ThanhTam
23-10-2009, 07:36 AM
Đây là loại phương trình, bất phương trình mà chúng ta thường hay gặp nhất trong các kì thi. Các dạng toán cũng như cách giải loại phương trình, bất phương trình này rất phong phú và đa dạng. Nhưng tất cả cùng chung một mục đích là tìm cách loại bỏ căn thức và chuyển phương trình, bất phương trình đã cho về những phương trình, bất phương trình có bậc không lớn hơn 4. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ mở dầu : Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] 7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%20%5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt% 20%7B1%20-%20x%7D .
Lời giải: Đk: [Only registered and activated users can see links]
Để giải phương trình này thì rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ căn thức. Có những cách nào để loại bỏ căn thức ? Điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bình phương hai vế ta thu được phương trình tương đương.
[Only registered and activated users can see links] %28%20%7B1%20+%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7 Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20%7D%5Cright%29%5E2%7D%20=%20%7 B%5Cleft%28%20%7B%5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt%20%7B1% 20-%20x%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D
[Only registered and activated users can see links] B4%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%28x% 20-%7Bx%5E2%7D%29%20=%201%20+%202%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] rt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20%5Cleft%28%20%7B2%5Csqrt%20%7B x%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20-%203%7D%5Cright%29%20=%200 (I)
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%200%20%5C%5C%5Csqrt%20%7Bx%2 0-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5 C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%5CLeftrighta rrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20=%2 00;x%20=%201%20%5C%5C%20V%7BN_0%7D%20%5C%5C%5Cend% 7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình: [Only registered and activated users can see links]
Qua lời giải trên ta thấy được [Only registered and activated users can see links]ẽ biểu diến được qua [Only registered and activated users can see links] nhờ vào đẳng thức [Only registered and activated users can see links] sqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D%20=%201%20+%202 %5Csqrt%20%7Bx%20-%7Bx%5E2%7D%7D (*) .Cụ thể nếu ta đặt [Only registered and activated users can see links] %20-%20x%7D thì [Only registered and activated users can see links] 0-%201%7D%7D%7B2%7D và khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn là t: [Only registered and activated users can see links] Bt%5E2%7D%20-%203t%20+%202%20=%200%5CLeftrightarrow%20t%20=%201 ;t%20=%202.
Vậy ta có: [Only registered and activated users can see links] 5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20=%201%20%5C%5C%20%5Csqrt%20x%20+%5Csqrt% 20%7B1%20-%20x%7D%20=%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5 Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7 Bmatrix%7D%202%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%200%20%5C%5C%20V%7BN_0%7D%7B %5Crm%7B%20%7D%7D%28VT%20%3C%202%29%20%5C%5C%5Cend %7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%2 0=%200;x%20=%201.
Việc thay thế biểu thức [Only registered and activated users can see links] bằng một ẩn mới là t (mà ta gọi là ẩn phụ) là một suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( chúng ta nhớ lại là chúng ta đang tìm cách làm mất căn thức ! và mục đích của việc này chẳng qua là làm cho phương trình có hình thức đơn giản hơn giúp chúng ta dễ dàng tìm được lời giải). Cách làm như thế này ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày, chẳng hạn khi đi xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta có thể đổi qua đô la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng như việc chuyển đổi tiền ở trên, để làm mất căn thức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao cho phương trình ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trình ban đầu. Đặt biểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất, bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở ? Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của các biểu thức tham gia trong phương trình như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ đó là đẳng thức (*). Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình chẳng hạn ở phương trình trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trình: [Only registered and activated users can see links] 5Cright%29%5E2%7D%20+%20%7B%5Cleft%28%20%7B%5Csqrt %20%7B1%20-%20x%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D=%20x%20+%201%20-%20x%20=%201 (**) mà từ phương trình ta rút được một căn thức qua căn thức còn lại: [Only registered and activated users can see links] 20%7B1%20-%20x%7D%20-%203%7D%7D%7B%7B2%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20-%203%7D%7D. Do đó nếu đặt [Only registered and activated users can see links] c%7B%7B3t%20-%203%7D%7D%7B%7B2t%20-%203%7D%7D thay vào (**) và biến đổi ta thu được phương trình: [Only registered and activated users can see links] 0=%200,t%20=%201 hay \[x = 0,x = 1\] là nghiệm của phương trình.
Phương trình đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời hai căn thức thỏa mãn (**) do vậy nếu ta đặt [Only registered and activated users can see links] 0%7B1%20-%20x%7D, khi đó a và b được ràng buộc bởi hai điều kiện (PT) đó là phương trình ban đâu và đẳng thức (**). Tức là ta có hệ phương trình: [Only registered and activated users can see links] %20+%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dab%20=%20a%20+%20b%20% 5C%5C%20%7Ba%5E2%7D%20+%20%7Bb%5E2%7D%20=1%20%5C%5 C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta được nghiệm của phương trình là [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] Bản chất cách giải này chính là cách đặt ẩn phụ [Only registered and activated users can see links] mà ta đã giải ở trên .
Tiếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ? Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác: [Only registered and activated users can see links] cos%20%5E2%7D%5Calpha%20=%201. Điều này dẫn đến cách giải sau:
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20%7D%7Dt%20%5Cin%20%5B0;%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B 2%7D%7B%5Crm%7B%5D%7D%7D (Điều này hoàn toàn hợp lí vì [Only registered and activated users can see links] ). Khi đó phương trình đã cho trở thành: [Only registered and activated users can see links] %5Ccos%20t%20=%20%5Csin%20t%20+%20%5Ccos%20t
[Only registered and activated users can see links] sin%20t%20-%203%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20%5Csin%20t%20=%201%20%5CRightar row%20x%20=%201%5C%5C%203%5Csqrt%20%7B1%20-%20%5Csin%20t%7D%20=%20%283%20-%202%5Csin%20t%29%5Csqrt%20%7B1%20+%20%5Csin%20t%7 D%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20%5Csin%20t %284%7B%5Csin%20%5E2%7Dt%20-6%5Csin%20t%20+%208%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7 Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cle ft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20x %20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. .
Tiếp tục phân tích ta thấy từ (I) ta có VT của phương trình luôn nhỏ hơn VP của phương trình ( Vì [Only registered and activated users can see links]) dó đó ta nghĩ đến cách đánh giá [Only registered and activated users can see links] (Khi đánh giá ta lưu ý rằng đẳng thức có khi [Only registered and activated users can see links]). Ta có cách đánh giá như sau:
[Only registered and activated users can see links] Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%201%20+%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3 %7D%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt% 20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 7D%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%28x% 20-%20%7Bx%5E2%7D%29.
( Do [Only registered and activated users can see links] 5CRightarrow%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7Bx %20-%7Bx%5E2%7D%7D%20%5Cge%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%28x %20-%20%7Bx%5E2%7D%29%20%5Cge%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D% 28x%20-%20%7Bx%5E2%7D%29 )
[Only registered and activated users can see links] 20%7B%281%20+%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7B x%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20%29%5E2%7D%20=V%7BT%5E2%7D%20% 5CRightarrow%20VP%20%5Cge%20VT.
Đẳng thức có [Only registered and activated users can see links] %200;x%20=%201.
Qua ví dụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. Mọi phương pháp đều chung một mục đích đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình mà ta đã biết cách giải. Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng phương pháp cụ thể.
Trước khi đi vào ví dụ 2 các bạn cần nắm một số kiến thức cơ bản về căn bậc hai
1) Định nghĩa: Cho số thực [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bcases%7D%20x%5Cgeq%200%20%5C%5C%20x%5E2=a%2 0%5Cend%7Bcases%7D.
Từ định nghĩa thì chúng ta cần lưu ý: [Only registered and activated users can see links] tồn tại khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
2) Tính chất: Phép toán để giải thoát căn thức
i) Với mọi [Only registered and activated users can see links] ta luôn có: [Only registered and activated users can see links]
ii) Với mọi số thực [Only registered and activated users can see links] ta luôn có: [Only registered and activated users can see links]
Vì sao chúng ta cần nắm tốt những tính chất trên? Vì khi làm việc với một đối tượng nào đó thì trước hết ta phải xét xem là đối tượng đó có tồn tại hay không đã và cách giải thoát nó như thế nào?
Từ hai tính chất trên cho chúng ta hai cách để giải thoát căn thức đó là tạo ra bình phương trong căn hoặc bình phương ngoài căn. Tóm lại phép toán để giải thoát căn thức là phép bình phương (với căn bậc n thì phép giải thoát là phép lũy thừa n).Vậy các bạn phải nắm được các phép biến đổi lũy thừa.
) Nếu [Only registered and activated users can see links] cùng dấu thì [Only registered and activated users can see links]
ii) Nếu [Only registered and activated users can see links] thì ta có [Only registered and activated users can see links] 5Cgeq%20b%5E2.
Xin tiếp tục bằng ví dụ sau được trích trong đề thi ĐH khối A-2003.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: [Only registered and activated users can see links]
Dĩ nhiên với bài toán nayd thì trước hết ta phải đặt điều kiện cho các căn thức tôn tại. Không mấy khó khăn ta có được điều kiện là [Only registered and activated users can see links]
Khi đó quy đồng mẫu số (các bạn nghĩ xem vì sao ta quy đồng được?) ta được:
[Only registered and activated users can see links] (2).
Đến đây để giải thoát căn thức ta đi bình phương hai vế. Tuy nhiên để bình phương hai vế ta cần có điều kiện hai vế cùng không âm. Dễ thấy VT(2) luôn không âm, còn VP(2)? thì nhận cả giá trị dương lẫn âm. Vậy phải làm thế nào? Dĩ nhiên là ta đi chia hai trường hợp.
* [Only registered and activated users can see links] khi đó [Only registered and activated users can see links] %5CRightarrow%20%20%282%29 luôn đúng.
* [Only registered and activated users can see links] khi đó cả hai vế của (2) đều không âm nên bình phương hai vế, ta được
[Only registered and activated users can see links]
Vậy nghiệm của BPT đã cho là: [Only registered and activated users can see links]
Một điều chúng ta cần lưu ý thêm nữa là khái niệm nghiệm của PT? Có thể đây là khái niệm mà nhiều HS lơ là qua! Tôi thiết nghĩ làm việc gì cúng vậy, nếu ta không hiểu rõ đối tượng đang nghiên cứu được xây dựng như thế nào thì thật khó để chúng ta giải quyết tốt vấn đề đó.
