ThanhTam
22-10-2009, 07:36 AM
ĐỊnh lí vi ét đối với phương trình bậc cao
Định lí Viét đối với phương trình bậc cao
Ở các bài trước chúng tôi đã trao đổi với các bạn về cách giải phương trình bậc ba và phương trình bậc cao. Trong bài học này chúng tôi muốn trao đổi với các bạn về Định Lí Viet đối với phương trình bậc cao và một số ứng dụng.
1. Định lí Viet cho phương trình bậc ba
Cho phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20+%20d%20=%200%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%28a%20%5Cne%2 00%29 (1).
a) Định lí Viet thuận: Nếu (1) có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] thì ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5C%5C%7Bx_1%7D%7Bx_2%7 D%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7 D%20=%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D %7Bx_2%7D%7Bx_3%7D=%20-%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatri x%7D%20%5Cright. .
b) Định lí đảo của định lí Viet: Nếu ba số [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn :
[Only registered and activated users can see links] %20+%20y%20+%20z%20=%20a%20%5C%5C%20xy%20+%20yz%20 +%20zx%20=%20b%20%5C%5C%20xyz%20=%20c%5C%5C%20%5Ce nd%7Bmatrix%7D%20%5Cright. thì [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình :
[Only registered and activated users can see links]
2. Định lí Viet cho phương trình bậc cao
Nếu đa thức [Only registered and activated users can see links] 20%7Ba_1%7D%7Bx%5E%7Bn%20-%201%7D%7D%20+%20...%20+%20%7Ba_%7Bn%20-%201%7D%7Dx%20+%20%7Ba_n%7D ([Only registered and activated users can see links] có n nghiệm [Only registered and activated users can see links] thì ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20...%20+%20%7Bx_n%7D %20=%20-%5Cfrac%7B%7B%7Ba_1%7D%7D%7D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D% 20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_1%7D%7Bx_ 3%7D%20+%20...%20+%20%7Bx_%7Bn%20-1%7D%7D%7Bx_n%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba_2%7D%7D%7 D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D%20%5C%5C%20...%20%5C%5C%20% 7Bx_1%7D%7Bx_2%7D...%7Bx_n%7D%20=%7B%5Cleft%28%20% 7B%20-%201%7D%20%5Cright%29%5En%7D%5Cfrac%7B%7B%7Ba_n%7D %7D%7D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bma trix%7D%5Cright..
Ta kí hiệu : [Only registered and activated users can see links] D%20+%20...%20+%20%7Bx_n%7D%20=%20%5Csum%5Climits_ %7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7Bx_i%7D%7D=%20-%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba_1%7D%7D%7D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D% 7D;
[Only registered and activated users can see links] 5Cle%20i%20%3C%20j%20%5Cle%20n%7D%5E%7B%7D%20%7B%7 Bx_i%7D%7Bx_j%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7B%7Ba_2%7D%7D%7 D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D;%20%7BS_k%7D%20=%20%5Csum%5 Climits_%7B1%20%5Cle%20%7Bi_1%7D%20%3C%20%7Bi_2%7D %20%3C...%20%3C%20%7Bi_k%7D%7D%20%7B%7Bx_%7B%7Bi_1 %7D%7D%7D%7Bx_%7B%7Bi_2%7D%7D%7D...%7Bx_%7B%7Bi_k% 7D%7D%7D%7D%20=%20%7B%28%20-1%29%5Ek%7D%5Cfrac%7B%7B%7Ba_k%7D%7D%7D%7B%7B%7Ba_ 0%7D%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] là tổng các tích chập k của n số [Only registered and activated users can see links] và được gọi là các đa thức đối xứng sơ cấp của các nghiệm.
Ví dụ 1: Gọi [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của PT : [Only registered and activated users can see links] Tính:
[Only registered and activated users can see links] 5E2;
[Only registered and activated users can see links] 5E2%20+%20x_3%5E2x_1%5E2;
[Only registered and activated users can see links] 5E4
[Only registered and activated users can see links] %20x_2%5E2%29%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%28x_2%5E2%2 0+%20x_3%5E2%29%20+%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%28x_3%5E2%20 +%20x_1%5E2%29 .
Giải:
Ta dễ dàng chứng minh được phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
Áp dụng định lí Viét ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%200%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20-%205%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20-%201%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright..
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 20+%20%7Bx_3%7D%29%5E2%7D%20-%202%28%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%29%20=%200%20-%202%28%20-%205%29%20=%2010
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%29%5E2% 7D%20-2%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%28%7Bx_1%7D%20+%20%7B x_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20=%2025.
[Only registered and activated users can see links] 20x_3%5E2%29%5E2%7D%20-%202%28x_1%5E2x_2%5E2%20+%20x_2%5E2x_3%5E2%20+x_3% 5E2x_1%5E2%29%20=%20%7B10%5E2%7D%20-%202.25%20=%2050
Vì: [Only registered and activated users can see links][%20%7B%7B%7B%28%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%29%7D%5E2 %7D%20-%202%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7D%20%5Cright]%20=%7Bx_1%7D%7Bx_2%7Dx_3%5E2%20-%202x_1%5E2x_2%5E2
[Only registered and activated users can see links] Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20-%202%28x_1%5E2x_2%5E2%20+x_2%5E2x_3%5E2%20+%20x_3% 5E2x_1%5E2%29%20=%20-%2050
Chú ý : 1) Các biểu thức A, B, C, D ở trên gọi là các đa thức đối xứng ba biến. Một tính chất quan trọng của các đa thức đối xứng
ba biến là chúng luôn biểu diễn được qua ba đa thức đối xứng ba biến sơ cấp.
Cụ thể nếu ta đặt [Only registered and activated users can see links] %7D%7Dq%20=%20xy%20+%20yz%20+%20zx;%7B%5Crm%7B%20% 7D%7Dr%20=%20xyz thì ta có một số biểu diễn sau:
[Only registered and activated users can see links] %5E2%7D%20=%20%7Bp%5E2%7D%20-%202q
[Only registered and activated users can see links] %5E3%7D%20=%20%7Bp%5E3%7D%20-%203pq%20+%203r
[Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7B%28zx%29%5E2%7D%20=%20%7Bq%5E2%7D%20-%202pr
[Only registered and activated users can see links] %5E4%7D%20=%20%7Bp%5E4%7D%20-%202%7Bp%5E2%7Dq%20+%202%7Bq%5E2%7D%20+%204pr
[Only registered and activated users can see links] 9%20+%20zx%28z%20+%20x%29%20=%20pq%20-%203r
[Only registered and activated users can see links] +%20yz%28%7By%5E2%7D%20+%20%7Bz%5E2%7D%29%20+%20zx %28%7Bz%5E2%7D%20+%20%7Bx%5E2%7D%29%20=%20%7Bp%5E2 %7Dq%20-2%7Bq%5E2%7D%20-%20pr
[Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7B%28zx%29%5E3%7D%20=%20%7Bq%5E3%7D%20-%203pqr%20+%203%7Br%5E2%7D.
2) Gọi [Only registered and activated users can see links] là nghiệm PT : [Only registered and activated users can see links] %20+%20d%20=%200.
Đặt [Only registered and activated users can see links] +%20x_3%5En, khi đó ta có hệ thức:
[Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 2: Tìm điều kiện để phương trình : [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm, trong đó tổng hai nghiệm gấp [Only registered and activated users can see links] nghiệm còn lại.
Giải: * Giả sử phương trình có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] trong đó tổng hai nghiệm gấp k nghiệm nghiệm còn lại.
Theo định lí Vi ét, ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20a%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%20%7Bx_ 1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20c%20%5C%5C%20%5Cend%7 Bmatrix%7D%5Cright..
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links][%20%7Ba%20-%20%28k%20+%201%29%7Bx_1%7D%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Ba%20-%20%28k%20+1%29%7Bx_2%7D%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Ba%20-%20%28k%20+%201%29%7Bx_3%7D%7D%20%5Cright]%20=%200
[Only registered and activated users can see links] Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20+
[Only registered and activated users can see links] _1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx _3%7D%7Bx_1%7D%29%20-%20%7B%28k%20+1%29%5E3%7D%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3% 7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 201%29%5E2%7D%20-%20c%7B%28k%20+%201%29%5E3%7D=%200
[Only registered and activated users can see links] %29%5E2%7D%20=%20%7Ba%5E3%7Dk%20+%20c%7B%28k%20+%2 01%29%5E3%7D (1).
