ThanhTam
22-10-2009, 07:42 AM
I. Cực trị trong mặt phẳng
1. Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng
Bài 1. Cho đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và hai điểm [Only registered and activated users can see links] Tìm điểm [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links] sao cho:
a) [Only registered and activated users can see links] nhỏ b) [Only registered and activated users can see links] lớn nhất
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta kiểm tra [Only registered and activated users can see links] nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] Ta có:
[Only registered and activated users can see links] B%2B1%29+%3D+%282%2B3%2B1%29%282%2B0%2B1%29+%3D+18 +%3E+0&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Suy ra [Only registered and activated users can see links] nằm cùng phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
a) Gọi [Only registered and activated users can see links] là điểm đối xứng của [Only registered and activated users can see links] qua [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links] Khi đó [Only registered and activated users can see links] là trung điểm của [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ của [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2By+%2B+1+%3D+0%7D%5C%5C%7Bx-y%2B1%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D-1%7D%5C%5C%7By%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Suy ra tọa độ [Only registered and activated users can see links]
Gọi [Only registered and activated users can see links] là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ của [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2By+%2B+1+%3D+0%7D%5C%5C%7Bx-2y-2%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D0%7D%5C%5C%7By%3D-1%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Khi đó [Only registered and activated users can see links] là điểm cần tìm. Thật vậy:
Với mọi điểm [Only registered and activated users can see links] ta có [Only registered and activated users can see links] %27B+%5Cge+A%27B+%3D+MA+%2B+MB&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 và dấu [Only registered and activated users can see links] xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
b) Ta có thể trình bày như câu a) hoặc có thể trình bày theo cách sau:
Ta có [Only registered and activated users can see links] Dấu [Only registered and activated users can see links] xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] thuộc đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và nằm ngoài đoạn thẳng [Only registered and activated users can see links] Mà [Only registered and activated users can see links] cùng phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] nên điểm [Only registered and activated users can see links] cần tìm chính là giao của đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là [Only registered and activated users can see links]
Bài 2. Cho đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và hai điểm [Only registered and activated users can see links] Tìm điểm [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links] sao cho:
a) [Only registered and activated users can see links] là nhỏ nhất c) [Only registered and activated users can see links] lớn nhất
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta kiểm tra [Only registered and activated users can see links] cùng phía hay khác phía đối với đường tròn. Ta có
[Only registered and activated users can see links] suy ra [Only registered and activated users can see links] khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
a) Ta có [Only registered and activated users can see links] và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] nằm giữa [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links] là giao của đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] (Vì [Only registered and activated users can see links] khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links]).
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
Tọa điểm [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2B2y+-2+%3D+0%7D%5C%5C%7B2x%2By-2%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3% 7D%7D%5C%5C%7By%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%5Cend% 7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy [Only registered and activated users can see links] rac%7B2%7D%7B3%7D%29&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 là điểm cần tìm.
b) Để ý rằng [Only registered and activated users can see links] là khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] nên khi áp dụng bất đẳng thức [Only registered and activated users can see links] thì không tồn tại [Only registered and activated users can see links] để dấu bằng xảy ra. Do đó ta phải làm như sau:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là điểm đối xứng của [Only registered and activated users can see links] qua đường thẳng [Only registered and activated users can see links] đó ta có
[Only registered and activated users can see links] Dấu [Only registered and activated users can see links] xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] thuộc đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và nằm ngoài đoạn thẳng [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links] là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Ta tính được tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links] là [Only registered and activated users can see links] 7D%2C+%5Cdfrac%7B4%7D%7B5%7D%5Cright%29&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] 7%28y-6%29%3D0+&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 hay [Only registered and activated users can see links]
Suy ra tọa độ của điểm [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2B2y+-2+%3D+0%7D%5C%5C%7B26x-17y%2B-53%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D%5Cdfrac%7B74%7D%7B3 5%7D%7D%5C%5C%7By%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B35%7D%7D%5Ce nd%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links] cần tìm là [Only registered and activated users can see links] D%3B+%5Cdfrac%7B2%7D%7B35%7D%5Cright%29&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Bài 3.Cho đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và hai điểm [Only registered and activated users can see links] Tìm điểm [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links] sao cho:
a) [Only registered and activated users can see links] overrightarrow%7BMB%7D%7C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 nhỏ nhất. b) [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Gọi [Only registered and activated users can see links] là trung điểm của [Only registered and activated users can see links] Khi đó ta có:
[Only registered and activated users can see links] 5Coverrightarrow%7BMB%7D%7C+%3D+%7C2%5Coverrightar row%7BMI%7D%7C+%3D+2MI&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy [Only registered and activated users can see links] overrightarrow%7BMB%7D%7C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 nhỏ nhất khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất, khi đó [Only registered and activated users can see links] là hình chiếu của [Only registered and activated users can see links] trên [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] qua [Only registered and activated users can see links] và vuông góc với [Only registered and activated users can see links] là: [Only registered and activated users can see links]
Khi đó [Only registered and activated users can see links] cần tìm chính là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] Tọa độ của [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ phương trình:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx+%2B+y+%2B+1+%3D+0%7D%5C%5C%7Bx-+y+%2B+3+%3D+0%7D%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D-2%7D%5C%5C%7By%3D1%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy [Only registered and activated users can see links] là điểm cần tìm.
