Night Sky
18-08-2009, 01:36 PM
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
A. Phương pháp đặt ẩn phụ
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ
Sau đây là bài viết :
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu [Only registered and activated users can see links] eq%20athì ta có thể đặt [Only registered and activated users can see links] %5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5Cpi %20%7D%7B2%7D%29 hoặc [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
Ví dụ 1 :
[Only registered and activated users can see links] Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7D%20%7D%20=%20x%281%20+%202%5Csqrt%7B1%2 0-%20x%5E2%7D%29
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 201 Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5Cpi %7D%7B2%7D%29 Phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] +%20cost%20%7D%20=%20sint%20%281%20+%202cost%29
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] cos%20%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%20=%20sint%20+%2 0sin2t%20=%202sin%28%5Cfrac%7B3t%7D%7B2%7D%29cos%2 8%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29
[Only registered and activated users can see links] cos([Only registered and activated users can see links] 2%7D)([Only registered and activated users can see links] %20%28%5Cfrac%7B3t%7D%7B2%7D%29%20-%201 ) = 0
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] os%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%20=%200%20%5C%5C%20% 7Bsin%28%5Cfrac%7B3t%7D%7B2%7D%29%20=%20%5Cfrac%7B 1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20=%20%282k+1%29%5Cpi%20%5C%5C%20%7Bt%20=%20%5Cfr ac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20+%20k%5Cfrac%7B4%5Cpi%20 %7D%7B3%7D
Kết hợp với điều kiện của t suy ra : [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B6%7D
Vậy phương trình có 1 nghiệm : [Only registered and activated users can see links] %5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%29%20=%20%5Cfrac%7B1% 7D%7B2%7D
Ví dụ 2 :
[Only registered and activated users can see links] 0%5Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7D%7D%5B%5Csqrt%7B%281%20+%20x%29%5E3%7D% 20-%20%5Csqrt%7B%281%20-%20x%29%5E3%7D%5D%20=%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7 B3%7D%20%7D%20+%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%20-%20x%5E2%7D%7B3%7D%20%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 201
Khi đó VP > 0 .
Nếu [Only registered and activated users can see links] D%20-%20%5Csqrt%7B%281%20-%20x%29%5E3%7D%20%5Cleq%200
Nếu [Only registered and activated users can see links] 20;%201%5D .
Đặt [Only registered and activated users can see links] , với [Only registered and activated users can see links] 20;%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D ta có :
[Only registered and activated users can see links] D%28sin%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%20+%20cos%28%5C frac%7Bt%7D%7B2%7D%29%29%28cos%5E3%28%5Cfrac%7Bt%7 D%7B2%7D%29%20-%20sin%5E3%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%29%20=%202%2 0+%20sint
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] st%281%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dsint%29%20=%202% 20+%20sint
[Only registered and activated users can see links] ( [Only registered and activated users can see links] t%20-%201 ) ( [Only registered and activated users can see links] ) = 0
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D
Vậy nghiệm của phương trình là [Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D
Ví dụ 3 :
[Only registered and activated users can see links] rt%7B%5Cfrac%7B1%20-%202x%7D%7B1%20+%202x%7D%20%7D%20+%20%5Csqrt%7B%5C frac%7B1%20+%202x%7D%7B1%20-%202x%7D%20%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] 7Bt%7D%7B2%7D%29%20+%20cos%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D %29%29%5Csqrt%7B2%7D%20=%20tan%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B 2%7D%29%20+%20cotan%20%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 29%20=%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bsin%5E2t%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] n%5E2t%20-%202%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Vậy nghiệm của phương trình là [Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D
Ví dụ 3 :
[Only registered and activated users can see links] rt%7B%5Cfrac%7B1%20-%202x%7D%7B1%20+%202x%7D%20%7D%20+%20%5Csqrt%7B%5C frac%7B1%20+%202x%7D%7B1%20-%202x%7D%20%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] 7Bt%7D%7B2%7D%29%20+%20cos%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D %29%29%5Csqrt%7B2%7D%20=%20tan%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B 2%7D%29%20+%20cotan%20%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 29%20=%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bsin%5E2t%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] n%5E2t%20-%202%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 4
[Only registered and activated users can see links]
HD :
Nếu [Only registered and activated users can see links] : phương trình không xác định .
