and activated users can see links]
là biểu diễn số hạng tổng quát [Only registered and activated users can see links] về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau : [Only registered and activated users can see links]
Lúc đó : [Only registered and activated users can see links]
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn [Only registered and activated users can see links] là biểu diễn số hạng tổng quát [Only registered and activated users can see links] về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau [Only registered and activated users can see links]
Lúc đó [Only registered and activated users can see links] .%5Cfrac%7Ba_%7Bn-1%7Da_n%7D%7Ba_na_%7Bn+1%7D%7D=%5Cfrac%7Ba_1%7D%7B a_%7Bn+1%7D%7D
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%5C%3C2-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D(k>1)
b,
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%5C%3C5/3
CM:
a.
Với k>1 ta có
[Only registered and activated users can see links] 1%7D%7Bk.%28k-1%29%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7Bk-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5C
Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3C1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D => đpcm
b.
Với mọi k>1 ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B4k%5E2%7D%3C%5Cfrac%7B4%7D%7B4k%5E2-1%7D=%5Cfrac%7B4%7D%7B%282k-1%29%282k+1%29%7D=%5Cfrac%7B2%5B%282k+1%29-%282k-1%29%7D%7B%282k-1%29%282k+1%29%7D=2%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k+1%7D%29
Vậy :
[Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k+1%7D%29
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3C1+2% 28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2n+1%7D%2 9%3C1+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D=%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D
Bài tập tương tự
CMBĐT: :[Only registered and activated users can see links] B3%5Csqrt%7B2%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Csqrt%7B3% 7D%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n+1%29%5Csqrt%7Bn%7D %7D%3C2
Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác
Sử dụng điều kiện của biến[Only registered and activated users can see links]
Đặt x=ksina với [Only registered and activated users can see links] 7B2%7D hoặc x=kcosa với [Only registered and activated users can see links]
VD: [Only registered and activated users can see links]
CM: Điều kiện:
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] Cpi%7D%7B2%7D
Khi đó:[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dcos%5Calpha+%5Cfrac%7B4%7D%7B5% 7Dsin%5Calpha%7C=15%7Ccos%5Calpha-%5Cbeta%7C%5Cleq15
với [Only registered and activated users can see links] n%5Calpha=%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D
Bài tập tương tự:
CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
[Only registered and activated users can see links]
Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác
Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b
VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:
[Only registered and activated users can see links]
CM:
a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Cộng vế với vế của BĐT trên ta được
[Only registered and activated users can see links] (đpcm)
Bài tập tương tự:
Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác. CMR:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
với a<b<c
Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp
Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
+ Giả sử BĐT T(k) đúng
+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n
VD: CMR với n>2 ta có : [Only registered and activated users can see links]
CM:
Với n=3 ta có [Only registered and activated users can see links] BĐT đúng
Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:
[Only registered and activated users can see links]
Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM: [Only registered and activated users can see links]
Thật vậy, ta có:
[Only registered and activated users can see links] %28k+1%29+3
Vậy BĐT đúng với mọi n
Bài tập tương tự:
[Only registered and activated users can see links] 21%29%5E2
Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi
Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :
[Only registered and activated users can see links] 5Cleq%5Cfrac%7Bf%28x_1%29+f%28x_2%29%20%7D%7B2%7D% 20/x1,%20x2%5Cin%20%28a,b%29
Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] n%7D%29%20%5Cleq%5Cfrac%7Bf%28x_1%29+f%28x_2%29+.. .+f%28x_n%29%20%7D%7Bn%7D (1)
với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
VD:
CMR: Nếu [Only registered and activated users can see links]ì [Only registered and activated users can see links] sin%28%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%29
CM:
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 8%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B2%7D%29cos%28%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%29%5Cl eq%20sin%7B%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%7D
Vì [Only registered and activated users can see links]
và [Only registered and activated users can see links] geq0%28%7B0%5Cleq%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%5Cleq%5Cp i%7D%29
Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)=[Only registered and activated users can see links] nên f(x) là hàm lõm trên [Only registered and activated users can see links] và ta có BĐT 1
Bài tập tương tự:
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:
[Only registered and activated users can see links] %7B3%7D%7D%7B2%7D
Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm
Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )
Biện luận phương trình ( * ) theo y, => [Only registered and activated users can see links]
=>đpcm
VD:[Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7Bx%5E2+x+1%7D%7Bx%5E2-x+1%7D%5Cleq3 với mọi x
CM:
Đặt :[Only registered and activated users can see links] c%7Bx%5E2+x+1%7D%7Bx%5E2-x+1%7D có miền xác định D=R
=>[Only registered and activated users can see links] có nghiệm
+, Với y=1=>x=0
+>Với y khác 1, ta có
[Only registered and activated users can see links] (đpcm)
Bài tập tương tự:
CMR: [Only registered and activated users can see links] với mọi x
Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc 2
(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:
Cho tam thứcbậc 2 :f(x)[Only registered and activated users can see links](a khác 0)
+ Nếu [Only registered and activated users can see links] thì af(x)>0 với mọi x
+ Nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links]ới mọi x
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
+Nếu [Only registered and activated users can see links] lập bảng xét dấu
*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
Cho:f(x)[Only registered and activated users can see links](a khác 0)
Nếu tồn tại [Only registered and activated users can see links] sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và [Only registered and activated users can see links]
Hệ quả: Nếu tồn tại [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links] thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số [Only registered and activated users can see links] có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm)
Dạng 1:Chứng minh [Only registered and activated users can see links] mọi x
Ta chứng minh [Only registered and activated users can see links] %5CDelta=b%5E2-4ac%5Cleq0
VD: CMR: [Only registered and activated users can see links] E2%5Cgeq4xy%5E3 với mọi x,y
CM:Bđt cần Cm tương đương với
[Only registered and activated users can see links] 4xy-4xy%5E3%29+4y%5E2%5Cgeq0
[Only registered and activated users can see links] 1-y%5E2%29x+4y%5E2%5Cgeq0
Đặt f(x)=VT
Ta có [Only registered and activated users can see links] mọi y
[Only registered and activated users can see links] mọi x,y. ( vì [Only registered and activated users can see links])
Bài tập tương tự: Cm các BĐT sau:
a,[Only registered and activated users can see links] mọi x,y
b,[Only registered and activated users can see links] mọi x,y,z
c,[Only registered and activated users can see links] mọi x,y
d,[Only registered and activated users can see links]
(Đề thi ĐHBK, 1988)
Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)
VD: CMR :[Only registered and activated users can see links] với mọi x khác 0
CM: đặt f(x)=[Only registered and activated users can see links] Khi đó f'(x)=[Only registered and activated users can see links]
* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi [Only registered and activated users can see links] Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>[Only registered and activated users can see links]
* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0. Dó đó f(x)>f(0)=0 =>[Only registered and activated users can see links]
Vậy [Only registered and activated users can see links]ới mọi x khác 0
Bài tập tương tự: CMR với[Only registered and activated users can see links] D%29thì [Only registered and activated users can see links] Ex+1
Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu. Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si. Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau:
VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3. CM BĐT:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7B1+c%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7B1+a%5E2%7D%5Cge q%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D
LG:
Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7B1+c%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7B1+a%5E2%7D%5Cle q%5Cfrac%7Ba%7D%7B2b%7D+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2c%7D+%5C frac%7Bc%7D%7B2a%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D???? ?
Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác:
[Only registered and activated users can see links]
Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số [Only registered and activated users can see links] ở dưới mẫunhưng lại có được một BĐT thuận chiều. Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên sẽ rất khó và dài!
Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra :
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7B1+c%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7B1+a%5E2%7D%5Cge q%20a+b+c-%5Cfrac%7Bab+bc+ca%7D%7B3%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B3%7D%7 B2%7D
vì ta có [Only registered and activated users can see links] Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 ./.
VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
[Only registered and activated users can see links] Cfrac%7Bb%5E3%7D%7Bc%5E2+b%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%5E3% 7D%7Bc%5E2+d%5E2%7D+%5Cfrac%7Bd%5E3%7D%7Ba%5E2+d%5 E2%7D%5Cgeq%5Cfrac%7Ba+b+c+d%7D%7B2%7D
LG:
Áp dụng BĐT Cô-Si:
[Only registered and activated users can see links]
xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d.
Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau:
1. Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a+b+c=0. CMR:
[Only registered and activated users can see links] ac%7Bb%5E3%7D%7Bb+2c%5E3%7D+%5Cfrac%7Bc%5E3%7D%7Bc +2a%5E3%7D%5Cleq1
2. CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì
[Only registered and activated users can see links] 1%7D%7Bb%5E2+1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2+1%7D+%5Cf rac%7B1%7D%7Bd%5E2+1%7D%5Cgeq2
(olympiavn)
Ai còn phương pháp nào thì chia sẻ nhé!