b) Gọi điểm [Only registered and activated users can see links] là điểm thỏa [Only registered and activated users can see links] Coverrightarrow%7BJB%7D+%3D+0&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0.
Khi đó ta có [Only registered and activated users can see links] rrightarrow%7BMJ%7D%2B%5Coverrightarrow%7BJA%7D%29 %5E2%2B3%28%5Coverrightarrow%7BMJ%7D%2B%5Coverrigh tarrow%7BJB%7D%29%5E2&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
[Only registered and activated users can see links] 2+%2B+2%5Coverrightarrow%7BMJ%7D%282%5Coverrightar row%7BJA%7D+%2B+3%5Coverrightarrow%7BJB%7D%29+&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
[Only registered and activated users can see links]
Ta có [Only registered and activated users can see links] là cố định, nên [Only registered and activated users can see links] không đổi. Do đó [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất, khi đó [Only registered and activated users can see links] là hình chiếu của [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links]
Suy ra tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links] cần tìm là [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: Chúng ta có thể làm tương tự với những biểu thức cực trị có dạng [Only registered and activated users can see links] %7D+%2B+%5Cbeta+%5Coverrightarrow%7BMB%7D%7C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 hoặc [Only registered and activated users can see links] +&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
1. Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng
Bài 1. Cho đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và hai điểm [Only registered and activated users can see links] Tìm điểm [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links] sao cho:
a) [Only registered and activated users can see links] nhỏ b) [Only registered and activated users can see links] lớn nhất
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta kiểm tra [Only registered and activated users can see links] nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] Ta có:
[Only registered and activated users can see links] B%2B1%29+%3D+%282%2B3%2B1%29%282%2B0%2B1%29+%3D+18 +%3E+0&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Suy ra [Only registered and activated users can see links] nằm cùng phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
a) Gọi [Only registered and activated users can see links] là điểm đối xứng của [Only registered and activated users can see links] qua [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links] Khi đó [Only registered and activated users can see links] là trung điểm của [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ của [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2By+%2B+1+%3D+0%7D%5C%5C%7Bx-y%2B1%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D-1%7D%5C%5C%7By%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Suy ra tọa độ [Only registered and activated users can see links]
Gọi [Only registered and activated users can see links] là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ của [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2By+%2B+1+%3D+0%7D%5C%5C%7Bx-2y-2%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D0%7D%5C%5C%7By%3D-1%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Khi đó [Only registered and activated users can see links] là điểm cần tìm. Thật vậy:
Với mọi điểm [Only registered and activated users can see links] ta có [Only registered and activated users can see links] %27B+%5Cge+A%27B+%3D+MA+%2B+MB&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 và dấu [Only registered and activated users can see links] xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
b) Ta có thể trình bày như câu a) hoặc có thể trình bày theo cách sau:
Ta có [Only registered and activated users can see links] Dấu [Only registered and activated users can see links] xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] thuộc đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và nằm ngoài đoạn thẳng [Only registered and activated users can see links] Mà [Only registered and activated users can see links] cùng phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] nên điểm [Only registered and activated users can see links] cần tìm chính là giao của đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là [Only registered and activated users can see links]
Bài 2. Cho đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và hai điểm [Only registered and activated users can see links] Tìm điểm [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links] sao cho:
a) [Only registered and activated users can see links] là nhỏ nhất c) [Only registered and activated users can see links] lớn nhất
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta kiểm tra [Only registered and activated users can see links] cùng phía hay khác phía đối với đường tròn. Ta có
[Only registered and activated users can see links] suy ra [Only registered and activated users can see links] khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
a) Ta có [Only registered and activated users can see links] và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] nằm giữa [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links] là giao của đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] (Vì [Only registered and activated users can see links] khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links]).