Chú ý với [Only registered and activated users can see links] ta có :
[Only registered and activated users can see links]
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
khi đó phương trình đã cho trở thành : [Only registered and activated users can see links] 8%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29 2. Nếu [Only registered and activated users can see links] 20a thì ta có thể đặt :
[Only registered and activated users can see links] ac%7Ba%7D%7Bsint%7D%20,%20t%20%5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D;%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D %7B2%7D%29%20,%20t%20%5Cneq%200
[Only registered and activated users can see links] Cfrac%7Ba%7D%7Bcost%7D%20,%20t%20%5Cin%20%280%20;% 20%5Cpi%29%20,%20t%20%5Cneq%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7 D%7B2%7D
Ví dụ 5 :
[Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%201%7D%20%7D%20=%201
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] B1%7D%7Bsint%7D%20,%20t%20%5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D;%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D %7B2%7D%29
Phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] sin%5E2t%7D%281%20+%20cotant%29%20=%201
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B1%7D%7Bsint%7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20=%200%20%5C%5C%20%7Bsin2t%20=%20-1/2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
kết hợp với điều kiện của t suy ra [Only registered and activated users can see links]
Vậy phương trình có 1 nghiệm : [Only registered and activated users can see links] B1%7D%7Bsin%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B12%7D%29%7D%20=%20-%5Csqrt%7B2%7D%28%5Csqrt%7B3%7D%20+%201%29
TQ : [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%201%7D%20%7D%29%20=%20a
Ví dụ 6 :
[Only registered and activated users can see links] B3x%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%209%7D%20%7D%20=%202
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] B3%7D%7Bcost%7D%20,%20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi %29%20,%20t%20%5Cneq%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7 D
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] cost%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsint%7D%20=%202%5Cs qrt%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %202sin%5E22t
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B4%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B3%7D%7Bcos%28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%29%7D%2 0=%203%5Csqrt%7B2%7D (thỏa mãn)
TQ : [Only registered and activated users can see links] Bax%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%20a%5E2%7D%20%7D%20=%20b
với a,b là các hằng số cho trước : 3. Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%28-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B2%7D%29 để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 :
[Only registered and activated users can see links] (1)
Lời giải :
Do [Only registered and activated users can see links] m%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D không là nghiệm của phương trình nên :
(1) [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] (2)
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%28-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B2%7D%29 .
Khi đó (2) trở thành :
[Only registered and activated users can see links] t%7B3%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%20+%20k%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7 B3%7D
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
[Only registered and activated users can see links] frac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29%20;%20x%20=%20tan%28% 5Cfrac%7B2%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29;%20x%20=%20tan%28% 5Cfrac%7B7%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29
Ví dụ 8 :
[Only registered and activated users can see links] 0+%201%7D%20+%20%5Cfrac%7Bx%5E2%20+%201%7D%7B2x%7D %20=%20%5Cfrac%7B%28x%5E2%20+%201%29%5E2%7D%7B2x%2 81%20-%20x%5E2%29%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] ;%20x%20%5Cneq%20%5Cpm%201
Đặt [Only registered and activated users can see links] 0t%20%5Cin%20%28-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B2%7D%29%20,%20t%20%5Cneq%20%7B0%20;%20 %5Cpm%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%29
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] cost%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin2t%7D%20=%20%5Cf rac%7B2%7D%7Bsin4t%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] cost%7D%281%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2sint%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2sint.cos2t%7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 0cos2t%20-%201%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20=%200%5C%5C%7Bsint%20=%20-1%7D%5C%5C%7Bsint%20=%201/2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] =%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20+%20k2%5Cpi%5C%5 C%7Bt%20=%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20+%20k2% 5Cpi