Xin nhắc lại định nghĩa nghiệm của PT
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] xác định trên [Only registered and activated users can see links] .
Ta biết [Only registered and activated users can see links] là nghiệm phương trình [Only registered and activated users can see links] 5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x_0%20 %5Cin%7B%5Crm%7BD%7D%7D_%7B%5Crm%7Bf%7D%7D%20%5C%5 C%20f%28x_0%20%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barra y%7D%20%5Cright..
Mà theo định lí Bơzu nếu [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của đa thức [Only registered and activated users can see links] thì
[Only registered and activated users can see links] . Từ đây ta có nhận xét:
Nếu [Only registered and activated users can see links] là một nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] thì ta có thể đưa phương trình [Only registered and activated users can see links] về dạng [Only registered and activated users can see links]à khi đó việc giải phương trình [Only registered and activated users can see links] về giải phương trình [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 3: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2-x%7D%7D=2.
[Only registered and activated users can see links]
Số lượt xem: 134
[Only registered and activated users can see links]
Trong phần này ta xét loại PT chứa hai hàm ngược của nhau
Trước đây trong diễn đây đã trao đổi về cách giải phương trình chứa hai hàm ngược nhau.
Cụ thể ở đây: [Only registered and activated users can see links]
Và ở đây:[Only registered and activated users can see links]
Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn một cách tiếp cận khác qua đó các bạn thấy được lời giải tự nhiên hơn và phát triển thêm một số bài khó hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] B%7B2x%20-%201%7D%7D .
Giải:
Đặt [Only registered and activated users can see links] %202%7B%5Crm%7Bx%7D%7D .
Vậy ta có hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20x%5E3%20+%201%20=%202y%20%5C%5C%20y%5E3%20 +%201%20=%202x%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%20%5Crigh t
. Trừ hai phương trình của hệ:
[Only registered and activated users can see links] =0%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20y
(Do [Only registered and activated users can see links] =%20%28x%20+%20%5Cfrac%7By%7D%7B2%7D%29%5E2%20+%20 %5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Dy%5E2%20+%202%20%3E%200 ) Thay vào hệ ta có:
[Only registered and activated users can see links] %202x%20%5CLeftrightarrow%20x%5E3%20-%202x%20+%201%20=%200%5CLeftrightarrow%20%28x%20-%201%29%28x%5E2%20+%20x%20-%201%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20x %20=%20%5Cfrac%7B%7B%20-%201%5Cpm%20%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D%20%5C%5C%2 0%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright .
Bình luận: Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không mấy khó khăn để giải bài toán này. Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát được dnagj phương trình trên như sau: * Dạng tổng quát bài toán trên: [Only registered and activated users can see links] t%29%5En%20+%20b%20=%20a%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Baf%28x %29%20-%20b%7D%7D (I)
Để giải phương trình này ta đặt [Only registered and activated users can see links] 5D%7B%7Baf%28x%29%20-%20b%7D%7D ta có hệ: [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20t%5E%7B%5Crm%7Bn%7D%7D%20+%20b%20=%20ay%20 %5C%5C%20y%5En%20+%20b%20=%20at%20%5C%5C%5Cend%7Ba rray%7D%20%5Cright . Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y.
* Từ dạng trên ta cho [Only registered and activated users can see links] bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta có được những phương trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau. Do đó khi gặp phương trình chứa hai hàm ngược nhau ta tìm cách biến đổi về dạng trên. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 2: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B%7Bx%20+%203%7D%7D%7B2%7D%7D
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
PT [Only registered and activated users can see links] 5E2%20-%202%20=%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%7B%28x%20+%201% 29%20+%202%7D%7D%7B2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 20-%201%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%20%7B%5Cfr ac%7B%7Bx%20+%201%7D%7D%7B2%7D+%201%7D%20%7B%5Crm% 7B%20%7D%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] 7B%5Cfrac%7B%7Bx%20+%201%7D%7D%7B2%7D%20+%201%7D%2 0=%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20+1%7D%20 %5CRightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7 D%7Bl%7D%20y%5E2%20-%201%20=%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20y%20%5 Cge0%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright .
Ta có hệ : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20t%5E2%20-%201%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dy%20%5C%5C%20y%5E2 %20-%201%20=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20%5Cend%7 Barray%7D%20%5Cright
[Only registered and activated users can see links] %20=%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5Bt%20=%20y %20%5C%5C%20y%20=%20-%20t%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
* [Only registered and activated users can see links] ft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20t%5E2%20-%201%20=%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20t%20=%20y %20%5Cge%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Crig ht.%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7B array%7D%7Bl%7D%202t%5E2%20-%20t%20-%202%20=%200%20%5C%5C%20t%20%5Cge%200%20%5C%5C%20% 5Cend%7Barray%7D
[Only registered and activated users can see links] B%7B1%20+%20%5Csqrt%20%7B17%7D%20%7D%7D%7B4%7D%20% 5CLeftrightarrow%20x%20=%5Cfrac%7B%7B%20-%203%20+%20%5Csqrt%20%7B17%7D%20%7D%7D%7B4%7D (thỏa [Only registered and activated users can see links] ).
* [Only registered and activated users can see links] %5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20%28t%20+%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%20-%201%20=%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20t%20%5 Cle%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray %7D%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%2 0%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%204t%5E2%20+%202t%20-%203%20=%200%20%5C%5Ct%20%5Cle%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray %7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] B%7B%20-%201%20-%20%5Csqrt%20%7B13%7D%20%7D%7D%7B4%7D%20%5CLeftrig htarrowx%20=%20%5Cfrac%7B%7B%20-%205%20-%20%5Csqrt%20%7B13%7D%20%7D%7D%7B4%7D (thỏa đk [Only registered and activated users can see links]).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] =%20%5Cfrac%7B%7B%20-%205%20-%20%5Csqrt%20%7B13%7D%7D%7D%7B4%7D .
Ví dụ 3: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] %7D%20=%201000
Giải: ĐK: [Only registered and activated users can see links]
PT [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] +%208000x%7D%20;%20v%20%5Cge%200,u%20%5Cge%20-%5Cfrac%7B%7B4001%7D%7D%7B%7B4000%7D%7D
Ta có hệ phương trình: [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E2%20-%204001%20=%204000v%20%5C%5C%20v%5E2%20-%204001%20=%204000u%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5 Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cb egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20u%5E2%20-4001%20=%204000v%20%5C%5C%20u%5E2%20-%20v%5E2%20=%204000%28v%20-%20u%29%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20u%5E2%20-%204001%20=%204000v%7B%5Crm%7B%281%29%20%7D%7D%20% 5C%5C%20%28u%20-%20v%29%28u%20+%20v%20+%204000%29%7B%5Crm%7B%20%28 2%29%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright . . Do [Only registered and activated users can see links] nên Từ (2) ta có: [Only registered and activated users can see links] thay vào (1) ta được: [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E2%20-%204000u%20-%204001%20=%200%20%5C%5C%20u%20%5Cge%200%20%5C%5C% 5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] CLeftrightarrow%20x%20=%202000 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: [Only registered and activated users can see links]
Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức thì ta vẫn giải phương trình bằng cách làm tương tự như trên.
Ví dụ 4: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] %7D%20+%207x%20+%201%20=%202%5Csqrt%20%7Bx%20+%202 %7D .
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 5E2%20+%203x%20=%202%5Csqrt%20%7B2%282x%20+%201%29 %20-%203x%7D.
Đặt [Only registered and activated users can see links] %7B2t%20-%203x%7D%20%5CRightarrow%20y%5E2%20+%203x%20=%202t và [Only registered and activated users can see links]
Ta có : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20t%5E2%20+%203x%20=%202y%20%5C%5C%20y%5E2%2 0+%203x%20=%202t%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%20%5Cri ght.%20%5CRightarrow%20%28t%20-%20y%29%28t%20+%20y%20+%202%29%20=%200%20%5CLeftri ghtarrow%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20 y%20=%20t%20%5C%5C%20y%20=%20-%20t%20-%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright. .
* [Only registered and activated users can see links] ft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20t%5E2%20-%202t%20+%203x%20=%200%20%5C%5Ct%20%5Cge%200%20%5C %5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftright arrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20 4x%5E2%20+%203x%20-%201%20=%200%20%5C%5C%20x%20%5Cge%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D %20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cfrac %7B1%7D%7B4%7D .
* [Only registered and activated users can see links] array%7D%7Bl%7D%20t%5E2%20+%203x%20+%202%28t%20+2% 29%20=%200%20%5C%5C%20t%20%5Cle%20-%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5 CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D %7Bl%7D%204x%5E2%20+%2011x%20+%207%20=%200%20%5C%5 C%20x%20%5Cle%20-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D %20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20-%20%5Cfrac%7B7%7D%7B4%7D. Vậy phương trình có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] 4%7D .
Ví dụ 5: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bx%281%20+%203x%20-%203x%5E2%20%29%7D%7D
Giải: Ta thấy [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho [Only registered and activated users can see links] ta được:
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B8%7D%7B%7Bx%5E3%20%7D%7D%20=2%5Csqrt%5B 3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bx%5E2%20%7D%7D%20+%2 0%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%7D%20-%203%7D%7D .
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20+%203t%20-%203%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] .
Đặt [Only registered and activated users can see links] %7B2%282t%20-%201%29%20+%20t%5E2%20-%20t%20-%201%7D%7D , ta có hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E3%20-%20t%5E2%20+%20t%20+%201%20=%202v%20%5C%5C%20v%5E3 %20-%20t%5E2%20+%20t%20+1%20=%202u%20%5C%5C%20%5Cend%7 Barray%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20u%5E3%20-%20v%5E3%20=%202v%20-%202u
[Only registered and activated users can see links] =%200
[Only registered and activated users can see links] ftrightarrow%202t%20-%201%20=%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bt%5E2%20+%203t%20-3%7D%7D%20%5CLeftrightarrow%208t%5E3%20-%2013t%5E2%20+%203t%20+%202%20=%200
[Only registered and activated users can see links] Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20t%20=%201%20%5C%5C%208t %5E2%20-%205t%20-%202%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Crig ht.%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barr ay%7D%7Bl%7D%20t%20=%201%20%5C%5C%20t%20=%20%5Cfra c%7B%7B5%20%5Cpm%5Csqrt%20%7B89%7D%20%7D%7D%7B%7B1 6%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: [Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B%7B16%7D%7D%7B%7B5%20%5Cpm%20%5Csqrt%20 %7B89%7D%20%7D%7D .
Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa [Only registered and activated users can see links] Vậy nếu thay a bằng một biểu thức chứa [Only registered and activated users can see links] thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 6: Giải phương trình :[Only registered and activated users can see links] .
Giải: PT [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20-%201%29%282x%20-%203%29%20-%20x%20-%201%7D , Ta có hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E2%20+%20x%20+%201%20=%20%28x%20-%201%29v%20%5C%5C%20v%5E2%20+%20x%20+%201%20=%20%2 8x-%201%29u%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links]
* [Only registered and activated users can see links] %20x%20+%201%20=%20%28x%20-%201%29u%20%5CLeftrightarrow%20%282x%20-%203%29%5E2+%20x%20+%201%20=%20%28x%20-%201%29%282x%20-%203%29
[Only registered and activated users can see links] phương trình vô nghiệm.
* [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] E2%20-%206x%20+%202%7D%20=%204%20-%203x%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Ba rray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cle%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D %20%5C%5C%207x%5E2%20-%2018x%20+%2014%20=%200%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D% 20%5Cright. hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Tiếp theo là phép liên hợp
Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp
Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] xác định trên [Only registered and activated users can see links] .
Ta biết [Only registered and activated users can see links] là nghiệm phương trình [Only registered and activated users can see links] 5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x_0%20 %5Cin%7B%5Crm%7BD%7D%7D_%7B%5Crm%7Bf%7D%7D%20%5C%5 C%20f%28x_0%20%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barra y%7D%20%5Cright..
Mà theo định lí Bơzu nếu [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của đa thức [Only registered and activated users can see links] thì
[Only registered and activated users can see links] . Từ đây ta có nhận xét:
Nếu [Only registered and activated users can see links] là một nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] thì ta có thể đưa phương trình [Only registered and activated users can see links] về dạng [Only registered and activated users can see links]à khi đó việc giải phương trình [Only registered and activated users can see links] về giải phương trình [Only registered and activated users can see links] Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] 6%7D (HVKTQS 2000).
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Ta thấy [Only registered and activated users can see links] là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến [Only registered and activated users can see links] vì khi đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: [Only registered and activated users can see links] nên ta biến đổi phương trình như sau: [Only registered and activated users can see links] vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích [Only registered and activated users can see links] thừa số [Only registered and activated users can see links] (Chú ý khi [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] %20%7Bx%20-%202%7D), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng [Only registered and activated users can see links]
điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : [Only registered and activated users can see links] nên ta biến đổi : [Only registered and activated users can see links] 06%7D%20-%203%5Csqrt%20%7Bx%20-2%7D%20%29%28%5Csqrt%20%7Bx%20+%206%7D%20+%203%5Cs qrt%20%7Bx%20-%202%7D%20%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%20+%206%7D %20+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-2%7D%20%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] +%206%7D%20-%203%5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B%20-%208%28x%20-3%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%20+%206%7D%20+%203% 5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20%7D%7D.
Suy ra phương trình [Only registered and activated users can see links] 0+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-2%7D%20%7D%7D%29%20=%200 đến đây ta chỉ cần giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] 0+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] +%206%7D%20+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20=%204%20%5CLeftrightarrowx%20=%20%5Cfrac %7B%7B11%20-%203%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:
[Only registered and activated users can see links]
hai biểu thức [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.
2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .
Ví dụ 2: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] (THTT).
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm [Only registered and activated users can see links] nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.
[Only registered and activated users can see links] 20-%202%7D%20-%201%20+%20%5Csqrt%20%7B4%20-%20x%7D%20-%201%20=%202x%5E2%20-%205x-%203
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%203%20%5C%5C%20%5Cf rac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx-%202%7D%20+%201%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B4%20-%20x%7D%20+%201%7D%7D%20=%202x%20+%201%7B%5Crm%7B% 20%28*%29%7D%7D%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%20%5Crig ht.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B4%20-%20x%7D+%201%7D%7D%20%5Cge%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B% 5Csqrt%202%20+%201%7D%7D%20=%20%5Csqrt%202%20-%201
[Only registered and activated users can see links]*%29%20%5Cle%202 %20-%20%5Csqrt%202.
Mặt khác [Only registered and activated users can see links]*%2 9%20=%202x%20+%201%20%5Cge%205%20%5CRightarrow%20% 28*%29 vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét : * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:
[Only registered and activated users can see links] (Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]).
* Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay [Only registered and activated users can see links] vào phương trình (*) thì [Only registered and activated users can see links] do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*).
Ví dụ 3: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] %5E2%20%7D%7D%7B%7B1%20+%20x%5E2%20%7D%7D (THTT).
Giải: Điều kiện: [Only registered and activated users can see links]
Ta thấy phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links] nên ta phân tích ra thừa số [Only registered and activated users can see links]
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 2%20%29%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20=%20%282x%20+%20x%5E2%20%29%5Csqrt%20x
[Only registered and activated users can see links] t%20%7B1%20-%20x%7D%20-%20%5Csqrt%20x%20%29%20+%20%28%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20-2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%20 %29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 2%20%281%20-%202%7B%5Crm%7Bx%29%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B 1%20-%20x%7D%20+%20%5Csqrtx%20%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7 B1%20-%20x%20-%204%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B3%7D%7D%20%7D% 7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20+2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Crm%7 Bx%7D%7D%20%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 2%20%281%20-%202%7B%5Crm%7Bx%29%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B 1%20-%20x%7D%20+%20%5Csqrtx%20%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7 B%7B%5Crm%7B%281%7D%7D%20-%20%7B%5Crm%7B2x%29%282x%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7 D%20+%20x%20+%201%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1-%20x%7D%20+%202%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Cr m%7Bx%7D%7D%20%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20+%5Csqrt%20x%20%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7 B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20+%20x% 20+%201%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20+2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Crm%7 Bx%7D%7D%20%7D%7D%29%20=%200%20%5CLeftrightarrow%2 0x%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
(Do biểu thức trong dấu () >0).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 4: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] %20%5Csqrt%20%7B12%20-%20x%7D%20=%206.
Giải: Điều kiện: [Only registered and activated users can see links]
Nhận thấy phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Phương trình [Only registered and activated users can see links] %7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20-%203%29%20+%20%28%5Csqrt%20%7B12%20-%20x%7D%20-%203%29%20=0
[Only registered and activated users can see links] 29%5E2%20%7D%7D%20+3%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bx%20+%2024 %7D%7D%20+%209%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7B3%20-%20x%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B12%20-%20x%7D%20+%203%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 7D%20-3%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20-%206%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%203%20%5C%5C%20%5Cs qrt%20%7B12%20-%20x%7D%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%28x%20+%2024%29%5E2%20%7D%7D% 20-%203%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20-%206%20=%200%7B%5Crm%7B%20%28*%29%7D%7D%20%5C%5C%5 Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :
(*)[Only registered and activated users can see links] %7B%28x%20+%2024%29%5E2%20%7D%7D%20+%204%5Csqrt%5B 3%5D%7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20=%200%5CLeftrightarro w%20x%20=%20-%2024,x%20=%20-%2088 thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.
Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 5: Giải phương trình :
[Only registered and activated users can see links] %20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B2x%20+%201%7D%7D%20=%20%5Cs qrt%5B3%5D%7B%7B2x%5E2%20%7D%7D%20+%5Csqrt%5B3%5D% 7B%7B2x%5E2%20+%201%7D%7D.
Giải: Do [Only registered and activated users can see links] nên [Only registered and activated users can see links] eftrightarrow%20x%20%5Cge%20-%201.
Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu [Only registered and activated users can see links] %20=%202x%20+%201%5CLeftrightarrow%202x%5E2%20+%20 1%20=%202x%20+%202 (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số [Only registered and activated users can see links] %20-%202x%20-%201.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 5D%7B%7B2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%2 0+%201%7D%7D%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%20+%202%7D %7D%29%20+%20%28%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B2%7B%5Crm%7Bx% 7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20%7D%7D%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%20+%201%7D %7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] %5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20-%202x%20-1%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%282%7B%5Crm%7Bx% 7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20+%201%29%5E2%20%7D%7D %20+%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%282%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E% 7B%5Crm%7B2%7D%7D%20+%201%29%282x%20+%202%29%7D%7D %20+%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B%282x%7D%7D% 20+2%29%5E2%20%7D%7D%7D%7D%20+
[Only registered and activated users can see links] 5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20-%202x%20-1%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B4x%7D% 7D%5E%7B%5Crm%7B4%7D%7D%20%7D%7D%20+%20%5Csqrt%5B3 %5D%7B%7B2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D% 282x%20+%201%29%7D%7D%20+%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7 B%5Crm%7B%282x%7D%7D%20+%201%29%5E2%20%7D%7D%7D%7D %20=%200
[Only registered and activated users can see links] 7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20-%202x%20-%201%20=%200 (do [Only registered and activated users can see links] nên khi đặt [Only registered and activated users can see links] %20-%202x%20-%201 làm thừa số thì biểu thức trong dấu (.) luôn dương ).
[Only registered and activated users can see links] B%7B1%20%5Cpm%20%5Csqrt%203%20%7D%7D%7B2%7D là nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý : Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét (*), từ đó ta mới định hướng
tìm cách phân tích ra thừa số [Only registered and activated users can see links] %20-%202x%20-%201. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử chung không còn đơn giản vậy nữa.
Ví dụ 8: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links]
Giải:
Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links]ô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được [Only registered and activated users can see links] 7Dx_1%20x_2%20=%20-%207 ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức [Only registered and activated users can see links] nên ta biến đổi như sau:
Phương trình [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] x%5E2%20-%202x+%202%7D%20+%203%7D%7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] pm%5Csqrt%207 là nghiệm của phương trình.
Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số [Only registered and activated users can see links] ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác như sau:
Cách 2: Vì [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm phương trình nên.
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 2%20-%202x%20+%202%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%20x% 20-%201%7D%7D%7B%7Bx%20+2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 2%20-%202x%20+%202%7D%20-%203%20=%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%20x%20-%201%7D%7D%7B%7Bx+%202%7D%7D%20-%203
[Only registered and activated users can see links] 2%20-%202x%20-%207%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%202x%20+%202%7D%20+%203%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7Bx%5 E2%20-%202x%20-%207%7D%7D%7B%7Bx%20+%202%7D%7D%20%5CLeftrightarro w%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%5E2%2 0-%202x%20-%207%20=%200%20%5C%5C%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%202x%20+%202%7D%20=%20x%20-%201%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%28*%29%20%5C%5C%5Cend%7Ba rray%7D%20%5Cright.
Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links]
2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là [Only registered and activated users can see links] thì ta là thế nào ?.
Trước hết ta thêm một lượng [Only registered and activated users can see links] vào hai vế:
[Only registered and activated users can see links] 0x%20-%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%202%7D%7D%20-%28mx%20+%20n%29
[Only registered and activated users can see links] %20-%20m%5E2%20%29x%5E2%20-%202%281%20+%20mn%29x%20+%202%20-%20n%5E2%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%202x%20+%202%7D%20+%20mx%20+%20n%7D%7D%20=
[Only registered and activated users can see links]
Ta chọn m,n sao cho: [Only registered and activated users can see links] %7D%7B%7B2m%20+%20n%20-%201%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7Bn%5E2%20-%202%7D%7D%7B%7B2n%20+%201%7D%7D, từ đây ta có: [Only registered and activated users can see links]
3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung [Only registered and activated users can see links] Tuy nhiên cách thứ 2 sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.
Ví dụ 9: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Ta thấy [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm của phương trình nên ta có:
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 3%20+%206x%5E2%20-%202x%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20=%20%5Csqrt%20%7Bx%5E3+%203%7D. Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta tìm được [Only registered and activated users can see links] do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng [Only registered and activated users can see links]
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 3%20+%206x%5E2%20-%202x%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20-%202x%20=%20%5Csqrt%7Bx%5E3%20+%203%7D%20-%202x
[Only registered and activated users can see links] 3%20-%204x%5E2%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20=%20%5Csqrt%20%7Bx%5E3%20+%203%7D-%202x (1).
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 0=%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbe gin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%5Cle%200%20%5C%5C%20x%5E 3%20-%204x%5E2%20+%203%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barra y%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cle%200%20%5C%5C %20%28x%20-%201%29%28x%5E2%20-3x%20-%203%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5C right.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cfrac%7B%7B 3%20-%5Csqrt%20%7B21%7D%20%7D%7D%7B2%7D.
Khi đó (1) đúng [Only registered and activated users can see links] 3%20-%20%5Csqrt%20%7B21%7D%20%7D%7D%7B2%7D là một nghiệm của phương trình.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] row%20%281%29%20%5CLeftrightarrow%5Cfrac%7B%7Bx%5E 3%20-%204x%5E2%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E3%20-%204x%5E2%20+%203%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx%5E3%20+%2 03%7D%20+%202x%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%5E3%20-%204x%5E2%20+%203%20=%200%7B%5Crm%7B%28a%29%7D%7D% 20%5C%5C%20%5Csqrt%20%7Bx%5E3%20+%203%7D%20+%202x% 20=%205x%20-%201%7B%5Crm%7B%20%28b%29%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend% 7Barray%7D%5Cright.
Ta có: (a) có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] 7B21%7D%20%7D%7D%7B2%7D
(b) [Only registered and activated users can see links] 3%20+%203%7D%20=%203x%20-%201%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7 Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cge%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3% 7D%20%5C%5C%20x%5E3%20-%209x%5E2%20+%206x%20+%202%20=%200%20%5C%5C%5Cend% 7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cge%20%5Cfrac%7B 1%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%28x%20-1%29%28x%5E2%20-%208x%20-%202%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5C right.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7B array%7D%7Bl%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20x%20=%204%2 0+%203%5Csqrt%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20% 5Cright..
Vậy phương trình có bốn nghiệm: [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B%7B3%20%5Cpm%20%5Csqrt%20%7B21%7D%20%7D%7D %7B2%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dx%20=%204%20+3%5Csqrt% 202.
Chú ý : Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu thức đó có luôn khác không hay không ?
Ví dụ 10: Giải phương trình:
[Only registered and activated users can see links] 5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%2012%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%20+%2020%7D.
Giải: Đk : [Only registered and activated users can see links] 20x%20%5Cle%202%20%5C%5C%20x%20%5Cge%2010%20%5C%5C %20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright..
Đặt : [Only registered and activated users can see links] qrt%20%7Bx%5E2%20-%2012%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%20+%2020%7D%5CRightarrow%2 02a%20-%20b%20=%20x (I)
Ta thấy phương trình có nghiệm [Only registered and activated users can see links] biến đổi như sau:
[Only registered and activated users can see links] 7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%207x%20+%2010%7D%20-%20%28x%20+%201%29%7D%20%5Cright%29=%20%5Csqrt%20% 7Bx%5E2%20-%2012x%20+%2020%7D%20-%20%28x%20+%202%29
[Only registered and activated users can see links] %7B%7B%20-%2016%28x%20-%201%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%2012x%20+%2020%7D%20+%20x%20+%202%7D%7D
(Vì hai pt: [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm ). [Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20%5Cf rac%7B9%7D%7B%7Ba%20+%20x%20+1%7D%7D%20=%20%5Cfrac %7B8%7D%7B%7Bb%20+%20x%20+%202%7D%7D%7B%5Crm%7B%20 %28%7D%7D%7B%5Cbf%7BI%7D%7D%7B%5Crm%7BI%29%7D%7D%2 0%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright..
Kết hợp (I) và (II) ta có hệ : [Only registered and activated users can see links] 7D%202a%20-%20b%20=%20x%20%5C%5C%208a%20-%209b%20=%20x%20+%2010%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%2 0%5Cright.%20%5CRightarrow%205a%20=%204x%20-%205
[Only registered and activated users can see links] E2%20-%207x%20+%2010%7D%20=%204x%20-%205%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7 Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cge%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4% 7D%20%5C%5C%20x%5E2%20-%2015x%20+%2025%20=%200%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D% 20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cfrac% 7B%7B15%20%5Cpm%205%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D.
Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm [Only registered and activated users can see links] 05%20%7D%7D%7B2%7D thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] 05%20%7D%7D%7B2%7D.
Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20+%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%204%7D%7D%7D%20+%20x%5E2 %20-%204%20%5Cle%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx%5E2 %20+%201%7D%20%7D%7D.
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Bất phương trình [Only registered and activated users can see links] %5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%20x%20+%201%7D %7D%7B%7Bx%20+%204%7D%7D%7D%20-%201%7D%5Cright%29%20+%20x%5E2%20-%203%20%5Cle%20%5Cfrac%7B%7B2%20-%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%20%7D%7D%7B%7B%5C sqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] frac%7B%7Bx%5E2%20+%20x%20+%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%2 04%7D%7D%20-%201%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%2 0x%20+%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%204%7D%7D%7D%20+%201%7 D%7D%20+%20x%5E2%20-%203%20%5Cle%20%5Cfrac%7B%7B4%20-%20%28x%5E2%20+1%29%7D%7D%7B%7B%282%20+%20%5Csqrt% 20%7Bx%5E2%20+%201%7D%20%29%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+% 201%7D%20%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] x%5E2%20-%203%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B%28x%20+%204%29%28 x%5E2%20+%20x%20+%201%29%7D%20+x%20+%204%7D%7D%20+ %20x%5E2%20-%203%20+%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20-%203%7D%7D%7B%7B%282%20+%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+% 201%7D%20%29%5Csqrt%20%7Bx%5E2+%201%7D%20%7D%7D%20 %5Cle%200
[Only registered and activated users can see links] %20%7B%28x%20+%204%29%28x%5E2%20+%20x%20+1%29%7D%2 0+%20x%20+%204%7D%7D%20+%201%20+%20%5Cfrac%7B1%7D% 7B%7B%282%20+%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%20%2 9%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%7D%7D%7D%20%5Cright %5D%20%5Cle%200
[Only registered and activated users can see links]
Kết hợp điều kiện [Only registered and activated users can see links]ệm bất phương trình : [Only registered and activated users can see links]
VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập
Giải các phương trình sau:
1) [Only registered and activated users can see links]
2) [Only registered and activated users can see links]
3) [Only registered and activated users can see links]
4) [Only registered and activated users can see links] 204%7D%7D
5) [Only registered and activated users can see links] 5E%7B%5Crm%7B3%7D%7D%20%20-%202%7D%20%20+%202%20=3%7B%5Crm%7Bx%7D%7D.
6) [Only registered and activated users can see links]
7) ) [Only registered and activated users can see links] 04%7D%7D
8) [Only registered and activated users can see links] 203
9) [Only registered and activated users can see links]
10) [Only registered and activated users can see links] 20-%20x%5E8%20%7D%7D%20-%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%5E%7B%5 Crm%7B8%7D%7D%20%20-%201%7D%7D%20=1
11) [Only registered and activated users can see links]
12) [Only registered and activated users can see links]
13) [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ mở dầu : Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] 7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%20%5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt% 20%7B1%20-%20x%7D .
Lời giải: Đk: [Only registered and activated users can see links]
Để giải phương trình này thì rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ căn thức. Có những cách nào để loại bỏ căn thức ? Điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bình phương hai vế ta thu được phương trình tương đương.
