ThanhTam
15-08-2009, 07:04 AM
1. Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:
[Only registered and activated users can see links] (1) (hay [Only registered and activated users can see links] )
trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Cách giải:
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của (1) với thừa số [Only registered and activated users can see links] 7D++&bg=ffffff&fg=ff0000&s=0
Ta được:
[Only registered and activated users can see links] +dx%7D+%2B+p%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+ dx%7D.y%3Dq%28x%29e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx %7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 (*)
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số [Only registered and activated users can see links] %7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0. Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:
[Only registered and activated users can see links] 9+%5C%2C+dx%7D+%5Cright%29%5E%7B%27%7D+%3D+q%28x%2 9.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Lấy tích phân hai vế ta được:
[Only registered and activated users can see links] %7D+%3D+%5Cint+q%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C %2C+dx%7D+%5C%2C+dx+%2B+C+&bg=ffffff&fg=000000&s=0.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:
[Only registered and activated users can see links] int+q%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+% 5C%2C+dx+%2B+C+%5Cright%5D++&bg=ffffff&fg=ff0000&s=0
Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
Ví dụ: Giải phương trình [Only registered and activated users can see links]
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số [Only registered and activated users can see links] e%5E%7Bx%5E2%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0.
Ta đươc: [Only registered and activated users can see links] x%5E2%7D.y+%3D+4x.e%5E%7Bx%5E2%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Hay:
[Only registered and activated users can see links] left%28+y.e%5E%7Bx%5E2%7D+%5Cright%29+%3D+4x.e%5E% 7Bx%5E2%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Lấy tích phân 2 vế ta được:
[Only registered and activated users can see links] .e%5E%7Bx%5E2%7D+%5C%2C+dx%7D+%2B+C+%3D+2e%5E%7Bx% 5E2%7D+%2B+C+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: [Only registered and activated users can see links]
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: [Only registered and activated users can see links]
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
Thế vào phương trình ta có: [Only registered and activated users can see links] 28u.v%29+%3D+q%28x%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Hay: [Only registered and activated users can see links] u+%3D+q%28x%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 (*)
Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho [Only registered and activated users can see links] (**)
Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:
[Only registered and activated users can see links]
Chọn C = 1 ta có: [Only registered and activated users can see links]
Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:
[Only registered and activated users can see links] D%7Bu%28x%29%7D%7D+%3D+q%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28 x%29+%5C%2C+dx%7D+%5CRightarrow+v+%3D+%5Cint+q%28x %29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+%5C%2C+dx+ %2B+C_1+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
[Only registered and activated users can see links] 28x%29e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+%2B+C_1+ %5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng [Only registered and activated users can see links] với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: [Only registered and activated users can see links]
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: [Only registered and activated users can see links] chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):
[Only registered and activated users can see links]
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
[Only registered and activated users can see links]
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:
[Only registered and activated users can see links]
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
Thế vào phương trình ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7B-+%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D%3D+q%28x%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Suy ra: [Only registered and activated users can see links] 28x%29+%5C%2C+dx%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 . Từ đó tìm được v(x).
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v’(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.
Nguồn: thunhan.wordpress.com
[Only registered and activated users can see links] (1) (hay [Only registered and activated users can see links] )
trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Cách giải:
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của (1) với thừa số [Only registered and activated users can see links] 7D++&bg=ffffff&fg=ff0000&s=0
Ta được:
[Only registered and activated users can see links] +dx%7D+%2B+p%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+ dx%7D.y%3Dq%28x%29e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx %7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 (*)
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số [Only registered and activated users can see links] %7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0. Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:
[Only registered and activated users can see links] 9+%5C%2C+dx%7D+%5Cright%29%5E%7B%27%7D+%3D+q%28x%2 9.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Lấy tích phân hai vế ta được:
[Only registered and activated users can see links] %7D+%3D+%5Cint+q%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C %2C+dx%7D+%5C%2C+dx+%2B+C+&bg=ffffff&fg=000000&s=0.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:
[Only registered and activated users can see links] int+q%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+% 5C%2C+dx+%2B+C+%5Cright%5D++&bg=ffffff&fg=ff0000&s=0
Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
Ví dụ: Giải phương trình [Only registered and activated users can see links]
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số [Only registered and activated users can see links] e%5E%7Bx%5E2%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0.
Ta đươc: [Only registered and activated users can see links] x%5E2%7D.y+%3D+4x.e%5E%7Bx%5E2%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Hay:
[Only registered and activated users can see links] left%28+y.e%5E%7Bx%5E2%7D+%5Cright%29+%3D+4x.e%5E% 7Bx%5E2%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Lấy tích phân 2 vế ta được:
[Only registered and activated users can see links] .e%5E%7Bx%5E2%7D+%5C%2C+dx%7D+%2B+C+%3D+2e%5E%7Bx% 5E2%7D+%2B+C+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: [Only registered and activated users can see links]
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: [Only registered and activated users can see links]
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
Thế vào phương trình ta có: [Only registered and activated users can see links] 28u.v%29+%3D+q%28x%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Hay: [Only registered and activated users can see links] u+%3D+q%28x%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 (*)
Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho [Only registered and activated users can see links] (**)
Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:
[Only registered and activated users can see links]
Chọn C = 1 ta có: [Only registered and activated users can see links]
Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:
[Only registered and activated users can see links] D%7Bu%28x%29%7D%7D+%3D+q%28x%29.e%5E%7B%5Cint+p%28 x%29+%5C%2C+dx%7D+%5CRightarrow+v+%3D+%5Cint+q%28x %29.e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+%5C%2C+dx+ %2B+C_1+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
[Only registered and activated users can see links] 28x%29e%5E%7B%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D+%2B+C_1+ %5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng [Only registered and activated users can see links] với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: [Only registered and activated users can see links]
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: [Only registered and activated users can see links] chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):
[Only registered and activated users can see links]
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
[Only registered and activated users can see links]
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:
[Only registered and activated users can see links]
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
Thế vào phương trình ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7B-+%5Cint+p%28x%29+%5C%2C+dx%7D%3D+q%28x%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Suy ra: [Only registered and activated users can see links] 28x%29+%5C%2C+dx%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 . Từ đó tìm được v(x).
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v’(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.
Nguồn: thunhan.wordpress.com