Kết hợp với điều kiện su ra : [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B6%7D
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
[Only registered and activated users can see links] B1%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D
4. Mặc định điều kiện : [Only registered and activated users can see links] 20a . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :
Ví dụ 9 :
[Only registered and activated users can see links] 6x%20+%201%7D%20=%202x
Lời giải :
phương trình đã cho tương đương với :
[Only registered and activated users can see links] (1)
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%5B0%20;%20%5Cpi%5D:
(1) trở thành :
[Only registered and activated users can see links] ac%7B1%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%20+%20k%5Cfrac%7B2%5Cp i%20%7D%7B3%7D%20%28k%20%5Cin%20Z%29
Suy ra (1) có tập nghiệm :
[Only registered and activated users can see links] %28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29;%20cos%28%5Cfra c%7B5%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29%20;%20cos%28%5Cfrac%7B7 %5Cpi%20%7D%7B9%7D%29%5D
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :
[Only registered and activated users can see links] 9%7D.Q%28x%29%20=%20f%28x%29%20+%20P%28x%29.x
khi đó :
Đặt [Only registered and activated users can see links] 9%7D%20=%20t%20,%20t%20%3E%200. Phương trình viết thành :
[Only registered and activated users can see links]
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình [Only registered and activated users can see links] 9%7D%20=%20t sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 1 :
[Only registered and activated users can see links] %204%7D%20+%204%5Csqrt%7B2%20-%20x%7D%20=%20%5Csqrt%7B9x%5E2%20+%2016%7D (1)
lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 202
Đặt [Only registered and activated users can see links] B2%284%20-%20x%5E2%29%7D
Lúc đó :
(1) [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20+%2016%5Csqrt%7B2%284%20-%20x%5E2%29%7D%20+%2016%282%20-%20x%29%20=%209x%5E2%20+%2016
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Phương trình trở thành :
[Only registered and activated users can see links] 20-%20x%5E2%20-%208x%20=%200
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được :
[Only registered and activated users can see links] %7Bx%7D%7B2%7D%20;%20t_2%20=%20-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20-%204
Do [Only registered and activated users can see links] 202 nên [Only registered and activated users can see links] không thỏa điều kiện [Only registered and activated users can see links] .
Với [Only registered and activated users can see links] Bx%7D%7B2%7D thì :
[Only registered and activated users can see links] 0-%20x%5E2%29%7D%20=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %5Cgeq%200%5C%5C%7B8%284%20-%20x%5E2%29%20=%20x%5E2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B4%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B3%7D ( thỏa mãn điều kiên [Only registered and activated users can see links] 202%29
Ví dụ 2 :
[Only registered and activated users can see links] %2012%5Csqrt%7Bx%20+%201%7D%20=%2036
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] Bx%20+%201%7D%20%5Cgeq%200 .
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] %20-%2036%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B-6%20%5Cpm%206t%20%7D%7Bx%7D
* Với [Only registered and activated users can see links] B-6%20-%206t%20%7D%7Bx%7D ,
ta có :
[Only registered and activated users can see links] 20=%20-%206(vô nghiệm vì : [Only registered and activated users can see links] 0;%20VP%20%3C%200)
* Với [Only registered and activated users can see links] B-6%20+%206t%20%7D%7Bx%7D , ta có :
[Only registered and activated users can see links]
Do [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm của phương trình nên :
[Only registered and activated users can see links] B6%7D%7B6%20-%20x%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 01%7D%20=%20%5Cfrac%7B6%7D%7B6%20-%20x%7D
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : [Only registered and activated users can see links] (thỏa mãn)
TQ : [Only registered and activated users can see links] +%202b%5Csqrt%7Bx%20+%20a%7D%20=%20b%5E2
Ví dụ 3 :
[Only registered and activated users can see links] 5E2%20+%201%7D%20-%201%29%20=%20x%281%20+%203x%20+%208%5Csqrt%7B2x%5 E2%20+%201%7D%29
Lời giải :
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20+%201%7D%20=%20t%20%5Cgeq%20%201 .
Phương trình đã cho viết thành :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Từ đó ta tìm được [Only registered and activated users can see links] Bx%7D%7B3%7D hoặc [Only registered and activated users can see links]
Giải ra được : [Only registered and activated users can see links] .
* Nhận xét :
Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 4 :
[Only registered and activated users can see links]
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] .