[Only registered and activated users can see links] %28%20%7B1%20+%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7 Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20%7D%5Cright%29%5E2%7D%20=%20%7 B%5Cleft%28%20%7B%5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt%20%7B1% 20-%20x%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D
[Only registered and activated users can see links] B4%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%28x% 20-%7Bx%5E2%7D%29%20=%201%20+%202%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] rt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20%5Cleft%28%20%7B2%5Csqrt%20%7B x%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20-%203%7D%5Cright%29%20=%200 (I)
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%200%20%5C%5C%5Csqrt%20%7Bx%2 0-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5 C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%5CLeftrighta rrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20=%2 00;x%20=%201%20%5C%5C%20V%7BN_0%7D%20%5C%5C%5Cend% 7Bmatrix%7D%20%5Cright..
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình: [Only registered and activated users can see links]
Qua lời giải trên ta thấy được [Only registered and activated users can see links]ẽ biểu diến được qua [Only registered and activated users can see links] nhờ vào đẳng thức [Only registered and activated users can see links] sqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D%20=%201%20+%202 %5Csqrt%20%7Bx%20-%7Bx%5E2%7D%7D (*) .Cụ thể nếu ta đặt [Only registered and activated users can see links] %20-%20x%7D thì [Only registered and activated users can see links] 0-%201%7D%7D%7B2%7D và khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn là t: [Only registered and activated users can see links] Bt%5E2%7D%20-%203t%20+%202%20=%200%5CLeftrightarrow%20t%20=%201 ;t%20=%202.
Vậy ta có: [Only registered and activated users can see links] 5Csqrt%20x%20+%20%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20=%201%20%5C%5C%20%5Csqrt%20x%20+%5Csqrt% 20%7B1%20-%20x%7D%20=%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5 Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7 Bmatrix%7D%202%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%200%20%5C%5C%20V%7BN_0%7D%7B %5Crm%7B%20%7D%7D%28VT%20%3C%202%29%20%5C%5C%5Cend %7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%2 0=%200;x%20=%201.
Việc thay thế biểu thức [Only registered and activated users can see links] bằng một ẩn mới là t (mà ta gọi là ẩn phụ) là một suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( chúng ta nhớ lại là chúng ta đang tìm cách làm mất căn thức ! và mục đích của việc này chẳng qua là làm cho phương trình có hình thức đơn giản hơn giúp chúng ta dễ dàng tìm được lời giải). Cách làm như thế này ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày, chẳng hạn khi đi xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta có thể đổi qua đô la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng như việc chuyển đổi tiền ở trên, để làm mất căn thức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao cho phương trình ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trình ban đầu. Đặt biểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất, bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở ? Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của các biểu thức tham gia trong phương trình như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ đó là đẳng thức (*). Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình chẳng hạn ở phương trình trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trình: [Only registered and activated users can see links] 5Cright%29%5E2%7D%20+%20%7B%5Cleft%28%20%7B%5Csqrt %20%7B1%20-%20x%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%7D=%20x%20+%201%20-%20x%20=%201 (**) mà từ phương trình ta rút được một căn thức qua căn thức còn lại: [Only registered and activated users can see links] 20%7B1%20-%20x%7D%20-%203%7D%7D%7B%7B2%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20-%203%7D%7D. Do đó nếu đặt [Only registered and activated users can see links] c%7B%7B3t%20-%203%7D%7D%7B%7B2t%20-%203%7D%7D thay vào (**) và biến đổi ta thu được phương trình: [Only registered and activated users can see links] 0=%200,t%20=%201 hay \[x = 0,x = 1\] là nghiệm của phương trình.
Phương trình đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời hai căn thức thỏa mãn (**) do vậy nếu ta đặt [Only registered and activated users can see links] 0%7B1%20-%20x%7D, khi đó a và b được ràng buộc bởi hai điều kiện (PT) đó là phương trình ban đâu và đẳng thức (**). Tức là ta có hệ phương trình: [Only registered and activated users can see links] %20+%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dab%20=%20a%20+%20b%20% 5C%5C%20%7Ba%5E2%7D%20+%20%7Bb%5E2%7D%20=1%20%5C%5 C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta được nghiệm của phương trình là [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] Bản chất cách giải này chính là cách đặt ẩn phụ [Only registered and activated users can see links] mà ta đã giải ở trên .
Tiếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ? Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác: [Only registered and activated users can see links] cos%20%5E2%7D%5Calpha%20=%201. Điều này dẫn đến cách giải sau:
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20%7D%7Dt%20%5Cin%20%5B0;%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B 2%7D%7B%5Crm%7B%5D%7D%7D (Điều này hoàn toàn hợp lí vì [Only registered and activated users can see links] ). Khi đó phương trình đã cho trở thành: [Only registered and activated users can see links] %5Ccos%20t%20=%20%5Csin%20t%20+%20%5Ccos%20t
[Only registered and activated users can see links] sin%20t%20-%203%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20%5Csin%20t%20=%201%20%5CRightar row%20x%20=%201%5C%5C%203%5Csqrt%20%7B1%20-%20%5Csin%20t%7D%20=%20%283%20-%202%5Csin%20t%29%5Csqrt%20%7B1%20+%20%5Csin%20t%7 D%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20%5Csin%20t %284%7B%5Csin%20%5E2%7Dt%20-6%5Csin%20t%20+%208%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7 Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cle ft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20x %20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. .
Tiếp tục phân tích ta thấy từ (I) ta có VT của phương trình luôn nhỏ hơn VP của phương trình ( Vì [Only registered and activated users can see links]) dó đó ta nghĩ đến cách đánh giá [Only registered and activated users can see links] (Khi đánh giá ta lưu ý rằng đẳng thức có khi [Only registered and activated users can see links]). Ta có cách đánh giá như sau:
[Only registered and activated users can see links] Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20=%201%20+%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3 %7D%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt% 20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 7D%5Csqrt%20%7Bx%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%28x% 20-%20%7Bx%5E2%7D%29.
( Do [Only registered and activated users can see links] 5CRightarrow%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7Bx %20-%7Bx%5E2%7D%7D%20%5Cge%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%28x %20-%20%7Bx%5E2%7D%29%20%5Cge%20%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D% 28x%20-%20%7Bx%5E2%7D%29 )
[Only registered and activated users can see links] 20%7B%281%20+%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Csqrt%20%7B x%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20%29%5E2%7D%20=V%7BT%5E2%7D%20% 5CRightarrow%20VP%20%5Cge%20VT.
Đẳng thức có [Only registered and activated users can see links] %200;x%20=%201.
Qua ví dụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. Mọi phương pháp đều chung một mục đích đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình mà ta đã biết cách giải. Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng phương pháp cụ thể.
Trước khi đi vào ví dụ 2 các bạn cần nắm một số kiến thức cơ bản về căn bậc hai
1) Định nghĩa: Cho số thực [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bcases%7D%20x%5Cgeq%200%20%5C%5C%20x%5E2=a%2 0%5Cend%7Bcases%7D.
Từ định nghĩa thì chúng ta cần lưu ý: [Only registered and activated users can see links] tồn tại khi và chỉ khi [Only registered and activated users can see links]
2) Tính chất: Phép toán để giải thoát căn thức
i) Với mọi [Only registered and activated users can see links] ta luôn có: [Only registered and activated users can see links]
ii) Với mọi số thực [Only registered and activated users can see links] ta luôn có: [Only registered and activated users can see links]
Vì sao chúng ta cần nắm tốt những tính chất trên? Vì khi làm việc với một đối tượng nào đó thì trước hết ta phải xét xem là đối tượng đó có tồn tại hay không đã và cách giải thoát nó như thế nào?
Từ hai tính chất trên cho chúng ta hai cách để giải thoát căn thức đó là tạo ra bình phương trong căn hoặc bình phương ngoài căn. Tóm lại phép toán để giải thoát căn thức là phép bình phương (với căn bậc n thì phép giải thoát là phép lũy thừa n).Vậy các bạn phải nắm được các phép biến đổi lũy thừa.
) Nếu [Only registered and activated users can see links] cùng dấu thì [Only registered and activated users can see links]
ii) Nếu [Only registered and activated users can see links] thì ta có [Only registered and activated users can see links] 5Cgeq%20b%5E2.
Xin tiếp tục bằng ví dụ sau được trích trong đề thi ĐH khối A-2003.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: [Only registered and activated users can see links]
Dĩ nhiên với bài toán nayd thì trước hết ta phải đặt điều kiện cho các căn thức tôn tại. Không mấy khó khăn ta có được điều kiện là [Only registered and activated users can see links]
Khi đó quy đồng mẫu số (các bạn nghĩ xem vì sao ta quy đồng được?) ta được:
[Only registered and activated users can see links] (2).
Đến đây để giải thoát căn thức ta đi bình phương hai vế. Tuy nhiên để bình phương hai vế ta cần có điều kiện hai vế cùng không âm. Dễ thấy VT(2) luôn không âm, còn VP(2)? thì nhận cả giá trị dương lẫn âm. Vậy phải làm thế nào? Dĩ nhiên là ta đi chia hai trường hợp.
* [Only registered and activated users can see links] khi đó [Only registered and activated users can see links] %5CRightarrow%20%20%282%29 luôn đúng.
* [Only registered and activated users can see links] khi đó cả hai vế của (2) đều không âm nên bình phương hai vế, ta được
[Only registered and activated users can see links]
Vậy nghiệm của BPT đã cho là: [Only registered and activated users can see links]
Một điều chúng ta cần lưu ý thêm nữa là khái niệm nghiệm của PT? Có thể đây là khái niệm mà nhiều HS lơ là qua! Tôi thiết nghĩ làm việc gì cúng vậy, nếu ta không hiểu rõ đối tượng đang nghiên cứu được xây dựng như thế nào thì thật khó để chúng ta giải quyết tốt vấn đề đó.
Xin nhắc lại định nghĩa nghiệm của PT
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] xác định trên [Only registered and activated users can see links] .
Ta biết [Only registered and activated users can see links] là nghiệm phương trình [Only registered and activated users can see links] 5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x_0%20 %5Cin%7B%5Crm%7BD%7D%7D_%7B%5Crm%7Bf%7D%7D%20%5C%5 C%20f%28x_0%20%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barra y%7D%20%5Cright..
