Chuyên đè tích phân

[Night Sky]

1. Tích phân hàm phân thức
Các dạng cơ bản
Các trường hợp đơn giản nhất có:
I.1 = [Only registered and activated users can see links]
I.2 = [Only registered and activated users can see links] D%5En%20%7Ddx với n tự nhiên khác 1
I.3 = [Only registered and activated users can see links] Ddx
I.4 = [Only registered and activated users can see links] E2+a%5E2%7Ddx với a > 0
Nguyên hàm I.1, I.2 tính được dễ dàng bằng cách áp dụng công thức có trong bảng Nguyên hàm của các hàm số hợp (SGK trg 116). Nguyên hàm I.3 là bài tập 3d (SGK trg 118) – cũng chỉ là nguyên hàm dạng [Only registered and activated users can see links] (với [Only registered and activated users can see links]
I.4 là bài tập 4a (SGK trg 142). Để tính tích phân này ta đổi biến: đặt x = atgt.
Trường hợp tổng quát
Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T + R/Q (T, R lần lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui về tính tích phân của đa thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích phân của đa thức T không có gì khó khăn. Sau đây ta xét cách tính tích phân của phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức Q.
Trừong hợp 1. Q là tam thức bậc hai: Q = [Only registered and activated users can see links]
Có ba khả năng:
(i). Q có hai nghiệm phân biệt [Only registered and activated users can see links]
Khi đó có Q = [Only registered and activated users can see links] Biến đổi:
[Only registered and activated users can see links] %7Bm%7D%7Bx-x_1%7D%20+%20%5Cfrac%7Bn%7D%7Bx-x_2%7D, ở đây m, n là hai hằng số.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1
(ii). Q có nghiệm kép [Only registered and activated users can see links]
Khi đó có Q = [Only registered and activated users can see links] Biến đổi:
[Only registered and activated users can see links] %7Bm%7D%7Bx-x_0%7D%20+%20%5Cfrac%7Bn%7D%7B%28x-x_0%29%5E2%7D
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2
(iii). Q vô nghiệm.
Khi đó Q = [Only registered and activated users can see links] (k là hằng số). Biến đổi:
[Only registered and activated users can see links] %7BmQ%27%7D%7BQ%7D%20+%20%5Cfrac%7Bn%7D%7Bx%5E2+k% 5E2%7D trong đó Q’ là đạo hàm của Q.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.3 và I.4
Trường hợp 2. Q là đa thức có bậc lớn hơn 2
Việc tính tích phân của phân thức R/Q với Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 trong trường hợp tổng quát vượt quá kiến thức PT. Thường ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q có thể phân tích thành nhân tử là các nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai vô nghiệm. Từ đó ta có thể biến đổi phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài toán như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4 . Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp ta đưa tích phân về dạng quen thuộc dđơn giản hơn.
Cuối cùng cũng lưu ý là bằng cách đổi biến, nhiều tích phân của hàm lượng giác, tích phân của hàm vô tỉ cũng đưa được về các dang tích phân trên. (ví dụ bài 1c của Kummer cho trên). Nhưng ta sẽ trở lại vấn đề này sau.
Các bạn hãy thử làm các bài tập sau để nắm rõ hơn phần lí thuyết nghe còn trừu tượng trên.
Bài tập: Tính các tích phân:
A = [Only registered and activated users can see links] E2+1%7Ddx
B = [Only registered and activated users can see links] %7D%7B2%7D%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-a%5E2%7Ddx với a > 0
C = [Only registered and activated users can see links] 1%7D%7Bx%5E2-x-2%7Ddx
D = [Only registered and activated users can see links] 0%7D%7Bx%5E2+2x+9%7Ddx
E = [Only registered and activated users can see links] E3+1%7Ddx
F = [Only registered and activated users can see links]
G = [Only registered and activated users can see links] E4+1%7Ddx
HD
A. dạng I.3 ĐS: [Only registered and activated users can see links]
B. Biến đổi: f(x) = [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B1%7D%7Bx+a%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-a%7D%29.
Ta đã đưa về được tích phân dạng I.1.
Chú ý nguyên hàm [Only registered and activated users can see links] 7Bx-a%7D%7Bx+a%7D%7C+C (a khác 0) cũng là một dạng nguyên hàm thường gặp, nên chú ý.
C. tương tự. ĐS [Only registered and activated users can see links] Bi%7D%7B4%7D
D. f(x) = 1 + [Only registered and activated users can see links] ĐS: 1 + [Only registered and activated users can see links] B3%7D%7D
E. f(x) = [Only registered and activated users can see links] frac%7B1%7D%7Bx%5E2-x+1%7D
ĐS: ln2+ [Only registered and activated users can see links] 3%7D%7D
F. f(x) = 1 + [Only registered and activated users can see links] %7D%7Bx-1%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+1%7D %20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2+ 1%7D
G. đặt t = [Only registered and activated users can see links]
Thêm mấy bài trích từ đề thi TS ĐH & CĐ mấy năm gần đây để các bạn làm quen
H = [Only registered and activated users can see links] %7B%28x-4%29%5E7%7D%20dx
I = [Only registered and activated users can see links] %5E2+5x+2%7D
J = [Only registered and activated users can see links] %7Bx%5E2+1%7D
K = [Only registered and activated users can see links] %7B1+x%5E8-2x%5E4%7D