Với a,b,c thỏa mãn (1), ta tìm điều kiện để phương trình có ba nghiệm là được. Từ (1) [Only registered and activated users can see links] 29%7D%5E2%7D%7D%7D%7Ba%5E3%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7Bab%7D%7D%7B%7Bk%20+1%7D%7D thay vào phương trình ta có:
[Only registered and activated users can see links] B%7B%7B%28k%20+%201%29%7D%5E2%7D%7D%7D%7Ba%5E3%7D% 20-%5Cfrac%7B%7Bab%7D%7D%7B%7Bk%20+%201%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 8%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%5Cfrac%7B%7Bka%7D%7D%7B%7Bk%20+%201%7D%7Dx%20-%20%5Cfrac%7B%7Bka%7D%7D%7B%7B%7B%7B%28k%20+%201%2 9%7D%5E2%7D%7D%7D%20+%20b%7D%20%5Cright%29%20=0
[Only registered and activated users can see links]ương trình có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B%7B%7Bk%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%7D%7D%7B%7B%7B%7 B%28k%20+%201%29%7D%5E2%7D%7D%7D%20+%5Cfrac%7B%7B4 k%7Ba%5E2%7D%7D%7D%7B%7B%7B%7B%28k%20+%201%29%7D%5 E2%7D%7D%7D%20-%204b%20%5Cge%200
[Only registered and activated users can see links] +%204k%29%7Ba%5E2%7D%20-%204%7B%28k%20+%201%29%5E2%7Db%20%5Cge%200 (2).
Vậy điều kiện a,b,c là: [Only registered and activated users can see links] b%7B%28k%20+%201%29%5E2%7D%20=%20%7Ba%5E3%7Dk%20+% 20c%7B%28k%20+%201%29%5E3%7D%20%5C%5C%28%7Bk%5E2%7 D%20+%204k%29%7Ba%5E2%7D%20-%204%7B%28k%20+%201%29%5E2%7Db%20%5Cge%200%20%5C%5 C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Chú ý :
1) Với [Only registered and activated users can see links] thì ba nghiệm của phương trình trên lập thành cấp số cộng.
“Vậy phương trình [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm lập thành cấp số cộng nếu và chỉ nếu: [Only registered and activated users can see links] ab%20=%202%7Ba%5E3%7D%20+%2027c%20%5C%5C%20%7Ba%5E 2%7D%20-%203b%20%5Cge%200%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5C right.” .
2) Đến đây chắc các bạn sẽ tự đặt ra câu hỏi là a,b,c phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ? Câu trả lời dành cho các bạn .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20+%20y%20+%20z%20=%203%20%5C%5C%20%7Bx%5E2%7D%20 +%20%7By%5E2%7D%20+%20%7Bz%5E2%7D%20=%2021%5C%5C%2 0%7Bx%5E3%7D%20+%20%7By%5E3%7D%20+%20%7Bz%5E3%7D%2 0=%2057%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Giải: Vì hệ đã cho gồm ba phương trình là những đa thức đối xứng ba biến nên ta biểu diễn ba phương trình đó qua ba đa thức đối xứng cơ bản .
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20yz%20+%20zx;c%20=%20xyz, hệ trở thành:
[Only registered and activated users can see links] %20=%203%20%5C%5C%20%7Ba%5E2%7D%20-%202b%20=%2021%20%5C%5C%20%7Ba%5E3%7D%20-%203ab%20+%203c=%2057%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7 D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a%20=%203%20%5C%5C%20b%20=%2 0-%206%20%5C%5C%20c%20=%20-%208%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20+%20y%20+%20z%20=%203%20 %5C%5C%20xy%20+%20yz%20+zx%20=%20-%206%20%5C%5C%20xyz%20=%20-%208%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình : [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] %20-%202;t%20=%204.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: [Only registered and activated users can see links] %20=%201%20%5C%5C%20y%20=%20-%202%20%5C%5C%20z%20=%204%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatr ix%7D%5Cright. và các hoán vị.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau :
[Only registered and activated users can see links] 5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt%20y%20+%20%5Csqrt%20z%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrtx%20%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20y%20%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20z%20%7D%7D%20=%20 %5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20x+%20y%20+%20z%20 +%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7By %7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7 B118%7D%7D%7B9%7D%20%5C%5Cx%5Csqrt%20x%20+%20y%5Cs qrt%20y%20+%20z%5Csqrt%20z%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bx%5Csqrt%20x%20%7D%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%7By%5Csqrt%20y%20%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bz%5Csqrt%20z%20%7D%7D%20=%2 0%5Cfrac%7B%7B728%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20%5C%5C%5Ce nd%7Bmatrix%7D%20%5Cright. (THTT).
Giải: Đặt [Only registered and activated users can see links] rm%7B%20%7D%7Db%20=%20y%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20y%7D%7D;%7B%5Crm% 7B%20%7D%7Dc%20=%20%5Csqrt%20z%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20z%20%7D%7D.
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] 28%5Csqrt%20x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20x%20%7D%7D%29%5E2 %7D%20+%202%20=%20%7Ba%5E2%7D%20+2;%7B%5Crm%7B%20% 7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 0a%28%7Ba%5E2%7D%20+%203%29%20=%20%7Ba%5E3%7D%20+% 203a
Hệ đã cho trở thành:
[Only registered and activated users can see links] %20+%20b%20+%20c%20=%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C %5C%20%7Ba%5E2%7D%20+%20%7Bb%5E2%7D%20+%7Bc%5E2%7D %20+%206%20=%20%5Cfrac%7B%7B118%7D%7D%7B9%7D%20%5C %5C%20%7Ba%5E3%7D%20+%20%7Bb%5E3%7D%20+%20%7Bc%5E3 %7D%20+%203%28a%20+%20b%20+%20c%29%20=%5Cfrac%7B%7 B728%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatri x%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a%20+%20b%20+%20c%20=%20%5Cf rac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C%5Cab%20+%20bc%20+%20ca%20= %200%20%5C%5C%20abc%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bma trix%7D%20%5Cright.
(Ở đây ta đã sử dụng các đẳng thức:
[Only registered and activated users can see links] %5E2%7D%20=%20%7B%28a%20+%20b%20+%20c%29%5E2%7D%20-%202%28ab%20+%20bc%20+%20ca%29
và [Only registered and activated users can see links] %5E3%7D%20=%20%28a%20+%20b%20+%20c%29%28%7Ba%5E2%7 D%20+%20%7Bb%5E2%7D%20+%20%7Bc%5E2%7D%20-%20ab%20-%20bc-%20ca%29%20+%203abc )
[Only registered and activated users can see links] B%5Crm%7Bb%7D%7D,%7B%5Crm%7Bc%7D%7D là nghiệm của phương trình : [Only registered and activated users can see links] eftrightarrow%20%5Cleft[%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20t=%200%20%5C%5C%20t%20=% 20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix %7D%20%5Cright..
Xét phương trình : [Only registered and activated users can see links] 0%20%5CLeftrightarrow%20X%20=%201
Phương trình [Only registered and activated users can see links] %5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5CLeftrightarrow%203X%20-8%5Csqrt%20X%20-%203%20=%200%20%5CLeftrightarrow%20X%20=%209.
Từ đó ta có nghiệm của hệ đã cho là: [Only registered and activated users can see links] và các hoán vị.
Ví dụ 4: Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm và [Only registered and activated users can see links] Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c.
Giải: Trước hết ta thấy rằng nếu [Only registered and activated users can see links] 20%7Bx_1%7D%20-%20c%20%3E%200. Do đó yêu cầu bài toán trở thành chứng minh trong ba số [Only registered and activated users can see links] có đúng một số dương. Điều này dẫn đến ta đi xét tích: [Only registered and activated users can see links]
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình đã cho.
Theo định lí Vi ét, ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20a%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%20%7Bx_ 1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20%7Bc%5E3%7D%20%5C%5C% 20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright..
Ta xét: [Only registered and activated users can see links] Bc%5E2%7D%28%7Bx_1%7D%20+%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D %29%20-
[Only registered and activated users can see links] %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%29%20-%20%7Bc%5E3%7D%20=%20%7Bc%5E2%7Da%20-%20cb%20=c%28ac%20-%20b%29%20%3E%200 (do giả thiết)
Nếu cả ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] 20%5CRightarrow%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20%3 E%20%7Bc%5E3%7D vô lí (do [Only registered and activated users can see links] E3%7D), vậy trong ba số [Only registered and activated users can see links] tồn tại đúng một số dương[Only registered and activated users can see links] trong ba nghiệm của phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c.
Ví dụ 5: Giả sử phương trình [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 (1) có ba nghiệm phân biệt khác 0. Chứng minh rằng phương trình : [Only registered and activated users can see links] (2) cũng có ba nghiệm phân biệt.
Giải: Gọi [Only registered and activated users can see links] 0 là ba nghiệm của phương trình (1).
Theo định lí Viet, ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20-%20a%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7B x_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%2 0%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20-%20c%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright..
Giả sử (2) có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] ta có:
[Only registered and activated users can see links] D%20=%20b%20=%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_2%7D %7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D
Dẫn đến ta dự đoán ba nghiệm của (2) là [Only registered and activated users can see links] 7Bx_2%7D%7Bx_3%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%7Bx_3%7D%7B x_1%7D.