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links]
Giải ra : [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] (loại)
* [Only registered and activated users can see links] ta có :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] =%201%5C%5C%7Bx%20=%203%7D
Vậy [Only registered and activated users can see links] %20=%203 là các nghiệm của phương trình đã cho .
ví dụ 5 :
[Only registered and activated users can see links] %202x%20+%201
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 20-1
Đặt [Only registered and activated users can see links] Bx%5E3%20+%201%7D
Phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
A. Phương pháp đặt ẩn phụ
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ
Sau đây là bài viết :
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu [Only registered and activated users can see links] eq%20athì ta có thể đặt [Only registered and activated users can see links] %5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5Cpi %20%7D%7B2%7D%29 hoặc [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
Ví dụ 1 :
[Only registered and activated users can see links] Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7D%20%7D%20=%20x%281%20+%202%5Csqrt%7B1%2 0-%20x%5E2%7D%29
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 201 Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5Cpi %7D%7B2%7D%29 Phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] +%20cost%20%7D%20=%20sint%20%281%20+%202cost%29
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] cos%20%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%20=%20sint%20+%2 0sin2t%20=%202sin%28%5Cfrac%7B3t%7D%7B2%7D%29cos%2 8%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29
[Only registered and activated users can see links] cos([Only registered and activated users can see links] 2%7D)([Only registered and activated users can see links] %20%28%5Cfrac%7B3t%7D%7B2%7D%29%20-%201 ) = 0
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] os%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%20=%200%20%5C%5C%20% 7Bsin%28%5Cfrac%7B3t%7D%7B2%7D%29%20=%20%5Cfrac%7B 1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20=%20%282k+1%29%5Cpi%20%5C%5C%20%7Bt%20=%20%5Cfr ac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20+%20k%5Cfrac%7B4%5Cpi%20 %7D%7B3%7D
Kết hợp với điều kiện của t suy ra : [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B6%7D
Vậy phương trình có 1 nghiệm : [Only registered and activated users can see links] %5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%29%20=%20%5Cfrac%7B1% 7D%7B2%7D
Ví dụ 2 :
[Only registered and activated users can see links] 0%5Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7D%7D%5B%5Csqrt%7B%281%20+%20x%29%5E3%7D% 20-%20%5Csqrt%7B%281%20-%20x%29%5E3%7D%5D%20=%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7 B3%7D%20%7D%20+%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%20-%20x%5E2%7D%7B3%7D%20%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 201
Khi đó VP > 0 .
Nếu [Only registered and activated users can see links] D%20-%20%5Csqrt%7B%281%20-%20x%29%5E3%7D%20%5Cleq%200
Nếu [Only registered and activated users can see links] 20;%201%5D .
Đặt [Only registered and activated users can see links] , với [Only registered and activated users can see links] 20;%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D ta có :
[Only registered and activated users can see links] D%28sin%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%20+%20cos%28%5C frac%7Bt%7D%7B2%7D%29%29%28cos%5E3%28%5Cfrac%7Bt%7 D%7B2%7D%29%20-%20sin%5E3%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29%29%20=%202%2 0+%20sint
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] st%281%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dsint%29%20=%202% 20+%20sint
[Only registered and activated users can see links] ( [Only registered and activated users can see links] t%20-%201 ) ( [Only registered and activated users can see links] ) = 0
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D
Vậy nghiệm của phương trình là [Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D
Ví dụ 3 :
[Only registered and activated users can see links] rt%7B%5Cfrac%7B1%20-%202x%7D%7B1%20+%202x%7D%20%7D%20+%20%5Csqrt%7B%5C frac%7B1%20+%202x%7D%7B1%20-%202x%7D%20%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] 7Bt%7D%7B2%7D%29%20+%20cos%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D %29%29%5Csqrt%7B2%7D%20=%20tan%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B 2%7D%29%20+%20cotan%20%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 29%20=%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bsin%5E2t%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] n%5E2t%20-%202%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Vậy nghiệm của phương trình là [Only registered and activated users can see links] c%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D
Ví dụ 3 :
[Only registered and activated users can see links] rt%7B%5Cfrac%7B1%20-%202x%7D%7B1%20+%202x%7D%20%7D%20+%20%5Csqrt%7B%5C frac%7B1%20+%202x%7D%7B1%20-%202x%7D%20%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] 7Bt%7D%7B2%7D%29%20+%20cos%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D %29%29%5Csqrt%7B2%7D%20=%20tan%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B 2%7D%29%20+%20cotan%20%28%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 29%20=%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bsin%5E2t%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] n%5E2t%20-%202%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 4
[Only registered and activated users can see links]
HD :
Nếu [Only registered and activated users can see links] : phương trình không xác định .