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
Tọa điểm [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2B2y+-2+%3D+0%7D%5C%5C%7B2x%2By-2%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3% 7D%7D%5C%5C%7By%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%5Cend% 7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy [Only registered and activated users can see links] rac%7B2%7D%7B3%7D%29&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 là điểm cần tìm.
b) Để ý rằng [Only registered and activated users can see links] là khác phía đối với đường thẳng [Only registered and activated users can see links] nên khi áp dụng bất đẳng thức [Only registered and activated users can see links] thì không tồn tại [Only registered and activated users can see links] để dấu bằng xảy ra. Do đó ta phải làm như sau:
Gọi [Only registered and activated users can see links] là điểm đối xứng của [Only registered and activated users can see links] qua đường thẳng [Only registered and activated users can see links] đó ta có
[Only registered and activated users can see links] Dấu [Only registered and activated users can see links] xảy ra khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] thuộc đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và nằm ngoài đoạn thẳng [Only registered and activated users can see links] hay [Only registered and activated users can see links] là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Ta tính được tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links] là [Only registered and activated users can see links] 7D%2C+%5Cdfrac%7B4%7D%7B5%7D%5Cright%29&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] 7%28y-6%29%3D0+&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 hay [Only registered and activated users can see links]
Suy ra tọa độ của điểm [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx%2B2y+-2+%3D+0%7D%5C%5C%7B26x-17y%2B-53%3D0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D%5Cdfrac%7B74%7D%7B3 5%7D%7D%5C%5C%7By%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B35%7D%7D%5Ce nd%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links] cần tìm là [Only registered and activated users can see links] D%3B+%5Cdfrac%7B2%7D%7B35%7D%5Cright%29&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Bài 3.Cho đường thẳng [Only registered and activated users can see links] và hai điểm [Only registered and activated users can see links] Tìm điểm [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links] sao cho:
a) [Only registered and activated users can see links] overrightarrow%7BMB%7D%7C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 nhỏ nhất. b) [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Gọi [Only registered and activated users can see links] là trung điểm của [Only registered and activated users can see links] Khi đó ta có:
[Only registered and activated users can see links] 5Coverrightarrow%7BMB%7D%7C+%3D+%7C2%5Coverrightar row%7BMI%7D%7C+%3D+2MI&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy [Only registered and activated users can see links] overrightarrow%7BMB%7D%7C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 nhỏ nhất khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất, khi đó [Only registered and activated users can see links] là hình chiếu của [Only registered and activated users can see links] trên [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links]
Phương trình đường thẳng [Only registered and activated users can see links] qua [Only registered and activated users can see links] và vuông góc với [Only registered and activated users can see links] là: [Only registered and activated users can see links]
Khi đó [Only registered and activated users can see links] cần tìm chính là giao điểm của [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] Tọa độ của [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của hệ phương trình:
[Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7Bx+%2B+y+%2B+1+%3D+0%7D%5C%5C%7Bx-+y+%2B+3+%3D+0%7D%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 [Only registered and activated users can see links] begin%7Barray%7D%7Bc%7D%7Bx%3D-2%7D%5C%5C%7By%3D1%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
Vậy [Only registered and activated users can see links] là điểm cần tìm.
b) Gọi điểm [Only registered and activated users can see links] là điểm thỏa [Only registered and activated users can see links] Coverrightarrow%7BJB%7D+%3D+0&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0.
Khi đó ta có [Only registered and activated users can see links] rrightarrow%7BMJ%7D%2B%5Coverrightarrow%7BJA%7D%29 %5E2%2B3%28%5Coverrightarrow%7BMJ%7D%2B%5Coverrigh tarrow%7BJB%7D%29%5E2&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
[Only registered and activated users can see links] 2+%2B+2%5Coverrightarrow%7BMJ%7D%282%5Coverrightar row%7BJA%7D+%2B+3%5Coverrightarrow%7BJB%7D%29+&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0
[Only registered and activated users can see links]
Ta có [Only registered and activated users can see links] là cố định, nên [Only registered and activated users can see links] không đổi. Do đó [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links] nhỏ nhất, khi đó [Only registered and activated users can see links] là hình chiếu của [Only registered and activated users can see links] trên đường thẳng [Only registered and activated users can see links]
Tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links]
Suy ra tọa độ điểm [Only registered and activated users can see links] cần tìm là [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: Chúng ta có thể làm tương tự với những biểu thức cực trị có dạng [Only registered and activated users can see links] %7D+%2B+%5Cbeta+%5Coverrightarrow%7BMB%7D%7C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 hoặc [Only registered and activated users can see links] +&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0