Đặt [Only registered and activated users can see links] Crm%7B%20%7D%7D%7B%7B%5Crm%7By%7D%7D_2%7D%20=%20%7 Bx_2%7D%7Bx_3%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%7By_3%7D%20= %7Bx_3%7D%7Bx_1%7D, ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7By_1%7D%20+%20%7By_2%7D%20+%20%7By_3%7D%20=%20b%2 0%5C%5C%20%7By_1%7D%7By_2%7D%20+%7By_2%7D%7By_3%7D %20+%20%7By_3%7D%7By_1%7D%20=%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D %7Bx_3%7D%28%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3 %7D%29%20=%20ac%5C%5C%20%7By_1%7D%7By_2%7D%7By_3%7 D%20=%20%7B%28%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%5E2%7 D%20=%20%7Bc%5E2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D% 5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 7By_3%7D là ba nghiệm của phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Vì là ba nghiệm phân biệt nên [Only registered and activated users can see links] cũng là ba nghiệm phân biệt
Vậy phương trình [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm phân biệt.
Chú ý : Khi gặp bài toán cho phương trình : [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 (1) có ba nghiệm và yêu cầu chứng minh phương trình [Only registered and activated users can see links] 20+%20p%20=%200 (2) cũng có ba nghiệm ta thường làm như sau:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của (1), ta chứng minh [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] h%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29 là ba nghiệm của (2) bằng cách chứng minh:
[Only registered and activated users can see links] %28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20+%20g%28%7Bx _1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20+h%28%7Bx_1%7D,%7Bx _2%7D,%7Bx_3%7D%29%20=%20-%20m%20%5C%5C%20f%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D% 29g%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29+%20h%28%7Bx _1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29f%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7 D,%7Bx_3%7D%29%20%5C%5C%20%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%20+ g%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29h%28%7Bx_1%7D, %7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20=%20n%20%5C%5Cf%28%7Bx_1% 7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29g%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,% 7Bx_3%7D%29h%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20 =%20p%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
Ví dụ 6: Cho [Only registered and activated users can see links] %3E%200dương và phương trình [Only registered and activated users can see links]ó ba nghiệm. Chứng minh rằng:
1) [Only registered and activated users can see links] D%7B%7B27%7D%7D 2) [Only registered and activated users can see links]
Giải:
Giả thiết bài toán cho phương trình có ba nghiệm và yêu cầu chúng ta chứng minh BĐT giữa các hệ số nên ta nghĩ đến chuyển
các BĐT đó thành các BĐT của ba nghiệm . Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình . Vì [Only registered and activated users can see links] D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%20%3E%200
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%201%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20a%20%5C%5C%20%7Bx_ 1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20b%20%5C%5C%20%5Cend%7 Bmatrix%7D%5Cright.
Bài toán trở thành cho ba số [Only registered and activated users can see links] và có tổng bằng 1. Chứng minh:
1) [Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_1%7D%7Bx_2 %7D%7Bx_3%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B%7B10%7D%7D%7B%7B27% 7D%7D.
Áp dụng BĐT Côsi ta có: [Only registered and activated users can see links] B%5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B%7B%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx _2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7D%7D%7B3%7D%7D%5Cright%29%5 E3%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B27%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1 %7D%7B3%7D%7B%28%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D+%20%7Bx_ 3%7D%29%5E2%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D
[Only registered and activated users can see links] +%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20 +%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%5Cle%20%5Cfrac%7B1 %7D%7B3%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B27%7D%7D%20=% 20%5Cfrac%7B%7B10%7D%7D%7B%7B27%7D%7D.
2) [Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20-%202%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B7 %7D%7B%7B27%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] %28%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20%5Cle%5Cfrac%7B7 %7D%7B%7B27%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] %281%20-%20%7Bx_1%7D%29%20%5Cle%5Cfrac%7B7%7D%7B%7B27%7D%7 D
Giả sử [Only registered and activated users can see links] %7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%7B%5Crm%7B%5C%7D%20%7D%7D% 20%5CRightarrow%20%7Bx_1%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B1%7D% 7B3%7D%20%5CRightarrow%201%20-%202%7Bx_1%7D%20%3E%200
[Only registered and activated users can see links] Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7D%7D%7B2%7D%7D%5Cright%29 %5E2%7D%20+%20%7Bx_1%7D%281%20-%20%7Bx_1%7D%29
[Only registered and activated users can see links] 20-%20%7Bx_1%7D%7D%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright%29%5E2%7D% 20+%20%7Bx_1%7D%281-%20%7Bx_1%7D%29
[Only registered and activated users can see links] B%7B%20-%202x_1%5E3%20+%20x_1%5E2%20+%201%7D%7D%7B4%7D%20= %5Cfrac%7B7%7D%7B%7B27%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7B%7B%7B%283%7Bx_1%7D%20-%201%29%7D%5E2%7D%286%7Bx_1%7D%20+%201%29%7D%7D%7B %7B108%7D%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B7%7D%7B%7B27%7D%7D (đpcm).
Đẳng thức xảy ra [Only registered and activated users can see links] 7Bx_2%7D%20=%20%7Bx_3%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3% 7D.
Chú ý : Khi gặp các BĐT về hệ số của phương trình bậc ba (cũng như bậc cao) ta có thể sử dụng định lí Viet để chuyển BĐT cần chứng minh về BĐT các nghiệm của phương trình . Hơn nữa ta thấy còn đường để sáng tác ra những bài toán dạng này là xuất phát từ một BĐT đối xứng ba biến, sử dụng định lí Viet ta chuyển BĐT đó về BĐT giữa các hệ số của phương trình bậc ba. Chẳng hạn từ bài toán:
Cho [Only registered and activated users can see links] B%5Crm%7Bz%7D%7D%20%5Cge%200thỏa mãn [Only registered and activated users can see links] Chứng minh
[Only registered and activated users can see links] 20+%20zx.
Ta chuyển thành bài toán như sau
Cho phương trình : [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm không âm. Chứng minh [Only registered and activated users can see links] Ví dụ sau đây cũng là một sản phẩm của cách làm trên.
Ví dụ 7: Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 có ba nghiệm . Chứng minh: [Only registered and activated users can see links] +%2010%5Csqrt%20%7B%7B%7B%28%7Ba%5E2%7D%20-%202b%29%7D%5E3%7D%7D (HSG QG – 2001 ).
Giải:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20-%20a%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7B x_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%2 0%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20-%20c%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.
[Only registered and activated users can see links]
BĐT cần chứng minh trở thành: [Only registered and activated users can see links] 0-%202b%29%7D%5E3%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] %20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%28x_1%5E2%20+%20x_ 2%5E2%20+%20x_3%5E2%29%20%5Cle27%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D %7Bx_3%7D%20+%2010%5Csqrt%20%7B%7B%7B%28x_1%5E2%20 +%20x_2%5E2%20+%20x_3%5E2%29%7D%5E3%7D%7D (1).
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 200%20%5CRightarrow%20%281%29đúng.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] Cne%200. Vì (1) là BĐT thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh (1) khi [Only registered and activated users can see links] 209. Và (1) trở thành:
[Only registered and activated users can see links] _3%7D%29%20-%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20%5Cle%2010 (2)
Giả sử [Only registered and activated users can see links] C%20%5Cge%20%5Cleft%7C%20%7B%7Bx_3%7D%7D%20%5Crigh t%7C%20%5CRightarrow%20x_1%5E2%20%5Cge3
[Only registered and activated users can see links] 2%7D%7Bx_3%7D%7D%20%5Cright%7C%20%5Cle%20%5Cfrac%7 B%7Bx_2%5E2%20+x_3%5E2%7D%7D%7B2%7D%20=%20%5Cfrac% 7B%7B9%20-%20x_1%5E2%7D%7D%7B2%7D%20%5Cle%203.
Gọi P là VT(2) [Only registered and activated users can see links] %20-%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%20+%202%28%7Bx_2%7D%20+%2 0%7Bx_3%7D%29
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cleft[%20%7Bx_1%5E2%20+%20%7B%7B%28%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_ 3%7D%29%7D%5E2%7D%7D%5Cright]%5Cleft[%20%7B%7B%7B%282%20-%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%7D%5E2%7D%20+%204%7D%20%5 Cright]
[Only registered and activated users can see links] %5Cleft[%20%7B%7B%7B%282%20-%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%7D%5E2%7D%20+%204%7D%20%5 Cright]
Đặt [Only registered and activated users can see links] ow%20-%203%20%5Cle%20t%20%5Cle%203 và
[Only registered and activated users can see links] 88%20-%204t%20+%20%7Bt%5E2%7D%29%20=%20%7B%28t%20+%202%2 9%5E2%7D%282t%20-%207%29%20+%20100
[Only registered and activated users can see links] 010%20%5CRightarrow%20P%20%5Cle%2010. Đẳng thức xảy ra [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7Bx_1%7D%20=%20%7Bx_2%7D%20 =%202%20%5C%5C%20%7Bx_3%7D%20=-%201%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Hay (a;b;c) là hoán vị của bộ [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 8 Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của [Only registered and activated users can see links] (HSG QG 1999).
Giải:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm thực dương của phương trình đã cho.
Áp dụng định lí Viet ta có:
[Only registered and activated users can see links] %20+%20n%20+%20p%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5C %5C%20mn%20+%20np%20+%20pm%20=%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7 D%20%5C%5C%20mnp%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5C %5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CRightarr owa,b%20%3E%200.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 7B%28m%20+%20n%20+%20p%29%5E2%7D%20%5Cge%203%28mn% 20+%20np%20+%20pm%29%20%5C%5C%20m%20+%20n+%20p%20% 5Cge%203%5Csqrt[3]%7B%7Bmnp%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5 Cright.