[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] ([Only registered and activated users can see links])

[Night Sky]

2.Tích phân hàm lượng giác
Các dạng thường gặp
J.1 = [Only registered and activated users can see links]
J.2 = [Only registered and activated users can see links]
J.3 = [Only registered and activated users can see links] %7D%20=%20%5Cint%20%281+tg%5E2x%29dx
J.4 = [Only registered and activated users can see links] %7D%20=%20%5Cint%20%281+cotg%5E2x%29dx
Trên là 4 nguyên hàm lượng giác cơ bản đã học (có trong Bảng các nguyên hàm SGK).
Từ các nguyên hàm cơ bản này ta dễ dàng tính được [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] …
Các nguyên hàm sau cũng khá thường gặp, hơn nữa cách tính chúng rất điển hình cho cách tính tích phân các hàm lượng giác, nên cần nắm vững:
J.5 = [Only registered and activated users can see links]
J.6 = [Only registered and activated users can see links]
J.7 = [Only registered and activated users can see links]
J.8 = [Only registered and activated users can see links]
J.9 = [Only registered and activated users can see links]
J.10 = [Only registered and activated users can see links]
J.11 = [Only registered and activated users can see links] %7D
Tính J.5: tgx = sinx/cosx. Đặt u = cosx, đưa về tính nguyên hàm hửu tỉ dạng u’/u.
Trình bày gọn: [Only registered and activated users can see links] ac%7Bsinxdx%7D%7Bcosx%7D%20=%20-%5Cint%20%5Cfrac%7Bd%28cosx%29%7D%7Bcosx%7D = -ln|cosx| + C.
Hoàn toàn tương tự với [Only registered and activated users can see links]
J.6: biến đổi [Only registered and activated users can see links] đưa về tính nguyên hàm dạng J.1
Tương tự với [Only registered and activated users can see links]
( Nói chung, ta chỉ phát biểu bài toán với sin, tang. Bài toán với cos, cotg là tương tự, từ nay sẽ không nhắc lại
J.7: biến đổi [Only registered and activated users can see links] đưa về hai nguyên hàm cơ bản
J.8: [Only registered and activated users can see links] rac%7Bsinx%7D%7B1-cos%5E2x%7D, đặt u = cosx, đưa về nguyên hàm hàm hửu tỉ.
Cũng có thể đặt t = tg(x/2), dẫn đến [Only registered and activated users can see links] 20=%20%5Cint%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%7D = ln|t| + C = ln|tg(x/2)| + C.
J.9: [Only registered and activated users can see links] đưa về tính hai nguyên hàm cơ bản
Cũng có thể biến đổi: [Only registered and activated users can see links] cũng đưa về hai nguyên hàm cơ bản
J.10: [Only registered and activated users can see links] đựoc nguyên hàm cơ bản và I.5
J.11: đặt u = 1/sinx, dv = [Only registered and activated users can see links] qui về tính
I = [Only registered and activated users can see links] sin%5E3x%7D%20=%20%5Cint%20%5Cfrac%7B1-sin%5E2x%7D%7Bsin%5E3x%7Ddx%20=%20%5Cint%20%5Cfrac %7Bdx%7D%7Bsin%5E3x%7D-%5Cint%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bsinx%7D = J.11 + J.8