Mà theo định lí Bơzu nếu [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của đa thức [Only registered and activated users can see links] thì
[Only registered and activated users can see links] . Từ đây ta có nhận xét:
Nếu [Only registered and activated users can see links] là một nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] thì ta có thể đưa phương trình [Only registered and activated users can see links] về dạng [Only registered and activated users can see links]à khi đó việc giải phương trình [Only registered and activated users can see links] về giải phương trình [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 3: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2-x%7D%7D=2.
[Only registered and activated users can see links]
Số lượt xem: 134
[Only registered and activated users can see links]
Trong phần này ta xét loại PT chứa hai hàm ngược của nhau
Trước đây trong diễn đây đã trao đổi về cách giải phương trình chứa hai hàm ngược nhau.
Cụ thể ở đây: [Only registered and activated users can see links]
Và ở đây:[Only registered and activated users can see links]
Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn một cách tiếp cận khác qua đó các bạn thấy được lời giải tự nhiên hơn và phát triển thêm một số bài khó hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] B%7B2x%20-%201%7D%7D .
Giải:
Đặt [Only registered and activated users can see links] %202%7B%5Crm%7Bx%7D%7D .
Vậy ta có hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20x%5E3%20+%201%20=%202y%20%5C%5C%20y%5E3%20 +%201%20=%202x%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%20%5Crigh t
. Trừ hai phương trình của hệ:
[Only registered and activated users can see links] =0%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20y
(Do [Only registered and activated users can see links] =%20%28x%20+%20%5Cfrac%7By%7D%7B2%7D%29%5E2%20+%20 %5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Dy%5E2%20+%202%20%3E%200 ) Thay vào hệ ta có:
[Only registered and activated users can see links] %202x%20%5CLeftrightarrow%20x%5E3%20-%202x%20+%201%20=%200%5CLeftrightarrow%20%28x%20-%201%29%28x%5E2%20+%20x%20-%201%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20x %20=%20%5Cfrac%7B%7B%20-%201%5Cpm%20%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D%20%5C%5C%2 0%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright .
Bình luận: Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không mấy khó khăn để giải bài toán này. Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát được dnagj phương trình trên như sau: * Dạng tổng quát bài toán trên: [Only registered and activated users can see links] t%29%5En%20+%20b%20=%20a%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Baf%28x %29%20-%20b%7D%7D (I)
Để giải phương trình này ta đặt [Only registered and activated users can see links] 5D%7B%7Baf%28x%29%20-%20b%7D%7D ta có hệ: [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20t%5E%7B%5Crm%7Bn%7D%7D%20+%20b%20=%20ay%20 %5C%5C%20y%5En%20+%20b%20=%20at%20%5C%5C%5Cend%7Ba rray%7D%20%5Cright . Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y.
* Từ dạng trên ta cho [Only registered and activated users can see links] bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta có được những phương trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau. Do đó khi gặp phương trình chứa hai hàm ngược nhau ta tìm cách biến đổi về dạng trên. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 2: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B%7Bx%20+%203%7D%7D%7B2%7D%7D
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
PT [Only registered and activated users can see links] 5E2%20-%202%20=%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%7B%28x%20+%201% 29%20+%202%7D%7D%7B2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 20-%201%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%20%7B%5Cfr ac%7B%7Bx%20+%201%7D%7D%7B2%7D+%201%7D%20%7B%5Crm% 7B%20%7D%7D
Đặt [Only registered and activated users can see links] 7B%5Cfrac%7B%7Bx%20+%201%7D%7D%7B2%7D%20+%201%7D%2 0=%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20+1%7D%20 %5CRightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7 D%7Bl%7D%20y%5E2%20-%201%20=%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20y%20%5 Cge0%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright .
Ta có hệ : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20t%5E2%20-%201%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dy%20%5C%5C%20y%5E2 %20-%201%20=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20%5Cend%7 Barray%7D%20%5Cright
[Only registered and activated users can see links] %20=%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5Bt%20=%20y %20%5C%5C%20y%20=%20-%20t%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
* [Only registered and activated users can see links] ft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20t%5E2%20-%201%20=%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20t%20=%20y %20%5Cge%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Crig ht.%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7B array%7D%7Bl%7D%202t%5E2%20-%20t%20-%202%20=%200%20%5C%5C%20t%20%5Cge%200%20%5C%5C%20% 5Cend%7Barray%7D
[Only registered and activated users can see links] B%7B1%20+%20%5Csqrt%20%7B17%7D%20%7D%7D%7B4%7D%20% 5CLeftrightarrow%20x%20=%5Cfrac%7B%7B%20-%203%20+%20%5Csqrt%20%7B17%7D%20%7D%7D%7B4%7D (thỏa [Only registered and activated users can see links] ).
* [Only registered and activated users can see links] %5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20%28t%20+%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E2%20-%201%20=%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20t%20%5 Cle%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray %7D%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%2 0%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%204t%5E2%20+%202t%20-%203%20=%200%20%5C%5Ct%20%5Cle%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray %7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] B%7B%20-%201%20-%20%5Csqrt%20%7B13%7D%20%7D%7D%7B4%7D%20%5CLeftrig htarrowx%20=%20%5Cfrac%7B%7B%20-%205%20-%20%5Csqrt%20%7B13%7D%20%7D%7D%7B4%7D (thỏa đk [Only registered and activated users can see links]).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] =%20%5Cfrac%7B%7B%20-%205%20-%20%5Csqrt%20%7B13%7D%7D%7D%7B4%7D .
Ví dụ 3: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] %7D%20=%201000
Giải: ĐK: [Only registered and activated users can see links]
PT [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] +%208000x%7D%20;%20v%20%5Cge%200,u%20%5Cge%20-%5Cfrac%7B%7B4001%7D%7D%7B%7B4000%7D%7D
Ta có hệ phương trình: [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E2%20-%204001%20=%204000v%20%5C%5C%20v%5E2%20-%204001%20=%204000u%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5 Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cb egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20u%5E2%20-4001%20=%204000v%20%5C%5C%20u%5E2%20-%20v%5E2%20=%204000%28v%20-%20u%29%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20u%5E2%20-%204001%20=%204000v%7B%5Crm%7B%281%29%20%7D%7D%20% 5C%5C%20%28u%20-%20v%29%28u%20+%20v%20+%204000%29%7B%5Crm%7B%20%28 2%29%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright . . Do [Only registered and activated users can see links] nên Từ (2) ta có: [Only registered and activated users can see links] thay vào (1) ta được: [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E2%20-%204000u%20-%204001%20=%200%20%5C%5C%20u%20%5Cge%200%20%5C%5C% 5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] CLeftrightarrow%20x%20=%202000 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: [Only registered and activated users can see links]
Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức thì ta vẫn giải phương trình bằng cách làm tương tự như trên.
Ví dụ 4: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] %7D%20+%207x%20+%201%20=%202%5Csqrt%20%7Bx%20+%202 %7D .
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 5E2%20+%203x%20=%202%5Csqrt%20%7B2%282x%20+%201%29 %20-%203x%7D.
Đặt [Only registered and activated users can see links] %7B2t%20-%203x%7D%20%5CRightarrow%20y%5E2%20+%203x%20=%202t và [Only registered and activated users can see links]
Ta có : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20t%5E2%20+%203x%20=%202y%20%5C%5C%20y%5E2%2 0+%203x%20=%202t%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%20%5Cri ght.%20%5CRightarrow%20%28t%20-%20y%29%28t%20+%20y%20+%202%29%20=%200%20%5CLeftri ghtarrow%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20 y%20=%20t%20%5C%5C%20y%20=%20-%20t%20-%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright. .
* [Only registered and activated users can see links] ft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20t%5E2%20-%202t%20+%203x%20=%200%20%5C%5Ct%20%5Cge%200%20%5C %5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftright arrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20 4x%5E2%20+%203x%20-%201%20=%200%20%5C%5C%20x%20%5Cge%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D %20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cfrac %7B1%7D%7B4%7D .
* [Only registered and activated users can see links] array%7D%7Bl%7D%20t%5E2%20+%203x%20+%202%28t%20+2% 29%20=%200%20%5C%5C%20t%20%5Cle%20-%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5 CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D %7Bl%7D%204x%5E2%20+%2011x%20+%207%20=%200%20%5C%5 C%20x%20%5Cle%20-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D %20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20-%20%5Cfrac%7B7%7D%7B4%7D. Vậy phương trình có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] 4%7D .
Ví dụ 5: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bx%281%20+%203x%20-%203x%5E2%20%29%7D%7D
Giải: Ta thấy [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho [Only registered and activated users can see links] ta được:
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B8%7D%7B%7Bx%5E3%20%7D%7D%20=2%5Csqrt%5B 3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bx%5E2%20%7D%7D%20+%2 0%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%7D%20-%203%7D%7D .
Đặt [Only registered and activated users can see links] 20+%203t%20-%203%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] .
Đặt [Only registered and activated users can see links] %7B2%282t%20-%201%29%20+%20t%5E2%20-%20t%20-%201%7D%7D , ta có hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E3%20-%20t%5E2%20+%20t%20+%201%20=%202v%20%5C%5C%20v%5E3 %20-%20t%5E2%20+%20t%20+1%20=%202u%20%5C%5C%20%5Cend%7 Barray%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20u%5E3%20-%20v%5E3%20=%202v%20-%202u
[Only registered and activated users can see links] =%200
[Only registered and activated users can see links] ftrightarrow%202t%20-%201%20=%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bt%5E2%20+%203t%20-3%7D%7D%20%5CLeftrightarrow%208t%5E3%20-%2013t%5E2%20+%203t%20+%202%20=%200
[Only registered and activated users can see links] Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20t%20=%201%20%5C%5C%208t %5E2%20-%205t%20-%202%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Crig ht.%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barr ay%7D%7Bl%7D%20t%20=%201%20%5C%5C%20t%20=%20%5Cfra c%7B%7B5%20%5Cpm%5Csqrt%20%7B89%7D%20%7D%7D%7B%7B1 6%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: [Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B%7B16%7D%7D%7B%7B5%20%5Cpm%20%5Csqrt%20 %7B89%7D%20%7D%7D .
Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa [Only registered and activated users can see links] Vậy nếu thay a bằng một biểu thức chứa [Only registered and activated users can see links] thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 6: Giải phương trình :[Only registered and activated users can see links] .