[Only registered and activated users can see links] gin%7Bmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D% 7D%7D%20%5Cge%5Cfrac%7B%7B3b%7D%7D%7Ba%7D%20%5C%5C %20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5Cge%203%5Csqrt[3]%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D%20%5C%5C%5Cend%7 Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%5 C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20b%20%5Cle%5Cfrac%7B1 %7D%7B%7B3a%7D%7D%20%5C%5C%20a%20%5Cle%20%5Cfrac%7 B1%7D%7B%7B3%5Csqrt%203%20%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend %7Bmatrix%7D%5Cright..
Cách 1:
Xét hàm số: [Only registered and activated users can see links] %20-%203ab%20+%202%7D%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%28b%20-%20a%29%7D%7D với [Only registered and activated users can see links] 7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D. Ta có:
[Only registered and activated users can see links] %28b%29 giảm trên [Only registered and activated users can see links] 7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B3a%7D%7D%7D%20% 5Cright%29%20=%5Cfrac%7B%7B3%285%7Ba%5E2%7D%20+%20 1%29%7D%7D%7B%7Ba%281%20-%203%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D%20=%203.g%28a%29
Xét hàm g(a) với [Only registered and activated users can see links] Csqrt%203%20%7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D, ta có:
[Only registered and activated users can see links] 4%7D%20+%2014%7Ba%5E2%7D%20-%201%7D%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%7B%7B%283%7Ba%5E2%7D%2 0-%201%29%7D%5E2%7D%7D%7D%20%3C0%7B%5Crm%7B%20%7D%7D %5Cforall%20a%20%5Cin%20%280;%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B3 %5Csqrt%203%20%7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B3%5Csqrt%203%20 %7D%7D%7D%20%5Cright%29%20=4%5Csqrt%203%20%5CRight arrow%20f%28b%29%20%5Cge%2012%5Csqrt%203.Đẳng thức có[Only registered and activated users can see links] B1%7D%7B%7B3%5Csqrt%203%20%7D%7D;b%20=%20%5Csqrt%2 03
Khi đó [Only registered and activated users can see links] Vậy [Only registered and activated users can see links] 203.
Cách 2: Ta có [Only registered and activated users can see links] 7B5%20-%203%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20+2%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B %7Ba%5E2%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D %20-%201%7D%7D%20%5Cge%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%5Cfrac% 7B%7B5%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%7D%7D%20+%20%5Cfra c%7B2%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Cfrac %7B1%7D%7B%7B3%7Ba%5E2%7D%7D%7D%20-%201%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7B3%285%7Ba%5E2%7D%20+%20 1%29%7D%7D%7B%7Ba%281%20-%203%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 20%7Ba%5E3%7D%20+%2015%7Ba%5E2%7D%20-12%5Csqrt%203%20a%20+%203%7D%7D%7B%7Ba%281%20-%203%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 20-%201%29%2812%7Ba%5E2%7D%20+%203%5Csqrt%203%20a%20-%203%29%7D%7D%7B%7Ba%281%20-3%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D.
Do [Only registered and activated users can see links] 7B3%5Csqrt%203%20%7D%7D%20%5CRightarrow%2012%7Ba%5 E2%7D%20+%203%5Csqrt%203%20a%20-%203%5Cle%2012.%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B27%7D%7D%20+%20 1%20-%203%20=%20-%20%5Cfrac%7B%7B14%7D%7D%7B9%7D%20%3C%200 và [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cge%2012%5Csqrt%203. Đẳng thức xảy ra [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B 3%5Csqrt%203%20%7D%7D%20%5C%5Cb%20=%20%5Csqrt%203% 20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
Ví dụ 10: Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] 0-%201%7D%7D%20+%20...%20+%20%7Ba_%7Bn%20-%201%7D%7Dx%20+%20%7Ba_n%7D%20=%200 có n nghiệm, trong đó [Only registered and activated users can see links] Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình nằm trong đoạn [Only registered and activated users can see links][%20%7B%20-%20%7Ba_1%7D;%7Ba_1%7D%20+%202%7D%20%5Cright].
Giải: Gọi [Only registered and activated users can see links]à n nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó yêu cầu bài toán cần chứng minh: [Only registered and activated users can see links] 7D%20+%202%20%5CLeftrightarrow%20%20-%20%7Ba_1%7D%20-%201%20%5Cle%7Bx_i%7D%20-%201%20%5Cle%20%7Ba_1%7D%20+%201
[Only registered and activated users can see links] 0-%201%29%5E2%7D%20%5Cle%20%7B%28%7Ba_1%7D%20+%201%2 9%5E2%7D. Điều này dẫn tới ta có cách giải như sau:
Theo định lí Viet ta có: [Only registered and activated users can see links] B%7Bx_i%7D%7D%20%20=%20%20-%20%7Ba_1%7D;%20%5Csum%5Climits_%7B%5Cscriptstylei ,j%20=%201%20%5Chfill%20%5Catop%20%20%20%5Cscripts tyle%20i%20%5Cne%20j%20%5Chfill%7D%5En%20%7B%7Bx_i %7D%7Bx_j%7D%7D%20%20=%7Ba_2%7D
[Only registered and activated users can see links] eft%28%20%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20 %7B%7Bx_i%7D%7D%20%7D%5Cright%29%5E2%7D%20=%20%5Cs um%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20 %20+%202%7Ba_2%7D
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20=%20a_1%5E2%20-%202%7Ba_2%7D
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7B%7B%7B%28%7Bx_i%7D%20-%201%29%7D%5E2%7D%7D%20%20=%5Csum%5Climits_%7Bi%20 =%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20-%202%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7Bx_ i%7D%7D%20%20+%20n%20=a_1%5E2%20-%202%7Ba_2%7D%20+%202%7Ba_1%7D%20+%20n
[Only registered and activated users can see links] 20-%20%7B%5Crm%7B[%7D%7D2%7Ba_2%7D%20-%20%28n%20-%201%29%7B%5Crm%7B]%7D%7D%20%5Cle%20%7B%28%7Ba_1%7D+%201%29%5E2%7D.
(Do [Only registered and activated users can see links]) [Only registered and activated users can see links] 7D%20+%202 đpcm.
Ví dụ 11: Cho phương trình sau có n nghiệm ([Only registered and activated users can see links]). Hãy tìm các nghiệm đó ?
[Only registered and activated users can see links]
Giải: Ta thấy phương trình chỉ có ba hệ số của [Only registered and activated users can see links] là những giá trị cụ thể còn những hệ số khác chúng ta chưa xác định được. Do đó để giải phương trình này ta phải dựa vào mối quan hệ giữa các hệ số của [Only registered and activated users can see links] điều này gợi ý cho chúng ta sử dụng định lí Viet. Thật vậy:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là n nghiệm của phương trình đã cho.
Theo định lí Viet ta có: [Only registered and activated users can see links] B%7Bx_i%7D%7D%20%20=%20n%20%20;%20%5Csum%5Climits_ %7B%5Cscriptstyle%20i,j=%201%20%5Chfill%20%5Catop% 20%20%20%5Cscriptstyle%20i%20%5Cne%20j%20%5Chfill% 7D%5En%20%7B%7Bx_i%7D%7Bx_j%7D%7D%20%20=%5Cfrac%7B %7B%7Bn%5E2%7D%20-%20n%7D%7D%7B2%7D.
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20=%20%7B%5Cleft %28%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7B x_i%7D%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D%20-2%5Csum%5Climits_%7B%5Cscriptstyle%20i,j%20=%201%2 0%5Chfill%20%5Catop%20%20%20%5Cscriptstyle%20i%20% 5Cne%20j%5Chfill%7D%5En%20%7B%7Bx_i%7D%7Bx_j%7D%7D %20%20=%20n.
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7B%7B%7B%28%7Bx_i%7D%20-%201%29%7D%5E2%7D%7D%20%20=%5Csum%5Climits_%7Bi%20 =%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20-%202%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7Bx_ i%7D%7D%20%20+%20n%20=n%20-%202n%20+%20n%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 5Crm%7B%20%20%7D%7D%5Cforall%20i%20=%20%5Coverline %20%7B1,n%7D. Vậy phương trình có n nghiệm trùng nhau: [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán trong ví dụ 10. Với cách làm tương tự hoặc từ sự đánh giá giũa các tổng các tích chập k [Only registered and activated users can see links] có thể sáng tác ra những bài toán tương tự.
Định lí Viét đối với phương trình bậc cao
Ở các bài trước chúng tôi đã trao đổi với các bạn về cách giải phương trình bậc ba và phương trình bậc cao. Trong bài học này chúng tôi muốn trao đổi với các bạn về Định Lí Viet đối với phương trình bậc cao và một số ứng dụng.
