Night Sky
13-08-2009, 10:00 PM
Khi chia một đa thức bậc n cho 1 đa thức bậc 2, ta sẽ được thương là một đa thức bậc n – 2 và phần dư là nhị thức bậc nhất. Nếu đặt phép chia đa thức ta sẽ xác định được kết quả cần tìm, tuy nhiên, việc làm này vừa tốn thời gian, vừa dễ sai sót. Ta sẽ xây dựng sơ đồ thuật toán để có thể xác định nhanh chóng các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư giống như sơ đồ Hooc-ne chia đa thức cho nhị thức bậc nhất.
Giả sử, đa thức bị chia bậc n có dạng:
[Only registered and activated users can see links] n%7D+%2B+a_%7B1%7D.+x%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_%7B2%7Dx%5E%7Bn-2%7D+%2B+...+%2B+a_%7Bn-2%7D+.x%5E%7B2%7D+%2B+a_%7Bn-1%7D.x+%2B+a_%7Bn%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ta xét trường hợp tam thức bậc 2 có dạng: [Only registered and activated users can see links] (trường hợp hệ số của [Only registered and activated users can see links] dành cho các bạn tự xem xét). Đa thức thương:
[Only registered and activated users can see links]
Và phần dư: [Only registered and activated users can see links]
Ta có:
[Only registered and activated users can see links] Dx%5E%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7Bn-2%7D%2B+...%2B+a_%7Bn-2%7Dx%5E%7B2%7D%2Ba_%7Bn-1%7Dx+%2B+a_%7Bn%7D%7D+%3D+%5C%5C+%7B%28x%5E%7B2%7 D+%2B+px+%2B+q%29%7D.%7B%28b_%7B0%7Dx%5E%7Bn-2%7D%2Bb_%7B1%7Dx%5E%7Bn-3%7D%2B...%2Bb_%7Bn-4%7Dx%5E%7B2%7D+%2Bb_%7Bn-3%7Dx+%2B+b_%7Bn-2%7D%29%7D+%5C%5C+%2B+%7B%28cx+%2B+d%29%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Đồng nhất các hệ số ta có:
Từ đây ta sẽ xác định được các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư như sau:
Dựa trên hệ đẳng thức trên ta có thể lập bảng thuật toán sau để có thể xác định nhanh các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư khi chia một đa thức bậc n cho tam thức bậc hai:
Đầu tiên, dựa vào đẳng thức xác định các hệ số b_{0}, b_{1} và d. Ta sẽ có bảng sau:
Ta xác định các hệ số còn lại dựa vào đẳng thức sau:
[Only registered and activated users can see links]
Xác định hệ số b1:
Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a1 ta sẽ có hệ số b1.
Xác định hệ số b2:
Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a2 ta sẽ có hệ số b2.
Ta xác định hệ số b3 hoàn toàn tương tự, ta có:
Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a3 ta sẽ có hệ số b3.
Các hệ số còn lại được xác định hoàn toàn tương tự. Ta có bảng thuật toán tổng quát sau:
Ví dụ 1:
Chia đa thức [Only registered and activated users can see links] cho [Only registered and activated users can see links]
Ta lập bảng thuật toán sau:
Vậy ta có:
[Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 2:
Chia đa thức [Only registered and activated users can see links] cho [Only registered and activated users can see links]
Tương tự, áp dụng sơ đồ thuật toán ở trên ta sẽ có:
r r r} P_{n}&1&{}&-1&{}&1&{}&-1&{}&1&-1&{}&1 \\ \hline 2&0&{}&2&{}&2&{}&0&{}&-8&-14&{}&0 \\ \hline -3&0&{}&0&{}&-3&{}&-3&{}&0&12&{}&21 \\ \hline {}&1&{}&1&{}&0&{}&-4&{}&-7&-3&{}&22 \\ \end{array} " class="latex">
Vậy ta có:
[Only registered and activated users can see links]
Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, bạn sẽ thiết lập được sơ đồ thuật toán để tính nhanh kết quả của phép chia một đa thức bất kỳ cho một đa thức bậc 3, bậc 4, …
Bạn hãy thử xem thế nào nhé!
Giả sử, đa thức bị chia bậc n có dạng:
[Only registered and activated users can see links] n%7D+%2B+a_%7B1%7D.+x%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_%7B2%7Dx%5E%7Bn-2%7D+%2B+...+%2B+a_%7Bn-2%7D+.x%5E%7B2%7D+%2B+a_%7Bn-1%7D.x+%2B+a_%7Bn%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ta xét trường hợp tam thức bậc 2 có dạng: [Only registered and activated users can see links] (trường hợp hệ số của [Only registered and activated users can see links] dành cho các bạn tự xem xét). Đa thức thương:
[Only registered and activated users can see links]
Và phần dư: [Only registered and activated users can see links]
Ta có:
[Only registered and activated users can see links] Dx%5E%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7Bn-2%7D%2B+...%2B+a_%7Bn-2%7Dx%5E%7B2%7D%2Ba_%7Bn-1%7Dx+%2B+a_%7Bn%7D%7D+%3D+%5C%5C+%7B%28x%5E%7B2%7 D+%2B+px+%2B+q%29%7D.%7B%28b_%7B0%7Dx%5E%7Bn-2%7D%2Bb_%7B1%7Dx%5E%7Bn-3%7D%2B...%2Bb_%7Bn-4%7Dx%5E%7B2%7D+%2Bb_%7Bn-3%7Dx+%2B+b_%7Bn-2%7D%29%7D+%5C%5C+%2B+%7B%28cx+%2B+d%29%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Đồng nhất các hệ số ta có:
Từ đây ta sẽ xác định được các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư như sau:
Dựa trên hệ đẳng thức trên ta có thể lập bảng thuật toán sau để có thể xác định nhanh các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư khi chia một đa thức bậc n cho tam thức bậc hai:
Đầu tiên, dựa vào đẳng thức xác định các hệ số b_{0}, b_{1} và d. Ta sẽ có bảng sau:
Ta xác định các hệ số còn lại dựa vào đẳng thức sau:
[Only registered and activated users can see links]
Xác định hệ số b1:
Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a1 ta sẽ có hệ số b1.
Xác định hệ số b2:
Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a2 ta sẽ có hệ số b2.
Ta xác định hệ số b3 hoàn toàn tương tự, ta có:
Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a3 ta sẽ có hệ số b3.
Các hệ số còn lại được xác định hoàn toàn tương tự. Ta có bảng thuật toán tổng quát sau:
Ví dụ 1:
Chia đa thức [Only registered and activated users can see links] cho [Only registered and activated users can see links]
Ta lập bảng thuật toán sau:
Vậy ta có:
[Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 2:
Chia đa thức [Only registered and activated users can see links] cho [Only registered and activated users can see links]
Tương tự, áp dụng sơ đồ thuật toán ở trên ta sẽ có:
r r r} P_{n}&1&{}&-1&{}&1&{}&-1&{}&1&-1&{}&1 \\ \hline 2&0&{}&2&{}&2&{}&0&{}&-8&-14&{}&0 \\ \hline -3&0&{}&0&{}&-3&{}&-3&{}&0&12&{}&21 \\ \hline {}&1&{}&1&{}&0&{}&-4&{}&-7&-3&{}&22 \\ \end{array} " class="latex">
Vậy ta có:
[Only registered and activated users can see links]
Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, bạn sẽ thiết lập được sơ đồ thuật toán để tính nhanh kết quả của phép chia một đa thức bất kỳ cho một đa thức bậc 3, bậc 4, …
Bạn hãy thử xem thế nào nhé!