- Lập hiệu A-B
- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B[Only registered and activated users can see links]
- Kết luận A[Only registered and activated users can see links]
- Xét trường hợp A=B khi nào
VD: CMR:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Ba%7D%5Cgeq2 với mọi a, b cùng dấu.
CM: Ta có:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Ba%7D%20-2%20=%20%5Cfrac%7Ba%5E2+b%5E2-2ab%7D%7Bab%7D=%20%5Cfrac%7B%28a-b%29%5E2%7D%7Bab%7D
a, b cùng dấu => ab>o => [Only registered and activated users can see links]
Vậy [Only registered and activated users can see links] b%7D%7Ba%7D%5Cgeq2
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./.
Bài tập tương tự : CMR:
[Only registered and activated users can see links] rac%7B1%7D%7B1+b%5E2%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7B2%7D%7B1 +ab%7D
với ab>1
Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
[Only registered and activated users can see links]
vì [Only registered and activated users can see links] nên [Only registered and activated users can see links]
=>[Only registered and activated users can see links]
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0
VD: CMR: [Only registered and activated users can see links]
với mọi x
CM:
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
=> [Only registered and activated users can see links]
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2
Bài tập tương tự:CMR:
[Only registered and activated users can see links] %7D%7B2.3%7D+...%20+%5Cfrac%7B1%7D%7B99.100%7D%20% 3C1
Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Nếu[Only registered and activated users can see links]
VD: CMR: [Only registered and activated users can see links]
CM: [Only registered and activated users can see links] 100%7D=%208000000%5E%7B100%7D
[Only registered and activated users can see links] 100%7D=%2090000%5E%7B100%7D
=>[Only registered and activated users can see links]
Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] +c%29%7D%7B%28b+c%29%7D
Nếu[Only registered and activated users can see links]ì [Only registered and activated users can see links] +c%29%7D%7B%28b+c%29%7D
Nếu b,d>o thì từ [Only registered and activated users can see links] %7D%7Bd%7D=%3E%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3C%5Cfrac%7B%2 8a+c%29%7D%7B%28b+d%29%7D%3C%5Cfrac%7Bc%7D%7Bd%7D
VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Bc+b%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba+c%7D%3C2
CM:
Do c>o =>[Only registered and activated users can see links] a%7D%7Ba+b%7D%3C%5Cfrac%7Ba+c%7D%7Ba+b+c%7D (3)
Tương tự ta có : [Only registered and activated users can see links] b%7D%7Bc+b%7D%3C%5Cfrac%7Ba+b%7D%7Ba+b+c%7D (4)
và: [Only registered and activated users can see links] c%7D%7Bc+a%7D%3C%5Cfrac%7Bc+b%7D%7Ba+b+c%7D (5)
cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7Bc+b%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba+c%7D%3C2 (đpcm)
Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:[Only registered and activated users can see links] %7Ba_2%7D%7Bb_2%7D%5Cleq%5Cfrac%7Ba_3%7D%7Bb_3%7D
CMR: [Only registered and activated users can see links] %7Ba_1+a_2+a_3%7D%7Bb_1+b_2+b_3%7D%5Cleq%5Cfrac%7B a_3%7D%7Bb_3%7D
Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng.
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
-[Only registered and activated users can see links] ab+2bc+2ca
[Only registered and activated users can see links] 5E2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2dc
[Only registered and activated users can see links]
VD: Cho a,b là các số thực. CMR:
[Only registered and activated users can see links]
CM:
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
<=>[Only registered and activated users can see links]
<=>[Only registered and activated users can see links]
<=>[Only registered and activated users can see links] (luôn đúng)
=>đpcm
Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR:
[Only registered and activated users can see links] 7Bca%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7Bab%7D%5Cgeq2%28%5Cfrac%7B 1%7D%7Ba%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%29
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội
Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
[Only registered and activated users can see links]
là biểu diễn số hạng tổng quát [Only registered and activated users can see links] về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau : [Only registered and activated users can see links]
Lúc đó : [Only registered and activated users can see links]
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn [Only registered and activated users can see links] là biểu diễn số hạng tổng quát [Only registered and activated users can see links] về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau [Only registered and activated users can see links]
Lúc đó [Only registered and activated users can see links] .%5Cfrac%7Ba_%7Bn-1%7Da_n%7D%7Ba_na_%7Bn+1%7D%7D=%5Cfrac%7Ba_1%7D%7B a_%7Bn+1%7D%7D
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%5C%3C2-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D(k>1)
b,
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%5C%3C5/3
CM:
a.