1. Định lí Viet cho phương trình bậc ba
Cho phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20+%20d%20=%200%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%28a%20%5Cne%2 00%29 (1).
a) Định lí Viet thuận: Nếu (1) có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] thì ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5C%5C%7Bx_1%7D%7Bx_2%7 D%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7 D%20=%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D %7Bx_2%7D%7Bx_3%7D=%20-%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatri x%7D%20%5Cright. .
b) Định lí đảo của định lí Viet: Nếu ba số [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn :
[Only registered and activated users can see links] %20+%20y%20+%20z%20=%20a%20%5C%5C%20xy%20+%20yz%20 +%20zx%20=%20b%20%5C%5C%20xyz%20=%20c%5C%5C%20%5Ce nd%7Bmatrix%7D%20%5Cright. thì [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình :
[Only registered and activated users can see links]
2. Định lí Viet cho phương trình bậc cao
Nếu đa thức [Only registered and activated users can see links] 20%7Ba_1%7D%7Bx%5E%7Bn%20-%201%7D%7D%20+%20...%20+%20%7Ba_%7Bn%20-%201%7D%7Dx%20+%20%7Ba_n%7D ([Only registered and activated users can see links] có n nghiệm [Only registered and activated users can see links] thì ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20...%20+%20%7Bx_n%7D %20=%20-%5Cfrac%7B%7B%7Ba_1%7D%7D%7D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D% 20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_1%7D%7Bx_ 3%7D%20+%20...%20+%20%7Bx_%7Bn%20-1%7D%7D%7Bx_n%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba_2%7D%7D%7 D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D%20%5C%5C%20...%20%5C%5C%20% 7Bx_1%7D%7Bx_2%7D...%7Bx_n%7D%20=%7B%5Cleft%28%20% 7B%20-%201%7D%20%5Cright%29%5En%7D%5Cfrac%7B%7B%7Ba_n%7D %7D%7D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bma trix%7D%5Cright..
Ta kí hiệu : [Only registered and activated users can see links] D%20+%20...%20+%20%7Bx_n%7D%20=%20%5Csum%5Climits_ %7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7Bx_i%7D%7D=%20-%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba_1%7D%7D%7D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D% 7D;
[Only registered and activated users can see links] 5Cle%20i%20%3C%20j%20%5Cle%20n%7D%5E%7B%7D%20%7B%7 Bx_i%7D%7Bx_j%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7B%7Ba_2%7D%7D%7 D%7B%7B%7Ba_0%7D%7D%7D;%20%7BS_k%7D%20=%20%5Csum%5 Climits_%7B1%20%5Cle%20%7Bi_1%7D%20%3C%20%7Bi_2%7D %20%3C...%20%3C%20%7Bi_k%7D%7D%20%7B%7Bx_%7B%7Bi_1 %7D%7D%7D%7Bx_%7B%7Bi_2%7D%7D%7D...%7Bx_%7B%7Bi_k% 7D%7D%7D%7D%20=%20%7B%28%20-1%29%5Ek%7D%5Cfrac%7B%7B%7Ba_k%7D%7D%7D%7B%7B%7Ba_ 0%7D%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] là tổng các tích chập k của n số [Only registered and activated users can see links] và được gọi là các đa thức đối xứng sơ cấp của các nghiệm.
Ví dụ 1: Gọi [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của PT : [Only registered and activated users can see links] Tính:
[Only registered and activated users can see links] 5E2;
[Only registered and activated users can see links] 5E2%20+%20x_3%5E2x_1%5E2;
[Only registered and activated users can see links] 5E4
[Only registered and activated users can see links] %20x_2%5E2%29%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%28x_2%5E2%2 0+%20x_3%5E2%29%20+%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%28x_3%5E2%20 +%20x_1%5E2%29 .
Giải:
Ta dễ dàng chứng minh được phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
Áp dụng định lí Viét ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%200%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20-%205%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20-%201%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright..
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 20+%20%7Bx_3%7D%29%5E2%7D%20-%202%28%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%29%20=%200%20-%202%28%20-%205%29%20=%2010
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%29%5E2% 7D%20-2%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%28%7Bx_1%7D%20+%20%7B x_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20=%2025.
[Only registered and activated users can see links] 20x_3%5E2%29%5E2%7D%20-%202%28x_1%5E2x_2%5E2%20+%20x_2%5E2x_3%5E2%20+x_3% 5E2x_1%5E2%29%20=%20%7B10%5E2%7D%20-%202.25%20=%2050
Vì: [Only registered and activated users can see links][%20%7B%7B%7B%28%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%29%7D%5E2 %7D%20-%202%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7D%20%5Cright]%20=%7Bx_1%7D%7Bx_2%7Dx_3%5E2%20-%202x_1%5E2x_2%5E2
[Only registered and activated users can see links] Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20-%202%28x_1%5E2x_2%5E2%20+x_2%5E2x_3%5E2%20+%20x_3% 5E2x_1%5E2%29%20=%20-%2050
Chú ý : 1) Các biểu thức A, B, C, D ở trên gọi là các đa thức đối xứng ba biến. Một tính chất quan trọng của các đa thức đối xứng
ba biến là chúng luôn biểu diễn được qua ba đa thức đối xứng ba biến sơ cấp.
Cụ thể nếu ta đặt [Only registered and activated users can see links] %7D%7Dq%20=%20xy%20+%20yz%20+%20zx;%7B%5Crm%7B%20% 7D%7Dr%20=%20xyz thì ta có một số biểu diễn sau:
[Only registered and activated users can see links] %5E2%7D%20=%20%7Bp%5E2%7D%20-%202q
[Only registered and activated users can see links] %5E3%7D%20=%20%7Bp%5E3%7D%20-%203pq%20+%203r
[Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7B%28zx%29%5E2%7D%20=%20%7Bq%5E2%7D%20-%202pr
[Only registered and activated users can see links] %5E4%7D%20=%20%7Bp%5E4%7D%20-%202%7Bp%5E2%7Dq%20+%202%7Bq%5E2%7D%20+%204pr
[Only registered and activated users can see links] 9%20+%20zx%28z%20+%20x%29%20=%20pq%20-%203r
[Only registered and activated users can see links] +%20yz%28%7By%5E2%7D%20+%20%7Bz%5E2%7D%29%20+%20zx %28%7Bz%5E2%7D%20+%20%7Bx%5E2%7D%29%20=%20%7Bp%5E2 %7Dq%20-2%7Bq%5E2%7D%20-%20pr
[Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7B%28zx%29%5E3%7D%20=%20%7Bq%5E3%7D%20-%203pqr%20+%203%7Br%5E2%7D.
2) Gọi [Only registered and activated users can see links] là nghiệm PT : [Only registered and activated users can see links] %20+%20d%20=%200.
Đặt [Only registered and activated users can see links] +%20x_3%5En, khi đó ta có hệ thức:
[Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 2: Tìm điều kiện để phương trình : [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm, trong đó tổng hai nghiệm gấp [Only registered and activated users can see links] nghiệm còn lại.
Giải: * Giả sử phương trình có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] trong đó tổng hai nghiệm gấp k nghiệm nghiệm còn lại.
Theo định lí Vi ét, ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20a%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%20%7Bx_ 1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20c%20%5C%5C%20%5Cend%7 Bmatrix%7D%5Cright..
Ta có: [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links][%20%7Ba%20-%20%28k%20+%201%29%7Bx_1%7D%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Ba%20-%20%28k%20+1%29%7Bx_2%7D%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Ba%20-%20%28k%20+%201%29%7Bx_3%7D%7D%20%5Cright]%20=%200
[Only registered and activated users can see links] Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20+
[Only registered and activated users can see links] _1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx _3%7D%7Bx_1%7D%29%20-%20%7B%28k%20+1%29%5E3%7D%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3% 7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 201%29%5E2%7D%20-%20c%7B%28k%20+%201%29%5E3%7D=%200
[Only registered and activated users can see links] %29%5E2%7D%20=%20%7Ba%5E3%7Dk%20+%20c%7B%28k%20+%2 01%29%5E3%7D (1).
Với a,b,c thỏa mãn (1), ta tìm điều kiện để phương trình có ba nghiệm là được. Từ (1) [Only registered and activated users can see links] 29%7D%5E2%7D%7D%7D%7Ba%5E3%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7Bab%7D%7D%7B%7Bk%20+1%7D%7D thay vào phương trình ta có:
[Only registered and activated users can see links] B%7B%7B%28k%20+%201%29%7D%5E2%7D%7D%7D%7Ba%5E3%7D% 20-%5Cfrac%7B%7Bab%7D%7D%7B%7Bk%20+%201%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 8%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%5Cfrac%7B%7Bka%7D%7D%7B%7Bk%20+%201%7D%7Dx%20-%20%5Cfrac%7B%7Bka%7D%7D%7B%7B%7B%7B%28k%20+%201%2 9%7D%5E2%7D%7D%7D%20+%20b%7D%20%5Cright%29%20=0
[Only registered and activated users can see links]ương trình có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B%7B%7Bk%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%7D%7D%7B%7B%7B%7 B%28k%20+%201%29%7D%5E2%7D%7D%7D%20+%5Cfrac%7B%7B4 k%7Ba%5E2%7D%7D%7D%7B%7B%7B%7B%28k%20+%201%29%7D%5 E2%7D%7D%7D%20-%204b%20%5Cge%200
[Only registered and activated users can see links] +%204k%29%7Ba%5E2%7D%20-%204%7B%28k%20+%201%29%5E2%7Db%20%5Cge%200 (2).