Từ các bài toán trên, ta thấy để tính tích phân hàm lượng giác các cách thường dùng là
1. Biến đổi đưa về tích phân cơ bản

Ví dụ ở I.6, I.7, I.9. Ta xét thêm vài thí dụ:
J.12 [Only registered and activated users can see links]
J.13 [Only registered and activated users can see links] 7Ddx
J.14 [Only registered and activated users can see links]
J.15 Giải phương trinh f(t) = [Only registered and activated users can see links] = 0
2. Đổi biến đưa về tích phân cơ bản

Ví dụ ở J.5, J.8, J.10. Sau đây là một số ví dụ khác:

J.16 = [Only registered and activated users can see links]

J.17 = [Only registered and activated users can see links] +3cosx+5%7D%20dx

J.18 = [Only registered and activated users can see links] Cpi/6%29%7D

J.19 = [Only registered and activated users can see links] +cosx%7D
3. Phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ với J.11. Một số ví dụ khác:

J.20 = [Only registered and activated users can see links] x%7D%7Bcos%5E2x%7D%20dx

J.21 = [Only registered and activated users can see links]

Hướng dẫn giải các ví dụ

J.12: Mẫu = 1+cosx = [Only registered and activated users can see links]

Chú ý dạng tổng quát cũng thường gặp:

[Only registered and activated users can see links] 7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D.tg%20%5Cfrac%7Bax%7 D%7B2%7D%20+%20C

[Only registered and activated users can see links] 2%7D%20+%20C

J.13: F(x) = [Only registered and activated users can see links] %5E3%7Bx%7D-%5Ccos%7Bx%7D%5Csin%5E3%7Bx%7D%20=%20%5Cfrac%7B3si nx-sin3x-sin2x%281-cos2x%29%7D%7B4%7D

J.14: F(x) = [Only registered and activated users can see links] rac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%7D%7D%5E2%20=%20tg%5E2%28x-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D

J.15: biến đổi hàm dưới dấu tích phân g(x) = [Only registered and activated users can see links] – 2cos2x.
Suy ra f(t) = sin2t [Only registered and activated users can see links] os2t-1%20%5Cright%29 = 0.

J.16: đặt t = tg(x/2).
Tổng quát: nguyên hàm dạng [Only registered and activated users can see links] osx+c%7D có thể hửu tỉ hóa bằng cách đặt t = tg(x/2).
Tuy nhiên khi tính tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] phải chú ý t = tg(x/2) có được xác định trên đoạn ấy? nếu không, phải tìm cách đổi biến khác.

J.17: Gọi M = mẫu thức, M’ = đạo hàm của M. Biến đổi:
F(x) = [Only registered and activated users can see links] =%20A%20+%20B%20%5Cfrac%7BM%27%7D%7BM%7D%20+%20C%2 0%5Cfrac%7B1%7D%7BM%7D

Tổng quát: [Only registered and activated users can see links] %7Dcosx+%7Bc%7D%7D%7B%7Ba%27%7Dsinx+%7Bb%27%7Dcosx +%7Bc%27%7D%7D%20dx: tính tương tự

J.18: F(x) = [Only registered and activated users can see links] i%7D%7B6%7D%29-x%29%7D%7Bsinx.sin%28x+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%2 9%7D.%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6 %7D%7D%7D

Tổng quát: với [Only registered and activated users can see links] a%29sin%28x+b%29%7D
Ta làm tương tự để biến đổi, đưa về tính hai tích phân cơ bản:
F(x) = [Only registered and activated users can see links] ac%7B1%7D%7Bsin%28a-b%29%7D = [Only registered and activated users can see links] Bsin%28x+b%29%7D-%5Cfrac%7Bcos%28x+a%29%7D%7Bsin%28x+a%29%7D%20%29


Tương tự với F(x) = 1/cos(x+a)cos(x+b), 1/sin(x+a)cos(x+b)...