Với k>1 ta có
[Only registered and activated users can see links] 1%7D%7Bk.%28k-1%29%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7Bk-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5C
Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3C1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D => đpcm
b.
Với mọi k>1 ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B4k%5E2%7D%3C%5Cfrac%7B4%7D%7B4k%5E2-1%7D=%5Cfrac%7B4%7D%7B%282k-1%29%282k+1%29%7D=%5Cfrac%7B2%5B%282k+1%29-%282k-1%29%7D%7B%282k-1%29%282k+1%29%7D=2%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k+1%7D%29
Vậy :
[Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B2k-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2k+1%7D%29
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
[Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%5E2%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3C1+2% 28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2n+1%7D%2 9%3C1+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D=%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D
Bài tập tương tự
CMBĐT: :[Only registered and activated users can see links] B3%5Csqrt%7B2%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Csqrt%7B3% 7D%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n+1%29%5Csqrt%7Bn%7D %7D%3C2
Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác
Sử dụng điều kiện của biến[Only registered and activated users can see links]
Đặt x=ksina với [Only registered and activated users can see links] 7B2%7D hoặc x=kcosa với [Only registered and activated users can see links]
VD: [Only registered and activated users can see links]
CM: Điều kiện:
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] Cpi%7D%7B2%7D
Khi đó:[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dcos%5Calpha+%5Cfrac%7B4%7D%7B5% 7Dsin%5Calpha%7C=15%7Ccos%5Calpha-%5Cbeta%7C%5Cleq15
với [Only registered and activated users can see links] n%5Calpha=%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D
Bài tập tương tự:
CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
[Only registered and activated users can see links]
Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác
Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b
VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:
[Only registered and activated users can see links]
CM:
a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Cộng vế với vế của BĐT trên ta được
[Only registered and activated users can see links] (đpcm)
Bài tập tương tự:
Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác. CMR:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
với a<b<c
Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp
Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
+ Giả sử BĐT T(k) đúng
+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n
VD: CMR với n>2 ta có : [Only registered and activated users can see links]
CM:
Với n=3 ta có [Only registered and activated users can see links] BĐT đúng
Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:
[Only registered and activated users can see links]
Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM: [Only registered and activated users can see links]
Thật vậy, ta có:
[Only registered and activated users can see links] %28k+1%29+3
Vậy BĐT đúng với mọi n
Bài tập tương tự:
[Only registered and activated users can see links] 21%29%5E2
Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi
Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :
[Only registered and activated users can see links] 5Cleq%5Cfrac%7Bf%28x_1%29+f%28x_2%29%20%7D%7B2%7D% 20/x1,%20x2%5Cin%20%28a,b%29
Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] n%7D%29%20%5Cleq%5Cfrac%7Bf%28x_1%29+f%28x_2%29+.. .+f%28x_n%29%20%7D%7Bn%7D (1)
với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
VD:
CMR: Nếu [Only registered and activated users can see links]ì [Only registered and activated users can see links] sin%28%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%29
CM:
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 8%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B2%7D%29cos%28%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%29%5Cl eq%20sin%7B%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%7D
Vì [Only registered and activated users can see links]
và [Only registered and activated users can see links] geq0%28%7B0%5Cleq%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2%7D%5Cleq%5Cp i%7D%29
Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)=[Only registered and activated users can see links] nên f(x) là hàm lõm trên [Only registered and activated users can see links] và ta có BĐT 1
Bài tập tương tự:
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:
[Only registered and activated users can see links] %7B3%7D%7D%7B2%7D
Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm
Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )
Biện luận phương trình ( * ) theo y, => [Only registered and activated users can see links]
=>đpcm
VD:[Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7Bx%5E2+x+1%7D%7Bx%5E2-x+1%7D%5Cleq3 với mọi x
CM:
Đặt :[Only registered and activated users can see links] c%7Bx%5E2+x+1%7D%7Bx%5E2-x+1%7D có miền xác định D=R
=>[Only registered and activated users can see links] có nghiệm
+, Với y=1=>x=0