Vậy điều kiện a,b,c là: [Only registered and activated users can see links] b%7B%28k%20+%201%29%5E2%7D%20=%20%7Ba%5E3%7Dk%20+% 20c%7B%28k%20+%201%29%5E3%7D%20%5C%5C%28%7Bk%5E2%7 D%20+%204k%29%7Ba%5E2%7D%20-%204%7B%28k%20+%201%29%5E2%7Db%20%5Cge%200%20%5C%5 C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Chú ý :
1) Với [Only registered and activated users can see links] thì ba nghiệm của phương trình trên lập thành cấp số cộng.
“Vậy phương trình [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm lập thành cấp số cộng nếu và chỉ nếu: [Only registered and activated users can see links] ab%20=%202%7Ba%5E3%7D%20+%2027c%20%5C%5C%20%7Ba%5E 2%7D%20-%203b%20%5Cge%200%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5C right.” .
2) Đến đây chắc các bạn sẽ tự đặt ra câu hỏi là a,b,c phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ? Câu trả lời dành cho các bạn .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20+%20y%20+%20z%20=%203%20%5C%5C%20%7Bx%5E2%7D%20 +%20%7By%5E2%7D%20+%20%7Bz%5E2%7D%20=%2021%5C%5C%2 0%7Bx%5E3%7D%20+%20%7By%5E3%7D%20+%20%7Bz%5E3%7D%2 0=%2057%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Giải: Vì hệ đã cho gồm ba phương trình là những đa thức đối xứng ba biến nên ta biểu diễn ba phương trình đó qua ba đa thức đối xứng cơ bản .
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20yz%20+%20zx;c%20=%20xyz, hệ trở thành:
[Only registered and activated users can see links] %20=%203%20%5C%5C%20%7Ba%5E2%7D%20-%202b%20=%2021%20%5C%5C%20%7Ba%5E3%7D%20-%203ab%20+%203c=%2057%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7 D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a%20=%203%20%5C%5C%20b%20=%2 0-%206%20%5C%5C%20c%20=%20-%208%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20+%20y%20+%20z%20=%203%20 %5C%5C%20xy%20+%20yz%20+zx%20=%20-%206%20%5C%5C%20xyz%20=%20-%208%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình : [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] %20-%202;t%20=%204.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: [Only registered and activated users can see links] %20=%201%20%5C%5C%20y%20=%20-%202%20%5C%5C%20z%20=%204%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatr ix%7D%5Cright. và các hoán vị.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau :
[Only registered and activated users can see links] 5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt%20y%20+%20%5Csqrt%20z%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrtx%20%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20y%20%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20z%20%7D%7D%20=%20 %5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20x+%20y%20+%20z%20 +%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7By %7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7 B118%7D%7D%7B9%7D%20%5C%5Cx%5Csqrt%20x%20+%20y%5Cs qrt%20y%20+%20z%5Csqrt%20z%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bx%5Csqrt%20x%20%7D%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%7By%5Csqrt%20y%20%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bz%5Csqrt%20z%20%7D%7D%20=%2 0%5Cfrac%7B%7B728%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20%5C%5C%5Ce nd%7Bmatrix%7D%20%5Cright. (THTT).
Giải: Đặt [Only registered and activated users can see links] rm%7B%20%7D%7Db%20=%20y%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20y%7D%7D;%7B%5Crm% 7B%20%7D%7Dc%20=%20%5Csqrt%20z%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20z%20%7D%7D.
Khi đó: [Only registered and activated users can see links] 28%5Csqrt%20x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20x%20%7D%7D%29%5E2 %7D%20+%202%20=%20%7Ba%5E2%7D%20+2;%7B%5Crm%7B%20% 7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 0a%28%7Ba%5E2%7D%20+%203%29%20=%20%7Ba%5E3%7D%20+% 203a
Hệ đã cho trở thành:
[Only registered and activated users can see links] %20+%20b%20+%20c%20=%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C %5C%20%7Ba%5E2%7D%20+%20%7Bb%5E2%7D%20+%7Bc%5E2%7D %20+%206%20=%20%5Cfrac%7B%7B118%7D%7D%7B9%7D%20%5C %5C%20%7Ba%5E3%7D%20+%20%7Bb%5E3%7D%20+%20%7Bc%5E3 %7D%20+%203%28a%20+%20b%20+%20c%29%20=%5Cfrac%7B%7 B728%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatri x%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a%20+%20b%20+%20c%20=%20%5Cf rac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C%5Cab%20+%20bc%20+%20ca%20= %200%20%5C%5C%20abc%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bma trix%7D%20%5Cright.
(Ở đây ta đã sử dụng các đẳng thức:
[Only registered and activated users can see links] %5E2%7D%20=%20%7B%28a%20+%20b%20+%20c%29%5E2%7D%20-%202%28ab%20+%20bc%20+%20ca%29
và [Only registered and activated users can see links] %5E3%7D%20=%20%28a%20+%20b%20+%20c%29%28%7Ba%5E2%7 D%20+%20%7Bb%5E2%7D%20+%20%7Bc%5E2%7D%20-%20ab%20-%20bc-%20ca%29%20+%203abc )
[Only registered and activated users can see links] B%5Crm%7Bb%7D%7D,%7B%5Crm%7Bc%7D%7D là nghiệm của phương trình : [Only registered and activated users can see links] eftrightarrow%20%5Cleft[%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20t=%200%20%5C%5C%20t%20=% 20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix %7D%20%5Cright..
Xét phương trình : [Only registered and activated users can see links] 0%20%5CLeftrightarrow%20X%20=%201
Phương trình [Only registered and activated users can see links] %5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5CLeftrightarrow%203X%20-8%5Csqrt%20X%20-%203%20=%200%20%5CLeftrightarrow%20X%20=%209.
Từ đó ta có nghiệm của hệ đã cho là: [Only registered and activated users can see links] và các hoán vị.
Ví dụ 4: Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm và [Only registered and activated users can see links] Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c.
Giải: Trước hết ta thấy rằng nếu [Only registered and activated users can see links] 20%7Bx_1%7D%20-%20c%20%3E%200. Do đó yêu cầu bài toán trở thành chứng minh trong ba số [Only registered and activated users can see links] có đúng một số dương. Điều này dẫn đến ta đi xét tích: [Only registered and activated users can see links]
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình đã cho.
Theo định lí Vi ét, ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20a%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%20%7Bx_ 1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20%7Bc%5E3%7D%20%5C%5C% 20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright..
Ta xét: [Only registered and activated users can see links] Bc%5E2%7D%28%7Bx_1%7D%20+%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D %29%20-
[Only registered and activated users can see links] %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%29%20-%20%7Bc%5E3%7D%20=%20%7Bc%5E2%7Da%20-%20cb%20=c%28ac%20-%20b%29%20%3E%200 (do giả thiết)
Nếu cả ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] 20%5CRightarrow%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20%3 E%20%7Bc%5E3%7D vô lí (do [Only registered and activated users can see links] E3%7D), vậy trong ba số [Only registered and activated users can see links] tồn tại đúng một số dương[Only registered and activated users can see links] trong ba nghiệm của phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c.
Ví dụ 5: Giả sử phương trình [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 (1) có ba nghiệm phân biệt khác 0. Chứng minh rằng phương trình : [Only registered and activated users can see links] (2) cũng có ba nghiệm phân biệt.
Giải: Gọi [Only registered and activated users can see links] 0 là ba nghiệm của phương trình (1).
Theo định lí Viet, ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20-%20a%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7B x_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%2 0%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20-%20c%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright..
Giả sử (2) có ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] ta có:
[Only registered and activated users can see links] D%20=%20b%20=%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_2%7D %7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D
Dẫn đến ta dự đoán ba nghiệm của (2) là [Only registered and activated users can see links] 7Bx_2%7D%7Bx_3%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%7Bx_3%7D%7B x_1%7D.
Đặt [Only registered and activated users can see links] Crm%7B%20%7D%7D%7B%7B%5Crm%7By%7D%7D_2%7D%20=%20%7 Bx_2%7D%7Bx_3%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%7By_3%7D%20= %7Bx_3%7D%7Bx_1%7D, ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7By_1%7D%20+%20%7By_2%7D%20+%20%7By_3%7D%20=%20b%2 0%5C%5C%20%7By_1%7D%7By_2%7D%20+%7By_2%7D%7By_3%7D %20+%20%7By_3%7D%7By_1%7D%20=%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D %7Bx_3%7D%28%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3 %7D%29%20=%20ac%5C%5C%20%7By_1%7D%7By_2%7D%7By_3%7 D%20=%20%7B%28%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%5E2%7 D%20=%20%7Bc%5E2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D% 5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 7By_3%7D là ba nghiệm của phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Vì là ba nghiệm phân biệt nên [Only registered and activated users can see links] cũng là ba nghiệm phân biệt
Vậy phương trình [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm phân biệt.