Với [Only registered and activated users can see links] a%29+sin%28x+b%29%7D: biến đổi mẫu có dạng tổng thành tích, đưa về dạng trên.

J.19: mẫu = sin(x+pi/6), được dạng tích phân cơ bản.

Tổng quát: [Only registered and activated users can see links] osx%7D%20=%20%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsqrt%7Ba%5E 2+b%5E2%7D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bsin%28x+%5Calpha%29 %7D.
Cách khác: đặt t = tg(x/2) đưa về tích phân hữu tỉ.

J.20: đặt u = x, dv = dx/cos^2x.

J21: [Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7Bcos%5E2x%7D-1%20%5Cright%29
----------------------------------------------------------------------------

Một số đề thi TS ĐH&CĐ những năm gần đây để các bạn thực tập

D1 = [Only registered and activated users can see links] Ddx

D2 = [Only registered and activated users can see links]

D3 = [Only registered and activated users can see links]

D4 = [Only registered and activated users can see links] %5Cfrac%7Bxsinx%7D%7B1+cos%5E2x%7Ddx

D5 = [Only registered and activated users can see links]

D6 = [Only registered and activated users can see links]

D7 = [Only registered and activated users can see links]

D8 = [Only registered and activated users can see links]

D9 = [Only registered and activated users can see links]

D10 = [Only registered and activated users can see links] sin%5E%7B2004%7Dx+cos%5E%7B2004%7Dx%7Ddx
3.Tích phân hàm vô tỉ


Đổi biến
Trong nhiều trường hợp để tính tích phân [Only registered and activated users can see links] x%29%7D%20dx ta chỉ cần đơn giản đặt t = [Only registered and activated users can see links] Nhớ Đổi biến thì cũng phải đổi cận lấy tích phân.

Ví dụ 1: I = [Only registered and activated users can see links] 20%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B x%20%5Csqrt%7Bx%5E2+4%7D (Khối A-2003)

Đặt t = [Only registered and activated users can see links] ta đưa về tính tích phân hửu tỉ đơn giản [Only registered and activated users can see links] dt%7D%7Bt%5E2-4%7D

Ví dụ 2: I = [Only registered and activated users can see links] xdx%7D%7B1+%5Csqrt%7Bx-1%7D%7D (Khối A-2004)

Đặt t = [Only registered and activated users can see links] đưa về tính tíchphân hửu tỉ [Only registered and activated users can see links] t%5E3+t%7D%7B1+t%7Ddt

Ví dụ 3: I = [Only registered and activated users can see links] %5Csqrt%7B1+3lnx%7Dlnx%7D%7Bx%7Ddx (Khối B-2004)

Đặt t = [Only registered and activated users can see links] được [Only registered and activated users can see links] 2%7D%7B9%7D%20%28t%5E4-t%5E2%29dt

Một số dạng tích phân vô tỉ có cách Đổi biến đặc biệt, nên nhớ:

K1 = [Only registered and activated users can see links]
Đặt x = |a|sint, đưa về tích phân lượng giác quen thuộc [Only registered and activated users can see links]

K2 = [Only registered and activated users can see links] 7Ba%5E2-x%5E2%7D
Tương tự K1, đặt x = |a|sint

K3 = [Only registered and activated users can see links]
Đặt x= |a|tgt, đưa về tích phân lượng giác quen thuộc.

K4 = [Only registered and activated users can see links] 7D
Đặt t = x + [Only registered and activated users can see links]
Cũng còn một số dạng khác nữa, nhưng trên đây là các dạng thường gặp nhất. Ta làm vài ví dụ để luyện tập.

Ví dụ 4: [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 5: [Only registered and activated users can see links] Csqrt%7B4-x%5E2%7D
Ví dụ 6: [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%7D
Ví dụ 7: [Only registered and activated users can see links] dx
Ví dụ 8: [Only registered and activated users can see links] 5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%7D

Để tính tích phân các hàm vô tỉ ta còn dùng Phương pháp tích phân từng phần .
Trở lại ví dụ 7 trên đây: [Only registered and activated users can see links] dx
Ta còn có thể giải: đặt u = [Only registered and activated users can see links] dv = dx; bài toán qui về tính tích phân dạng K4
Ngoài ra, thường thì ta cũng phải biến đổi chút ít mới đưa về các dạng quen thuộc