Giải: PT [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] %20-%201%29%282x%20-%203%29%20-%20x%20-%201%7D , Ta có hệ phương trình : [Only registered and activated users can see links] Bl%7D%20u%5E2%20+%20x%20+%201%20=%20%28x%20-%201%29v%20%5C%5C%20v%5E2%20+%20x%20+%201%20=%20%2 8x-%201%29u%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links]
* [Only registered and activated users can see links] %20x%20+%201%20=%20%28x%20-%201%29u%20%5CLeftrightarrow%20%282x%20-%203%29%5E2+%20x%20+%201%20=%20%28x%20-%201%29%282x%20-%203%29
[Only registered and activated users can see links] phương trình vô nghiệm.
* [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] E2%20-%206x%20+%202%7D%20=%204%20-%203x%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Ba rray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cle%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D %20%5C%5C%207x%5E2%20-%2018x%20+%2014%20=%200%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D% 20%5Cright. hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Tiếp theo là phép liên hợp
Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp
Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] xác định trên [Only registered and activated users can see links] .
Ta biết [Only registered and activated users can see links] là nghiệm phương trình [Only registered and activated users can see links] 5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x_0%20 %5Cin%7B%5Crm%7BD%7D%7D_%7B%5Crm%7Bf%7D%7D%20%5C%5 C%20f%28x_0%20%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barra y%7D%20%5Cright..
Mà theo định lí Bơzu nếu [Only registered and activated users can see links] là nghiệm của đa thức [Only registered and activated users can see links] thì
[Only registered and activated users can see links] . Từ đây ta có nhận xét:
Nếu [Only registered and activated users can see links] là một nghiệm của phương trình [Only registered and activated users can see links] thì ta có thể đưa phương trình [Only registered and activated users can see links] về dạng [Only registered and activated users can see links]à khi đó việc giải phương trình [Only registered and activated users can see links] về giải phương trình [Only registered and activated users can see links] Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] 6%7D (HVKTQS 2000).
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Ta thấy [Only registered and activated users can see links] là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến [Only registered and activated users can see links] vì khi đó [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: [Only registered and activated users can see links] nên ta biến đổi phương trình như sau: [Only registered and activated users can see links] vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích [Only registered and activated users can see links] thừa số [Only registered and activated users can see links] (Chú ý khi [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] %20%7Bx%20-%202%7D), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng [Only registered and activated users can see links]
điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : [Only registered and activated users can see links] nên ta biến đổi : [Only registered and activated users can see links] 06%7D%20-%203%5Csqrt%20%7Bx%20-2%7D%20%29%28%5Csqrt%20%7Bx%20+%206%7D%20+%203%5Cs qrt%20%7Bx%20-%202%7D%20%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%20+%206%7D %20+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-2%7D%20%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] +%206%7D%20-%203%5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B%20-%208%28x%20-3%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%20+%206%7D%20+%203% 5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20%7D%7D.
Suy ra phương trình [Only registered and activated users can see links] 0+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-2%7D%20%7D%7D%29%20=%200 đến đây ta chỉ cần giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] 0+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] +%206%7D%20+%203%5Csqrt%20%7Bx%20-%202%7D%20=%204%20%5CLeftrightarrowx%20=%20%5Cfrac %7B%7B11%20-%203%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:
[Only registered and activated users can see links]
hai biểu thức [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.
2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .
Ví dụ 2: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] (THTT).
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm [Only registered and activated users can see links] nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.
[Only registered and activated users can see links] 20-%202%7D%20-%201%20+%20%5Csqrt%20%7B4%20-%20x%7D%20-%201%20=%202x%5E2%20-%205x-%203
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%203%20%5C%5C%20%5Cf rac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx-%202%7D%20+%201%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B4%20-%20x%7D%20+%201%7D%7D%20=%202x%20+%201%7B%5Crm%7B% 20%28*%29%7D%7D%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%20%5Crig ht.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B4%20-%20x%7D+%201%7D%7D%20%5Cge%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B% 5Csqrt%202%20+%201%7D%7D%20=%20%5Csqrt%202%20-%201
[Only registered and activated users can see links]*%29%20%5Cle%202 %20-%20%5Csqrt%202.
Mặt khác [Only registered and activated users can see links]*%2 9%20=%202x%20+%201%20%5Cge%205%20%5CRightarrow%20% 28*%29 vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét : * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:
[Only registered and activated users can see links] (Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]).
* Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay [Only registered and activated users can see links] vào phương trình (*) thì [Only registered and activated users can see links] do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*).
Ví dụ 3: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] %5E2%20%7D%7D%7B%7B1%20+%20x%5E2%20%7D%7D (THTT).
Giải: Điều kiện: [Only registered and activated users can see links]
Ta thấy phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links] nên ta phân tích ra thừa số [Only registered and activated users can see links]
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 2%20%29%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20=%20%282x%20+%20x%5E2%20%29%5Csqrt%20x
[Only registered and activated users can see links] t%20%7B1%20-%20x%7D%20-%20%5Csqrt%20x%20%29%20+%20%28%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20-2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%20 %29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 2%20%281%20-%202%7B%5Crm%7Bx%29%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B 1%20-%20x%7D%20+%20%5Csqrtx%20%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7 B1%20-%20x%20-%204%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B3%7D%7D%20%7D% 7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20+2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Crm%7 Bx%7D%7D%20%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 2%20%281%20-%202%7B%5Crm%7Bx%29%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B 1%20-%20x%7D%20+%20%5Csqrtx%20%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7 B%7B%5Crm%7B%281%7D%7D%20-%20%7B%5Crm%7B2x%29%282x%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7 D%20+%20x%20+%201%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1-%20x%7D%20+%202%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Cr m%7Bx%7D%7D%20%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20+%5Csqrt%20x%20%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7 B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20+%20x% 20+%201%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B1%20-%20x%7D%20+2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5Csqrt%20%7B%5Crm%7 Bx%7D%7D%20%7D%7D%29%20=%200%20%5CLeftrightarrow%2 0x%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
(Do biểu thức trong dấu () >0).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 4: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links] %20%5Csqrt%20%7B12%20-%20x%7D%20=%206.
Giải: Điều kiện: [Only registered and activated users can see links]
Nhận thấy phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Phương trình [Only registered and activated users can see links] %7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20-%203%29%20+%20%28%5Csqrt%20%7B12%20-%20x%7D%20-%203%29%20=0
[Only registered and activated users can see links] 29%5E2%20%7D%7D%20+3%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bx%20+%2024 %7D%7D%20+%209%7D%7D%20+%20%5Cfrac%7B%7B3%20-%20x%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B12%20-%20x%7D%20+%203%7D%7D%20=%200
[Only registered and activated users can see links] 7D%20-3%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20-%206%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%203%20%5C%5C%20%5Cs qrt%20%7B12%20-%20x%7D%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%28x%20+%2024%29%5E2%20%7D%7D% 20-%203%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20-%206%20=%200%7B%5Crm%7B%20%28*%29%7D%7D%20%5C%5C%5 Cend%7Barray%7D%20%5Cright.
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :
(*)[Only registered and activated users can see links] %7B%28x%20+%2024%29%5E2%20%7D%7D%20+%204%5Csqrt%5B 3%5D%7B%7Bx%20+%2024%7D%7D%20=%200%5CLeftrightarro w%20x%20=%20-%2024,x%20=%20-%2088 thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.
Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 5: Giải phương trình :
[Only registered and activated users can see links] %20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B2x%20+%201%7D%7D%20=%20%5Cs qrt%5B3%5D%7B%7B2x%5E2%20%7D%7D%20+%5Csqrt%5B3%5D% 7B%7B2x%5E2%20+%201%7D%7D.
Giải: Do [Only registered and activated users can see links] nên [Only registered and activated users can see links] eftrightarrow%20x%20%5Cge%20-%201.
Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu [Only registered and activated users can see links] %20=%202x%20+%201%5CLeftrightarrow%202x%5E2%20+%20 1%20=%202x%20+%202 (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số [Only registered and activated users can see links] %20-%202x%20-%201.
Ta có: [Only registered and activated users can see links] 5D%7B%7B2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%2 0+%201%7D%7D%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%20+%202%7D %7D%29%20+%20%28%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B2%7B%5Crm%7Bx% 7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20%7D%7D%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%20+%201%7D %7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links] %5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20-%202x%20-1%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%282%7B%5Crm%7Bx% 7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20+%201%29%5E2%20%7D%7D %20+%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%282%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E% 7B%5Crm%7B2%7D%7D%20+%201%29%282x%20+%202%29%7D%7D %20+%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B%282x%7D%7D% 20+2%29%5E2%20%7D%7D%7D%7D%20+
[Only registered and activated users can see links] 5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20-%202x%20-1%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B4x%7D% 7D%5E%7B%5Crm%7B4%7D%7D%20%7D%7D%20+%20%5Csqrt%5B3 %5D%7B%7B2%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D% 282x%20+%201%29%7D%7D%20+%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7 B%5Crm%7B%282x%7D%7D%20+%201%29%5E2%20%7D%7D%7D%7D %20=%200
[Only registered and activated users can see links] 7D%5E%7B%5Crm%7B2%7D%7D%20-%202x%20-%201%20=%200 (do [Only registered and activated users can see links] nên khi đặt [Only registered and activated users can see links] %20-%202x%20-%201 làm thừa số thì biểu thức trong dấu (.) luôn dương ).
[Only registered and activated users can see links] B%7B1%20%5Cpm%20%5Csqrt%203%20%7D%7D%7B2%7D là nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý : Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét (*), từ đó ta mới định hướng
tìm cách phân tích ra thừa số [Only registered and activated users can see links] %20-%202x%20-%201. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử chung không còn đơn giản vậy nữa.
Ví dụ 8: Giải phương trình: [Only registered and activated users can see links]
Giải:
Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links]ô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được [Only registered and activated users can see links] 7Dx_1%20x_2%20=%20-%207 ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức [Only registered and activated users can see links] nên ta biến đổi như sau:
Phương trình [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] x%5E2%20-%202x+%202%7D%20+%203%7D%7D%29%20=%200
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] pm%5Csqrt%207 là nghiệm của phương trình.
Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số [Only registered and activated users can see links] ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác như sau:
Cách 2: Vì [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm phương trình nên.
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 2%20-%202x%20+%202%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%20x% 20-%201%7D%7D%7B%7Bx%20+2%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] 2%20-%202x%20+%202%7D%20-%203%20=%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%20x%20-%201%7D%7D%7B%7Bx+%202%7D%7D%20-%203
[Only registered and activated users can see links] 2%20-%202x%20-%207%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%202x%20+%202%7D%20+%203%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7Bx%5 E2%20-%202x%20-%207%7D%7D%7B%7Bx%20+%202%7D%7D%20%5CLeftrightarro w%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%5E2%2 0-%202x%20-%207%20=%200%20%5C%5C%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%202x%20+%202%7D%20=%20x%20-%201%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%28*%29%20%5C%5C%5Cend%7Ba rray%7D%20%5Cright.
Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links]
2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là [Only registered and activated users can see links] thì ta là thế nào ?.
Trước hết ta thêm một lượng [Only registered and activated users can see links] vào hai vế:
[Only registered and activated users can see links] 0x%20-%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%202%7D%7D%20-%28mx%20+%20n%29
[Only registered and activated users can see links] %20-%20m%5E2%20%29x%5E2%20-%202%281%20+%20mn%29x%20+%202%20-%20n%5E2%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%202x%20+%202%7D%20+%20mx%20+%20n%7D%7D%20=
[Only registered and activated users can see links]
Ta chọn m,n sao cho: [Only registered and activated users can see links] %7D%7B%7B2m%20+%20n%20-%201%7D%7D%20=%5Cfrac%7B%7Bn%5E2%20-%202%7D%7D%7B%7B2n%20+%201%7D%7D, từ đây ta có: [Only registered and activated users can see links]
3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung [Only registered and activated users can see links] Tuy nhiên cách thứ 2 sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.
Ví dụ 9: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Ta thấy [Only registered and activated users can see links] không là nghiệm của phương trình nên ta có:
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 3%20+%206x%5E2%20-%202x%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20=%20%5Csqrt%20%7Bx%5E3+%203%7D. Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta tìm được [Only registered and activated users can see links] do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng [Only registered and activated users can see links]
Phương trình [Only registered and activated users can see links] 3%20+%206x%5E2%20-%202x%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20-%202x%20=%20%5Csqrt%7Bx%5E3%20+%203%7D%20-%202x
[Only registered and activated users can see links] 3%20-%204x%5E2%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20=%20%5Csqrt%20%7Bx%5E3%20+%203%7D-%202x (1).
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 0=%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbe gin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%5Cle%200%20%5C%5C%20x%5E 3%20-%204x%5E2%20+%203%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barra y%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cle%200%20%5C%5C %20%28x%20-%201%29%28x%5E2%20-3x%20-%203%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5C right.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cfrac%7B%7B 3%20-%5Csqrt%20%7B21%7D%20%7D%7D%7B2%7D.
Khi đó (1) đúng [Only registered and activated users can see links] 3%20-%20%5Csqrt%20%7B21%7D%20%7D%7D%7B2%7D là một nghiệm của phương trình.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] row%20%281%29%20%5CLeftrightarrow%5Cfrac%7B%7Bx%5E 3%20-%204x%5E2%20+%203%7D%7D%7B%7B5x%20-%201%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E3%20-%204x%5E2%20+%203%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx%5E3%20+%2 03%7D%20+%202x%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%5E3%20-%204x%5E2%20+%203%20=%200%7B%5Crm%7B%28a%29%7D%7D% 20%5C%5C%20%5Csqrt%20%7Bx%5E3%20+%203%7D%20+%202x% 20=%205x%20-%201%7B%5Crm%7B%20%28b%29%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend% 7Barray%7D%5Cright.
Ta có: (a) có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] 7B21%7D%20%7D%7D%7B2%7D
(b) [Only registered and activated users can see links] 3%20+%203%7D%20=%203x%20-%201%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7 Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cge%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3% 7D%20%5C%5C%20x%5E3%20-%209x%5E2%20+%206x%20+%202%20=%200%20%5C%5C%5Cend% 7Barray%7D%20%5Cright.
[Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cge%20%5Cfrac%7B 1%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%28x%20-1%29%28x%5E2%20-%208x%20-%202%29%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5C right.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7B array%7D%7Bl%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20x%20=%204%2 0+%203%5Csqrt%202%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20% 5Cright..
Vậy phương trình có bốn nghiệm: [Only registered and activated users can see links] Cfrac%7B%7B3%20%5Cpm%20%5Csqrt%20%7B21%7D%20%7D%7D %7B2%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dx%20=%204%20+3%5Csqrt% 202.
Chú ý : Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu thức đó có luôn khác không hay không ?
Ví dụ 10: Giải phương trình:
[Only registered and activated users can see links] 5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%2012%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%20+%2020%7D.
Giải: Đk : [Only registered and activated users can see links] 20x%20%5Cle%202%20%5C%5C%20x%20%5Cge%2010%20%5C%5C %20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright..
Đặt : [Only registered and activated users can see links] qrt%20%7Bx%5E2%20-%2012%7B%5Crm%7Bx%7D%7D%20+%2020%7D%5CRightarrow%2 02a%20-%20b%20=%20x (I)
Ta thấy phương trình có nghiệm [Only registered and activated users can see links] biến đổi như sau:
[Only registered and activated users can see links] 7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%207x%20+%2010%7D%20-%20%28x%20+%201%29%7D%20%5Cright%29=%20%5Csqrt%20% 7Bx%5E2%20-%2012x%20+%2020%7D%20-%20%28x%20+%202%29
[Only registered and activated users can see links] %7B%7B%20-%2016%28x%20-%201%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20-%2012x%20+%2020%7D%20+%20x%20+%202%7D%7D
(Vì hai pt: [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm ). [Only registered and activated users can see links] egin%7Barray%7D%7Bl%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20%5Cf rac%7B9%7D%7B%7Ba%20+%20x%20+1%7D%7D%20=%20%5Cfrac %7B8%7D%7B%7Bb%20+%20x%20+%202%7D%7D%7B%5Crm%7B%20 %28%7D%7D%7B%5Cbf%7BI%7D%7D%7B%5Crm%7BI%29%7D%7D%2 0%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright..
Kết hợp (I) và (II) ta có hệ : [Only registered and activated users can see links] 7D%202a%20-%20b%20=%20x%20%5C%5C%208a%20-%209b%20=%20x%20+%2010%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%2 0%5Cright.%20%5CRightarrow%205a%20=%204x%20-%205
[Only registered and activated users can see links] E2%20-%207x%20+%2010%7D%20=%204x%20-%205%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7 Barray%7D%7Bl%7D%20x%20%5Cge%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4% 7D%20%5C%5C%20x%5E2%20-%2015x%20+%2025%20=%200%20%5C%5C%5Cend%7Barray%7D% 20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cfrac% 7B%7B15%20%5Cpm%205%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D.
Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm [Only registered and activated users can see links] 05%20%7D%7D%7B2%7D thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] 05%20%7D%7D%7B2%7D.
Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20+%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%204%7D%7D%7D%20+%20x%5E2 %20-%204%20%5Cle%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%7B%5Csqrt%7Bx%5E2 %20+%201%7D%20%7D%7D.
Giải: Điều kiện : [Only registered and activated users can see links]
Bất phương trình [Only registered and activated users can see links] %5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%20x%20+%201%7D %7D%7B%7Bx%20+%204%7D%7D%7D%20-%201%7D%5Cright%29%20+%20x%5E2%20-%203%20%5Cle%20%5Cfrac%7B%7B2%20-%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%20%7D%7D%7B%7B%5C sqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] frac%7B%7Bx%5E2%20+%20x%20+%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%2 04%7D%7D%20-%201%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20+%2 0x%20+%201%7D%7D%7B%7Bx%20+%204%7D%7D%7D%20+%201%7 D%7D%20+%20x%5E2%20-%203%20%5Cle%20%5Cfrac%7B%7B4%20-%20%28x%5E2%20+1%29%7D%7D%7B%7B%282%20+%20%5Csqrt% 20%7Bx%5E2%20+%201%7D%20%29%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+% 201%7D%20%7D%7D
[Only registered and activated users can see links] x%5E2%20-%203%29%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B%28x%20+%204%29%28 x%5E2%20+%20x%20+%201%29%7D%20+x%20+%204%7D%7D%20+ %20x%5E2%20-%203%20+%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E2%20-%203%7D%7D%7B%7B%282%20+%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+% 201%7D%20%29%5Csqrt%20%7Bx%5E2+%201%7D%20%7D%7D%20 %5Cle%200
[Only registered and activated users can see links] %20%7B%28x%20+%204%29%28x%5E2%20+%20x%20+1%29%7D%2 0+%20x%20+%204%7D%7D%20+%201%20+%20%5Cfrac%7B1%7D% 7B%7B%282%20+%20%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%20%2 9%5Csqrt%20%7Bx%5E2%20+%201%7D%7D%7D%7D%20%5Cright %5D%20%5Cle%200
[Only registered and activated users can see links]
Kết hợp điều kiện [Only registered and activated users can see links]ệm bất phương trình : [Only registered and activated users can see links]
VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập
Giải các phương trình sau:
1) [Only registered and activated users can see links]
2) [Only registered and activated users can see links]
3) [Only registered and activated users can see links]
4) [Only registered and activated users can see links] 204%7D%7D
5) [Only registered and activated users can see links] 5E%7B%5Crm%7B3%7D%7D%20%20-%202%7D%20%20+%202%20=3%7B%5Crm%7Bx%7D%7D.
6) [Only registered and activated users can see links]
7) ) [Only registered and activated users can see links] 04%7D%7D
8) [Only registered and activated users can see links] 203
9) [Only registered and activated users can see links]
10) [Only registered and activated users can see links] 20-%20x%5E8%20%7D%7D%20-%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7B%5Crm%7B2x%7D%7D%5E%7B%5 Crm%7B8%7D%7D%20%20-%201%7D%7D%20=1
11) [Only registered and activated users can see links]
12) [Only registered and activated users can see links]
13) [Only registered and activated users can see links]