Chú ý : Khi gặp bài toán cho phương trình : [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 (1) có ba nghiệm và yêu cầu chứng minh phương trình [Only registered and activated users can see links] 20+%20p%20=%200 (2) cũng có ba nghiệm ta thường làm như sau:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của (1), ta chứng minh [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] h%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29 là ba nghiệm của (2) bằng cách chứng minh:
[Only registered and activated users can see links] %28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20+%20g%28%7Bx _1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20+h%28%7Bx_1%7D,%7Bx _2%7D,%7Bx_3%7D%29%20=%20-%20m%20%5C%5C%20f%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D% 29g%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29+%20h%28%7Bx _1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29f%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7 D,%7Bx_3%7D%29%20%5C%5C%20%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%20+ g%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29h%28%7Bx_1%7D, %7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20=%20n%20%5C%5Cf%28%7Bx_1% 7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29g%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,% 7Bx_3%7D%29h%28%7Bx_1%7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%29%20 =%20p%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
Ví dụ 6: Cho [Only registered and activated users can see links] %3E%200dương và phương trình [Only registered and activated users can see links]ó ba nghiệm. Chứng minh rằng:
1) [Only registered and activated users can see links] D%7B%7B27%7D%7D 2) [Only registered and activated users can see links]
Giải:
Giả thiết bài toán cho phương trình có ba nghiệm và yêu cầu chúng ta chứng minh BĐT giữa các hệ số nên ta nghĩ đến chuyển
các BĐT đó thành các BĐT của ba nghiệm . Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình . Vì [Only registered and activated users can see links] D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%20%3E%200
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%201%2 0%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D %20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20a%20%5C%5C%20%7Bx_ 1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20b%20%5C%5C%20%5Cend%7 Bmatrix%7D%5Cright.
Bài toán trở thành cho ba số [Only registered and activated users can see links] và có tổng bằng 1. Chứng minh:
1) [Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_1%7D%7Bx_2 %7D%7Bx_3%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B%7B10%7D%7D%7B%7B27% 7D%7D.
Áp dụng BĐT Côsi ta có: [Only registered and activated users can see links] B%5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B%7B%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx _2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7D%7D%7B3%7D%7D%5Cright%29%5 E3%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B27%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1 %7D%7B3%7D%7B%28%7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D+%20%7Bx_ 3%7D%29%5E2%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D
[Only registered and activated users can see links] +%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20 +%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%5Cle%20%5Cfrac%7B1 %7D%7B3%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B27%7D%7D%20=% 20%5Cfrac%7B%7B10%7D%7D%7B%7B27%7D%7D.
2) [Only registered and activated users can see links] %7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20-%202%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B7 %7D%7B%7B27%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] %28%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%20%5Cle%5Cfrac%7B7 %7D%7B%7B27%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] %281%20-%20%7Bx_1%7D%29%20%5Cle%5Cfrac%7B7%7D%7B%7B27%7D%7 D
Giả sử [Only registered and activated users can see links] %7D,%7Bx_2%7D,%7Bx_3%7D%7B%5Crm%7B%5C%7D%20%7D%7D% 20%5CRightarrow%20%7Bx_1%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B1%7D% 7B3%7D%20%5CRightarrow%201%20-%202%7Bx_1%7D%20%3E%200
[Only registered and activated users can see links] Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7D%7D%7B2%7D%7D%5Cright%29 %5E2%7D%20+%20%7Bx_1%7D%281%20-%20%7Bx_1%7D%29
[Only registered and activated users can see links] 20-%20%7Bx_1%7D%7D%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright%29%5E2%7D% 20+%20%7Bx_1%7D%281-%20%7Bx_1%7D%29
[Only registered and activated users can see links] B%7B%20-%202x_1%5E3%20+%20x_1%5E2%20+%201%7D%7D%7B4%7D%20= %5Cfrac%7B7%7D%7B%7B27%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7B%7B%7B%283%7Bx_1%7D%20-%201%29%7D%5E2%7D%286%7Bx_1%7D%20+%201%29%7D%7D%7B %7B108%7D%7D%20%5Cle%5Cfrac%7B7%7D%7B%7B27%7D%7D (đpcm).
Đẳng thức xảy ra [Only registered and activated users can see links] 7Bx_2%7D%20=%20%7Bx_3%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3% 7D.
Chú ý : Khi gặp các BĐT về hệ số của phương trình bậc ba (cũng như bậc cao) ta có thể sử dụng định lí Viet để chuyển BĐT cần chứng minh về BĐT các nghiệm của phương trình . Hơn nữa ta thấy còn đường để sáng tác ra những bài toán dạng này là xuất phát từ một BĐT đối xứng ba biến, sử dụng định lí Viet ta chuyển BĐT đó về BĐT giữa các hệ số của phương trình bậc ba. Chẳng hạn từ bài toán:
Cho [Only registered and activated users can see links] B%5Crm%7Bz%7D%7D%20%5Cge%200thỏa mãn [Only registered and activated users can see links] Chứng minh
[Only registered and activated users can see links] 20+%20zx.
Ta chuyển thành bài toán như sau
Cho phương trình : [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm không âm. Chứng minh [Only registered and activated users can see links] Ví dụ sau đây cũng là một sản phẩm của cách làm trên.
Ví dụ 7: Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 có ba nghiệm . Chứng minh: [Only registered and activated users can see links] +%2010%5Csqrt%20%7B%7B%7B%28%7Ba%5E2%7D%20-%202b%29%7D%5E3%7D%7D (HSG QG – 2001 ).
Giải:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có:
[Only registered and activated users can see links] 7Bx_1%7D%20+%20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%20=%20-%20a%20%5C%5C%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%20+%7Bx_2%7D%7B x_3%7D%20+%20%7Bx_3%7D%7Bx_1%7D%20=%20b%20%5C%5C%2 0%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20=%20-%20c%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.
[Only registered and activated users can see links]
BĐT cần chứng minh trở thành: [Only registered and activated users can see links] 0-%202b%29%7D%5E3%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] %20%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_3%7D%29%28x_1%5E2%20+%20x_ 2%5E2%20+%20x_3%5E2%29%20%5Cle27%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D %7Bx_3%7D%20+%2010%5Csqrt%20%7B%7B%7B%28x_1%5E2%20 +%20x_2%5E2%20+%20x_3%5E2%29%7D%5E3%7D%7D (1).
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 200%20%5CRightarrow%20%281%29đúng.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] Cne%200. Vì (1) là BĐT thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh (1) khi [Only registered and activated users can see links] 209. Và (1) trở thành:
[Only registered and activated users can see links] _3%7D%29%20-%20%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%20%5Cle%2010 (2)
Giả sử [Only registered and activated users can see links] C%20%5Cge%20%5Cleft%7C%20%7B%7Bx_3%7D%7D%20%5Crigh t%7C%20%5CRightarrow%20x_1%5E2%20%5Cge3
[Only registered and activated users can see links] 2%7D%7Bx_3%7D%7D%20%5Cright%7C%20%5Cle%20%5Cfrac%7 B%7Bx_2%5E2%20+x_3%5E2%7D%7D%7B2%7D%20=%20%5Cfrac% 7B%7B9%20-%20x_1%5E2%7D%7D%7B2%7D%20%5Cle%203.
Gọi P là VT(2) [Only registered and activated users can see links] %20-%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%20+%202%28%7Bx_2%7D%20+%2 0%7Bx_3%7D%29
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cleft[%20%7Bx_1%5E2%20+%20%7B%7B%28%7Bx_2%7D%20+%20%7Bx_ 3%7D%29%7D%5E2%7D%7D%5Cright]%5Cleft[%20%7B%7B%7B%282%20-%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%7D%5E2%7D%20+%204%7D%20%5 Cright]
[Only registered and activated users can see links] %5Cleft[%20%7B%7B%7B%282%20-%20%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%29%7D%5E2%7D%20+%204%7D%20%5 Cright]
Đặt [Only registered and activated users can see links] ow%20-%203%20%5Cle%20t%20%5Cle%203 và
[Only registered and activated users can see links] 88%20-%204t%20+%20%7Bt%5E2%7D%29%20=%20%7B%28t%20+%202%2 9%5E2%7D%282t%20-%207%29%20+%20100
[Only registered and activated users can see links] 010%20%5CRightarrow%20P%20%5Cle%2010. Đẳng thức xảy ra [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7Bx_1%7D%20=%20%7Bx_2%7D%20 =%202%20%5C%5C%20%7Bx_3%7D%20=-%201%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Hay (a;b;c) là hoán vị của bộ [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 8 Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links] có ba nghiệm dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của [Only registered and activated users can see links] (HSG QG 1999).
Giải:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là ba nghiệm thực dương của phương trình đã cho.