Ví dụ 9: [Only registered and activated users can see links] Csqrt%7Bx+1%7D+%5Csqrt%7Bx%7D%7D
Ví dụ 10: [Only registered and activated users can see links] %7Bx+%5Csqrt%7Bx%5E2+1%7D%7D

Hướng dẫn giải các ví dụ

Vd4: Dạng K1, đặt x = sint (ví dụ1 SGK trg131)
Vd5: Dạng K2, đặt x = 2sint (bài tập 3.26-e SBT)
vd6: Dạng K4, đặt t = x + [Only registered and activated users can see links] (bài tập 3.26-d SBT)
Vd7: Dạng K3, đặt x = tgt, đưa về [Only registered and activated users can see links]
Đây là tích phân lượng giác quen thuộc (xem phần tích phân luọng giác)
Cách khác: đặt t = x + [Only registered and activated users can see links]
Vd8: Với tích phân dạng [Only registered and activated users can see links] có cách giải rất đặc trưng là đặt x = |a|/sint. Tuy nhiên có thể làm cách khác, như với ví dụ này: đặt t = 1/x đưa về tích phân dạng K2,
hoặc đơn giản hơn, đặt t = [Only registered and activated users can see links] đưa về tích phân hửu tỉ quen thuộc.
Vd9: Nhân lượng liên hiệp để khử căn ở mẫu,ta có ngay hai tích phân cơ bản
Vd10: Tương tự, nhân lương liên hiệp để khử căn ở mẫu, được

[Only registered and activated users can see links] Với tích phân thứ hai đặt t = [Only registered and activated users can see links]

Sau đây là một số bài tập tính tích phân hàm vô tỉ trích từ một số đề thi TS ĐH&CĐ mấy năm gần đây

BT1. [Only registered and activated users can see links] 5Cquad%20%5Csqrt%7B1+x%5E2%7Dx%5E3dx

BT2. [Only registered and activated users can see links]

BT3. [Only registered and activated users can see links] xdx%7D%7B%5Csqrt%7B2+x%7D+%5Csqrt%7B2-x%7D

BT4. [Only registered and activated users can see links] rt%7B4-x%5E2%7Ddx

BT5. [Only registered and activated users can see links] x+5%7D+4%7D

BT6. [Only registered and activated users can see links] %7D%7Bx%7Ddx

BT7. [Only registered and activated users can see links]

Hướng dẫn:
BT1: đặt [Only registered and activated users can see links]ũng có thể Đổi biến x = tant
BT2: đặt t = [Only registered and activated users can see links]
BT3: Nhân lượng liên hiệp khử mẫu
BT4: đặt x = 2sint
BT5: đặt [Only registered and activated users can see links]
BT6: đặt [Only registered and activated users can see links]
BT7: đặt [Only registered and activated users can see links]

[Night Sky]

SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ BÀI TẬP,CÁC BẠN GIẢI THỬ NHÉ
1/[Only registered and activated users can see links] lnx%7Ddx
2/[Only registered and activated users can see links] %7D%7B4%7D%7D%5Cfrac%7Bcosx-sinx%7D%7B%5Csqrt%7B2+sinx%7D%7Ddx
3/[Only registered and activated users can see links] %7B%28x+1%29%5Csqrt%7Bx%5E2+x+1%7D%7Ddx
4/[Only registered and activated users can see links] %7D%7B4%7D%7Dln%28cosx%29dx
5/[Only registered and activated users can see links] qrt%7Bx%5E2+x+1%7D%7D%7Bx+1%7Ddx
6/[Only registered and activated users can see links] %7D%7B4%7D%7D%5Cfrac%7Bx%5Cleft%28sin2x-cosx%20%5Cright%29%7D%7B%5Cleft%28cos2x+sinx%20%5C right%29%5E3%7Ddx

[Night Sky]

thấy hình độc ko ??? lo mà thank đi [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]

[wiz]

copy còn nguyên chữ quote kìa ......=)) xoá đi

[Night Sky]

Không biết xóa,rảnh thì xóa dùm đi nhok ;))

[thiena3]

troi, nhin sao cao sieu wa vậy chả hiểu gi hết