+>Với y khác 1, ta có
[Only registered and activated users can see links] (đpcm)
Bài tập tương tự:
CMR: [Only registered and activated users can see links] với mọi x
Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc 2
(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:
Cho tam thứcbậc 2 :f(x)[Only registered and activated users can see links](a khác 0)
+ Nếu [Only registered and activated users can see links] thì af(x)>0 với mọi x
+ Nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links]ới mọi x
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
+Nếu [Only registered and activated users can see links] lập bảng xét dấu
*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
Cho:f(x)[Only registered and activated users can see links](a khác 0)
Nếu tồn tại [Only registered and activated users can see links] sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và [Only registered and activated users can see links]
Hệ quả: Nếu tồn tại [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links] thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số [Only registered and activated users can see links] có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm)
Dạng 1:Chứng minh [Only registered and activated users can see links] mọi x
Ta chứng minh [Only registered and activated users can see links] %5CDelta=b%5E2-4ac%5Cleq0
VD: CMR: [Only registered and activated users can see links] E2%5Cgeq4xy%5E3 với mọi x,y
CM:Bđt cần Cm tương đương với
[Only registered and activated users can see links] 4xy-4xy%5E3%29+4y%5E2%5Cgeq0
[Only registered and activated users can see links] 1-y%5E2%29x+4y%5E2%5Cgeq0
Đặt f(x)=VT
Ta có [Only registered and activated users can see links] mọi y
[Only registered and activated users can see links] mọi x,y. ( vì [Only registered and activated users can see links])
Bài tập tương tự: Cm các BĐT sau:
a,[Only registered and activated users can see links] mọi x,y
b,[Only registered and activated users can see links] mọi x,y,z
c,[Only registered and activated users can see links] mọi x,y
d,[Only registered and activated users can see links]
(Đề thi ĐHBK, 1988)
Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)
VD: CMR :[Only registered and activated users can see links] với mọi x khác 0
CM: đặt f(x)=[Only registered and activated users can see links] Khi đó f'(x)=[Only registered and activated users can see links]
* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi [Only registered and activated users can see links] Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>[Only registered and activated users can see links]
* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0. Dó đó f(x)>f(0)=0 =>[Only registered and activated users can see links]
Vậy [Only registered and activated users can see links]ới mọi x khác 0
Bài tập tương tự: CMR với[Only registered and activated users can see links] D%29thì [Only registered and activated users can see links] Ex+1
Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu. Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si. Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau:
VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3. CM BĐT:
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7B1+c%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7B1+a%5E2%7D%5Cge q%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D
LG:
Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7B1+c%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7B1+a%5E2%7D%5Cle q%5Cfrac%7Ba%7D%7B2b%7D+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2c%7D+%5C frac%7Bc%7D%7B2a%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D???? ?
Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác:
[Only registered and activated users can see links]
Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số [Only registered and activated users can see links] ở dưới mẫunhưng lại có được một BĐT thuận chiều. Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên sẽ rất khó và dài!
Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra :
[Only registered and activated users can see links] b%7D%7B1+c%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%7D%7B1+a%5E2%7D%5Cge q%20a+b+c-%5Cfrac%7Bab+bc+ca%7D%7B3%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B3%7D%7 B2%7D
vì ta có [Only registered and activated users can see links] Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 ./.
VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
[Only registered and activated users can see links] Cfrac%7Bb%5E3%7D%7Bc%5E2+b%5E2%7D+%5Cfrac%7Bc%5E3% 7D%7Bc%5E2+d%5E2%7D+%5Cfrac%7Bd%5E3%7D%7Ba%5E2+d%5 E2%7D%5Cgeq%5Cfrac%7Ba+b+c+d%7D%7B2%7D
LG:
Áp dụng BĐT Cô-Si:
[Only registered and activated users can see links]
xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d.
Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau:
1. Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a+b+c=0. CMR:
[Only registered and activated users can see links] ac%7Bb%5E3%7D%7Bb+2c%5E3%7D+%5Cfrac%7Bc%5E3%7D%7Bc +2a%5E3%7D%5Cleq1
2. CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì
[Only registered and activated users can see links] 1%7D%7Bb%5E2+1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2+1%7D+%5Cf rac%7B1%7D%7Bd%5E2+1%7D%5Cgeq2
(olympiavn)
Ai còn phương pháp nào thì chia sẻ nhé!