Áp dụng định lí Viet ta có:
[Only registered and activated users can see links] %20+%20n%20+%20p%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5C %5C%20mn%20+%20np%20+%20pm%20=%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7 D%20%5C%5C%20mnp%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5C %5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CRightarr owa,b%20%3E%200.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 7B%28m%20+%20n%20+%20p%29%5E2%7D%20%5Cge%203%28mn% 20+%20np%20+%20pm%29%20%5C%5C%20m%20+%20n+%20p%20% 5Cge%203%5Csqrt[3]%7B%7Bmnp%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5 Cright.
[Only registered and activated users can see links] gin%7Bmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D% 7D%7D%20%5Cge%5Cfrac%7B%7B3b%7D%7D%7Ba%7D%20%5C%5C %20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5Cge%203%5Csqrt[3]%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D%20%5C%5C%5Cend%7 Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%5 C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20b%20%5Cle%5Cfrac%7B1 %7D%7B%7B3a%7D%7D%20%5C%5C%20a%20%5Cle%20%5Cfrac%7 B1%7D%7B%7B3%5Csqrt%203%20%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend %7Bmatrix%7D%5Cright..
Cách 1:
Xét hàm số: [Only registered and activated users can see links] %20-%203ab%20+%202%7D%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%28b%20-%20a%29%7D%7D với [Only registered and activated users can see links] 7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D. Ta có:
[Only registered and activated users can see links] %28b%29 giảm trên [Only registered and activated users can see links] 7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B3a%7D%7D%7D%20% 5Cright%29%20=%5Cfrac%7B%7B3%285%7Ba%5E2%7D%20+%20 1%29%7D%7D%7B%7Ba%281%20-%203%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D%20=%203.g%28a%29
Xét hàm g(a) với [Only registered and activated users can see links] Csqrt%203%20%7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D, ta có:
[Only registered and activated users can see links] 4%7D%20+%2014%7Ba%5E2%7D%20-%201%7D%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%7B%7B%283%7Ba%5E2%7D%2 0-%201%29%7D%5E2%7D%7D%7D%20%3C0%7B%5Crm%7B%20%7D%7D %5Cforall%20a%20%5Cin%20%280;%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B3 %5Csqrt%203%20%7D%7D%7B%5Crm%7B]%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B3%5Csqrt%203%20 %7D%7D%7D%20%5Cright%29%20=4%5Csqrt%203%20%5CRight arrow%20f%28b%29%20%5Cge%2012%5Csqrt%203.Đẳng thức có[Only registered and activated users can see links] B1%7D%7B%7B3%5Csqrt%203%20%7D%7D;b%20=%20%5Csqrt%2 03
Khi đó [Only registered and activated users can see links] Vậy [Only registered and activated users can see links] 203.
Cách 2: Ta có [Only registered and activated users can see links] 7B5%20-%203%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20+2%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B %7Ba%5E2%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D %20-%201%7D%7D%20%5Cge%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%5Cfrac% 7B%7B5%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%7D%7D%20+%20%5Cfra c%7B2%7D%7B%7B%7Ba%5E2%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Cfrac %7B1%7D%7B%7B3%7Ba%5E2%7D%7D%7D%20-%201%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7B3%285%7Ba%5E2%7D%20+%20 1%29%7D%7D%7B%7Ba%281%20-%203%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 20%7Ba%5E3%7D%20+%2015%7Ba%5E2%7D%20-12%5Csqrt%203%20a%20+%203%7D%7D%7B%7Ba%281%20-%203%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 20-%201%29%2812%7Ba%5E2%7D%20+%203%5Csqrt%203%20a%20-%203%29%7D%7D%7B%7Ba%281%20-3%7Ba%5E2%7D%29%7D%7D.
Do [Only registered and activated users can see links] 7B3%5Csqrt%203%20%7D%7D%20%5CRightarrow%2012%7Ba%5 E2%7D%20+%203%5Csqrt%203%20a%20-%203%5Cle%2012.%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B27%7D%7D%20+%20 1%20-%203%20=%20-%20%5Cfrac%7B%7B14%7D%7D%7B9%7D%20%3C%200 và [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cge%2012%5Csqrt%203. Đẳng thức xảy ra [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B 3%5Csqrt%203%20%7D%7D%20%5C%5Cb%20=%20%5Csqrt%203% 20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
Ví dụ 10: Cho phương trình [Only registered and activated users can see links] 0-%201%7D%7D%20+%20...%20+%20%7Ba_%7Bn%20-%201%7D%7Dx%20+%20%7Ba_n%7D%20=%200 có n nghiệm, trong đó [Only registered and activated users can see links] Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình nằm trong đoạn [Only registered and activated users can see links][%20%7B%20-%20%7Ba_1%7D;%7Ba_1%7D%20+%202%7D%20%5Cright].
Giải: Gọi [Only registered and activated users can see links]à n nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó yêu cầu bài toán cần chứng minh: [Only registered and activated users can see links] 7D%20+%202%20%5CLeftrightarrow%20%20-%20%7Ba_1%7D%20-%201%20%5Cle%7Bx_i%7D%20-%201%20%5Cle%20%7Ba_1%7D%20+%201
[Only registered and activated users can see links] 0-%201%29%5E2%7D%20%5Cle%20%7B%28%7Ba_1%7D%20+%201%2 9%5E2%7D. Điều này dẫn tới ta có cách giải như sau:
Theo định lí Viet ta có: [Only registered and activated users can see links] B%7Bx_i%7D%7D%20%20=%20%20-%20%7Ba_1%7D;%20%5Csum%5Climits_%7B%5Cscriptstylei ,j%20=%201%20%5Chfill%20%5Catop%20%20%20%5Cscripts tyle%20i%20%5Cne%20j%20%5Chfill%7D%5En%20%7B%7Bx_i %7D%7Bx_j%7D%7D%20%20=%7Ba_2%7D
[Only registered and activated users can see links] eft%28%20%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20 %7B%7Bx_i%7D%7D%20%7D%5Cright%29%5E2%7D%20=%20%5Cs um%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20 %20+%202%7Ba_2%7D
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20=%20a_1%5E2%20-%202%7Ba_2%7D
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7B%7B%7B%28%7Bx_i%7D%20-%201%29%7D%5E2%7D%7D%20%20=%5Csum%5Climits_%7Bi%20 =%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20-%202%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7Bx_ i%7D%7D%20%20+%20n%20=a_1%5E2%20-%202%7Ba_2%7D%20+%202%7Ba_1%7D%20+%20n
[Only registered and activated users can see links] 20-%20%7B%5Crm%7B[%7D%7D2%7Ba_2%7D%20-%20%28n%20-%201%29%7B%5Crm%7B]%7D%7D%20%5Cle%20%7B%28%7Ba_1%7D+%201%29%5E2%7D.
(Do [Only registered and activated users can see links]) [Only registered and activated users can see links] 7D%20+%202 đpcm.
Ví dụ 11: Cho phương trình sau có n nghiệm ([Only registered and activated users can see links]). Hãy tìm các nghiệm đó ?
[Only registered and activated users can see links]
Giải: Ta thấy phương trình chỉ có ba hệ số của [Only registered and activated users can see links] là những giá trị cụ thể còn những hệ số khác chúng ta chưa xác định được. Do đó để giải phương trình này ta phải dựa vào mối quan hệ giữa các hệ số của [Only registered and activated users can see links] điều này gợi ý cho chúng ta sử dụng định lí Viet. Thật vậy:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là n nghiệm của phương trình đã cho.
Theo định lí Viet ta có: [Only registered and activated users can see links] B%7Bx_i%7D%7D%20%20=%20n%20%20;%20%5Csum%5Climits_ %7B%5Cscriptstyle%20i,j=%201%20%5Chfill%20%5Catop% 20%20%20%5Cscriptstyle%20i%20%5Cne%20j%20%5Chfill% 7D%5En%20%7B%7Bx_i%7D%7Bx_j%7D%7D%20%20=%5Cfrac%7B %7B%7Bn%5E2%7D%20-%20n%7D%7D%7B2%7D.
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20=%20%7B%5Cleft %28%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7B x_i%7D%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D%20-2%5Csum%5Climits_%7B%5Cscriptstyle%20i,j%20=%201%2 0%5Chfill%20%5Catop%20%20%20%5Cscriptstyle%20i%20% 5Cne%20j%5Chfill%7D%5En%20%7B%7Bx_i%7D%7Bx_j%7D%7D %20%20=%20n.
[Only registered and activated users can see links] 20=%201%7D%5En%20%7B%7B%7B%28%7Bx_i%7D%20-%201%29%7D%5E2%7D%7D%20%20=%5Csum%5Climits_%7Bi%20 =%201%7D%5En%20%7Bx_i%5E2%7D%20%20-%202%5Csum%5Climits_%7Bi%20=%201%7D%5En%20%7B%7Bx_ i%7D%7D%20%20+%20n%20=n%20-%202n%20+%20n%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 5Crm%7B%20%20%7D%7D%5Cforall%20i%20=%20%5Coverline %20%7B1,n%7D. Vậy phương trình có n nghiệm trùng nhau: [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán trong ví dụ 10. Với cách làm tương tự hoặc từ sự đánh giá giũa các tổng các tích chập k [Only registered and activated users can see links] có thể sáng tác ra những bài toán tương tự.