Chú ý với [Only registered and activated users can see links] ta có :
[Only registered and activated users can see links]
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi%29
khi đó phương trình đã cho trở thành : [Only registered and activated users can see links] 8%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%29 2. Nếu [Only registered and activated users can see links] 20a thì ta có thể đặt :
[Only registered and activated users can see links] ac%7Ba%7D%7Bsint%7D%20,%20t%20%5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D;%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D %7B2%7D%29%20,%20t%20%5Cneq%200
[Only registered and activated users can see links] Cfrac%7Ba%7D%7Bcost%7D%20,%20t%20%5Cin%20%280%20;% 20%5Cpi%29%20,%20t%20%5Cneq%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7 D%7B2%7D
Ví dụ 5 :
[Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%201%7D%20%7D%20=%201
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] B1%7D%7Bsint%7D%20,%20t%20%5Cin%20%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D;%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D %7B2%7D%29
Phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] sin%5E2t%7D%281%20+%20cotant%29%20=%201
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B1%7D%7Bsint%7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20=%200%20%5C%5C%20%7Bsin2t%20=%20-1/2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
kết hợp với điều kiện của t suy ra [Only registered and activated users can see links]
Vậy phương trình có 1 nghiệm : [Only registered and activated users can see links] B1%7D%7Bsin%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B12%7D%29%7D%20=%20-%5Csqrt%7B2%7D%28%5Csqrt%7B3%7D%20+%201%29
TQ : [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%201%7D%20%7D%29%20=%20a
Ví dụ 6 :
[Only registered and activated users can see links] B3x%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%209%7D%20%7D%20=%202
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] B3%7D%7Bcost%7D%20,%20t%20%5Cin%20%280%20;%20%5Cpi %29%20,%20t%20%5Cneq%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7 D
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] cost%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsint%7D%20=%202%5Cs qrt%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %202sin%5E22t
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B4%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B3%7D%7Bcos%28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%29%7D%2 0=%203%5Csqrt%7B2%7D (thỏa mãn)
TQ : [Only registered and activated users can see links] Bax%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%20-%20a%5E2%7D%20%7D%20=%20b
với a,b là các hằng số cho trước : 3. Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%28-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B2%7D%29 để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 :
[Only registered and activated users can see links] (1)
Lời giải :
Do [Only registered and activated users can see links] m%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D không là nghiệm của phương trình nên :
(1) [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] (2)
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%28-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B2%7D%29 .
Khi đó (2) trở thành :
[Only registered and activated users can see links] t%7B3%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%20+%20k%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7 B3%7D
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
[Only registered and activated users can see links] frac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29%20;%20x%20=%20tan%28% 5Cfrac%7B2%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29;%20x%20=%20tan%28% 5Cfrac%7B7%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29
Ví dụ 8 :
[Only registered and activated users can see links] 0+%201%7D%20+%20%5Cfrac%7Bx%5E2%20+%201%7D%7B2x%7D %20=%20%5Cfrac%7B%28x%5E2%20+%201%29%5E2%7D%7B2x%2 81%20-%20x%5E2%29%7D
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] ;%20x%20%5Cneq%20%5Cpm%201
Đặt [Only registered and activated users can see links] 0t%20%5Cin%20%28-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20;%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B2%7D%29%20,%20t%20%5Cneq%20%7B0%20;%20 %5Cpm%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%29
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] cost%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin2t%7D%20=%20%5Cf rac%7B2%7D%7Bsin4t%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] cost%7D%281%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2sint%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2sint.cos2t%7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 0cos2t%20-%201%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20=%200%5C%5C%7Bsint%20=%20-1%7D%5C%5C%7Bsint%20=%201/2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] =%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20+%20k2%5Cpi%5C%5 C%7Bt%20=%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20+%20k2% 5Cpi
Kết hợp với điều kiện su ra : [Only registered and activated users can see links] B%5Cpi%20%7D%7B6%7D
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
[Only registered and activated users can see links] B1%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D
