Night Sky
30-08-2009, 09:33 PM
Lược sử tích phân
Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes ([Only registered and activated users can see links]) (287 ([Only registered and activated users can see links])–212 trước Công nguyên ([Only registered and activated users can see links])), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích ([Only registered and activated users can see links]) khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số ([Only registered and activated users can see links]), hàm số ([Only registered and activated users can see links]) hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân ([Only registered and activated users can see links]) và môn toán học ([Only registered and activated users can see links]) của những phép tính này, giải tích ([Only registered and activated users can see links]), đã chính thức được khám phá bởi Leibniz ([Only registered and activated users can see links]) (1646 ([Only registered and activated users can see links])–1716 ([Only registered and activated users can see links])) và Isaac Newton ([Only registered and activated users can see links]) (1642 ([Only registered and activated users can see links])–1727 ([Only registered and activated users can see links])). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân ([Only registered and activated users can see links]) là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học ([Only registered and activated users can see links]), vật lý ([Only registered and activated users can see links]) và thiên văn học ([Only registered and activated users can see links]).
J. B. Fourier ([Only registered and activated users can see links]) (1768 ([Only registered and activated users can see links])–1830 ([Only registered and activated users can see links])) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier ([Only registered and activated users can see links]) (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác ([Only registered and activated users can see links]) và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học ([Only registered and activated users can see links]), âm nhạc ([Only registered and activated users can see links]) và ngôn ngữ học ([Only registered and activated users can see links]).
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss ([Only registered and activated users can see links]) (1777 ([Only registered and activated users can see links])–1855 ([Only registered and activated users can see links])). Ông đã cùng nhiều nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học ([Only registered and activated users can see links]) và vật lý ([Only registered and activated users can see links]). Cauchy ([Only registered and activated users can see links]) (1789 ([Only registered and activated users can see links])–1857 ([Only registered and activated users can see links])) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826 ([Only registered and activated users can see links])–1866 ([Only registered and activated users can see links])) và Lebesgue ([Only registered and activated users can see links]) (1875 ([Only registered and activated users can see links])–1941 ([Only registered and activated users can see links])) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
Liouville (1809 ([Only registered and activated users can see links])–1882 ([Only registered and activated users can see links])) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite (1822 ([Only registered and activated users can see links])–1901 ([Only registered and activated users can see links])) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp này đã được mở rộng cho các phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 ([Only registered and activated users can see links]) bởi A. M. Ostrowski ([Only registered and activated users can see links]).
Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20 ([Only registered and activated users can see links]), nhiều lý thuyết giúp tính các tích phân khác nhau đã không ngừng được phát triển và ứng dụng để lập các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. Một số những nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) đóng góp cho công việc này là G. N. Watson ([Only registered and activated users can see links]), E. C. Titchmarsh ([Only registered and activated users can see links]), E. W. Barnes ([Only registered and activated users can see links]), H. Mellin ([Only registered and activated users can see links]), C. S. Meijer ([Only registered and activated users can see links]), W. Grobner ([Only registered and activated users can see links]), N. Hofreiter ([Only registered and activated users can see links]), A. Erdelyi ([Only registered and activated users can see links]), L. Lewin ([Only registered and activated users can see links]), Y. L. Luke ([Only registered and activated users can see links]), W. Magnus ([Only registered and activated users can see links]), A. Apelblat ([Only registered and activated users can see links]), F. Oberhettinger ([Only registered and activated users can see links]), I. S. Gradshteyn ([Only registered and activated users can see links]), H. Exton ([Only registered and activated users can see links]), H. M. Srivastava ([Only registered and activated users can see links]), A. P. Prudnikov ([Only registered and activated users can see links]), Ya. A. Brychkov ([Only registered and activated users can see links]), và O. I. Marichev ([Only registered and activated users can see links]).
Vào năm 1969 ([Only registered and activated users can see links]), R. H. Risch ([Only registered and activated users can see links]) đã đóng góp một phát triển vượt bậc cho các thuật toán tính tích phân vô định bằng công trình của ông về lý thuyết tổng quát và ứng dụng trong tích phân các hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của phương pháp là giải một phương trình vi phân ([Only registered and activated users can see links]) khá khó. Những phát triển tiếp nối của nhiều nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) khác đã giúp giải được phương trình vi phân ([Only registered and activated users can see links]) này cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn thiện phương pháp của Risch. Trong những năm 1980 ([Only registered and activated users can see links]) đã có những tiến bộ mở rộng phương pháp này cho cả các hàm không cơ bản đặc biệt.