4. Mặc định điều kiện : [Only registered and activated users can see links] 20a . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :
Ví dụ 9 :
[Only registered and activated users can see links] 6x%20+%201%7D%20=%202x
Lời giải :
phương trình đã cho tương đương với :
[Only registered and activated users can see links] (1)
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20t%20%5Cin%20%5B0%20;%20%5Cpi%5D:
(1) trở thành :
[Only registered and activated users can see links] ac%7B1%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%20+%20k%5Cfrac%7B2%5Cp i%20%7D%7B3%7D%20%28k%20%5Cin%20Z%29
Suy ra (1) có tập nghiệm :
[Only registered and activated users can see links] %28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29;%20cos%28%5Cfra c%7B5%5Cpi%20%7D%7B9%7D%29%20;%20cos%28%5Cfrac%7B7 %5Cpi%20%7D%7B9%7D%29%5D
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :
[Only registered and activated users can see links] 9%7D.Q%28x%29%20=%20f%28x%29%20+%20P%28x%29.x
khi đó :
Đặt [Only registered and activated users can see links] 9%7D%20=%20t%20,%20t%20%3E%200. Phương trình viết thành :
[Only registered and activated users can see links]
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình [Only registered and activated users can see links] 9%7D%20=%20t sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 1 :
[Only registered and activated users can see links] %204%7D%20+%204%5Csqrt%7B2%20-%20x%7D%20=%20%5Csqrt%7B9x%5E2%20+%2016%7D (1)
lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 202
Đặt [Only registered and activated users can see links] B2%284%20-%20x%5E2%29%7D
Lúc đó :
(1) [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %20+%2016%5Csqrt%7B2%284%20-%20x%5E2%29%7D%20+%2016%282%20-%20x%29%20=%209x%5E2%20+%2016
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Phương trình trở thành :
[Only registered and activated users can see links] 20-%20x%5E2%20-%208x%20=%200
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được :
[Only registered and activated users can see links] %7Bx%7D%7B2%7D%20;%20t_2%20=%20-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20-%204
Do [Only registered and activated users can see links] 202 nên [Only registered and activated users can see links] không thỏa điều kiện [Only registered and activated users can see links] .
Với [Only registered and activated users can see links] Bx%7D%7B2%7D thì :
[Only registered and activated users can see links] 0-%20x%5E2%29%7D%20=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] %5Cgeq%200%5C%5C%7B8%284%20-%20x%5E2%29%20=%20x%5E2%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B4%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B3%7D ( thỏa mãn điều kiên [Only registered and activated users can see links] 202%29
Ví dụ 2 :
[Only registered and activated users can see links] %2012%5Csqrt%7Bx%20+%201%7D%20=%2036
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] Bx%20+%201%7D%20%5Cgeq%200 .
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links] %20-%2036%20=%200
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] B-6%20%5Cpm%206t%20%7D%7Bx%7D
* Với [Only registered and activated users can see links] B-6%20-%206t%20%7D%7Bx%7D ,
ta có :
[Only registered and activated users can see links] 20=%20-%206(vô nghiệm vì : [Only registered and activated users can see links] 0;%20VP%20%3C%200)
* Với [Only registered and activated users can see links] B-6%20+%206t%20%7D%7Bx%7D , ta có :
[Only registered and activated users can see links]
Do [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm của phương trình nên :
[Only registered and activated users can see links] B6%7D%7B6%20-%20x%7D
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] 01%7D%20=%20%5Cfrac%7B6%7D%7B6%20-%20x%7D
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : [Only registered and activated users can see links] (thỏa mãn)
TQ : [Only registered and activated users can see links] +%202b%5Csqrt%7Bx%20+%20a%7D%20=%20b%5E2
Ví dụ 3 :
[Only registered and activated users can see links] 5E2%20+%201%7D%20-%201%29%20=%20x%281%20+%203x%20+%208%5Csqrt%7B2x%5 E2%20+%201%7D%29
Lời giải :
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20+%201%7D%20=%20t%20%5Cgeq%20%201 .
Phương trình đã cho viết thành :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Từ đó ta tìm được [Only registered and activated users can see links] Bx%7D%7B3%7D hoặc [Only registered and activated users can see links]
Giải ra được : [Only registered and activated users can see links] .
* Nhận xét :
Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 4 :
[Only registered and activated users can see links]
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] .
phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links]
Giải ra : [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links] (loại)
* [Only registered and activated users can see links] ta có :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] =%201%5C%5C%7Bx%20=%203%7D
Vậy [Only registered and activated users can see links] %20=%203 là các nghiệm của phương trình đã cho .
ví dụ 5 :
[Only registered and activated users can see links] %202x%20+%201
Lời giải :
ĐK : [Only registered and activated users can see links] 20-1
Đặt [Only registered and activated users can see links] Bx%5E3%20+%201%7D
Phương trình đã cho trở thành :
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]