Từ thập niên 1990 ([Only registered and activated users can see links]) trở lại đây, các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối ưu hoá cho tính toán bằng máy tính điện tử. Máy tính đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. Một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là Mathematica ([Only registered and activated users can see links]), Maple ([Only registered and activated users can see links])
Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes ([Only registered and activated users can see links]) (287 ([Only registered and activated users can see links])–212 trước Công nguyên ([Only registered and activated users can see links])), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích ([Only registered and activated users can see links]) khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số ([Only registered and activated users can see links]), hàm số ([Only registered and activated users can see links]) hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân ([Only registered and activated users can see links]) và môn toán học ([Only registered and activated users can see links]) của những phép tính này, giải tích ([Only registered and activated users can see links]), đã chính thức được khám phá bởi Leibniz ([Only registered and activated users can see links]) (1646 ([Only registered and activated users can see links])–1716 ([Only registered and activated users can see links])) và Isaac Newton ([Only registered and activated users can see links]) (1642 ([Only registered and activated users can see links])–1727 ([Only registered and activated users can see links])). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân ([Only registered and activated users can see links]) là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học ([Only registered and activated users can see links]), vật lý ([Only registered and activated users can see links]) và thiên văn học ([Only registered and activated users can see links]).
J. B. Fourier ([Only registered and activated users can see links]) (1768 ([Only registered and activated users can see links])–1830 ([Only registered and activated users can see links])) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier ([Only registered and activated users can see links]) (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác ([Only registered and activated users can see links]) và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học ([Only registered and activated users can see links]), âm nhạc ([Only registered and activated users can see links]) và ngôn ngữ học ([Only registered and activated users can see links]).
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss ([Only registered and activated users can see links]) (1777 ([Only registered and activated users can see links])–1855 ([Only registered and activated users can see links])). Ông đã cùng nhiều nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học ([Only registered and activated users can see links]) và vật lý ([Only registered and activated users can see links]). Cauchy ([Only registered and activated users can see links]) (1789 ([Only registered and activated users can see links])–1857 ([Only registered and activated users can see links])) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826 ([Only registered and activated users can see links])–1866 ([Only registered and activated users can see links])) và Lebesgue ([Only registered and activated users can see links]) (1875 ([Only registered and activated users can see links])–1941 ([Only registered and activated users can see links])) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
Liouville (1809 ([Only registered and activated users can see links])–1882 ([Only registered and activated users can see links])) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite (1822 ([Only registered and activated users can see links])–1901 ([Only registered and activated users can see links])) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp này đã được mở rộng cho các phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 ([Only registered and activated users can see links]) bởi A. M. Ostrowski ([Only registered and activated users can see links]).
Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20 ([Only registered and activated users can see links]), nhiều lý thuyết giúp tính các tích phân khác nhau đã không ngừng được phát triển và ứng dụng để lập các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. Một số những nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) đóng góp cho công việc này là G. N. Watson ([Only registered and activated users can see links]), E. C. Titchmarsh ([Only registered and activated users can see links]), E. W. Barnes ([Only registered and activated users can see links]), H. Mellin ([Only registered and activated users can see links]), C. S. Meijer ([Only registered and activated users can see links]), W. Grobner ([Only registered and activated users can see links]), N. Hofreiter ([Only registered and activated users can see links]), A. Erdelyi ([Only registered and activated users can see links]), L. Lewin ([Only registered and activated users can see links]), Y. L. Luke ([Only registered and activated users can see links]), W. Magnus ([Only registered and activated users can see links]), A. Apelblat ([Only registered and activated users can see links]), F. Oberhettinger ([Only registered and activated users can see links]), I. S. Gradshteyn ([Only registered and activated users can see links]), H. Exton ([Only registered and activated users can see links]), H. M. Srivastava ([Only registered and activated users can see links]), A. P. Prudnikov ([Only registered and activated users can see links]), Ya. A. Brychkov ([Only registered and activated users can see links]), và O. I. Marichev ([Only registered and activated users can see links]).
Vào năm 1969 ([Only registered and activated users can see links]), R. H. Risch ([Only registered and activated users can see links]) đã đóng góp một phát triển vượt bậc cho các thuật toán tính tích phân vô định bằng công trình của ông về lý thuyết tổng quát và ứng dụng trong tích phân các hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của phương pháp là giải một phương trình vi phân ([Only registered and activated users can see links]) khá khó. Những phát triển tiếp nối của nhiều nhà toán học ([Only registered and activated users can see links]) khác đã giúp giải được phương trình vi phân ([Only registered and activated users can see links]) này cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn thiện phương pháp của Risch. Trong những năm 1980 ([Only registered and activated users can see links]) đã có những tiến bộ mở rộng phương pháp này cho cả các hàm không cơ bản đặc biệt.
Từ thập niên 1990 ([Only registered and activated users can see links]) trở lại đây, các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối ưu hoá cho tính toán bằng máy tính điện tử. Máy tính đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. Một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là Mathematica ([Only registered and activated users can see links]), Maple ([Only registered and activated users can see links])