ThanhTam
23-10-2009, 07:46 AM
Phương trình bậc ba
Trong bài trước chúng ta đã nghiên cứu một số vấn đề về phương trình bậc hai . Trong bài này chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba tổng quát
1. Phương trình có dạng: [Only registered and activated users can see links] %20+%20d%20=%200 (1), trong đó a, b, c, d là các số thực cho trước [Only registered and activated users can see links]
2. Cách giải: Bây giờ ta đi xét cách giải phương trình (1).
Vì [Only registered and activated users can see links] nên ta có thể chia hai vế của phương trình (1) cho a. Do vậy ta chỉ cần đi giải phương trình dạng : [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 (2) .
Đặt [Only registered and activated users can see links] khi đó (2) trở thành : [Only registered and activated users can see links] (3)
Trong đó: [Only registered and activated users can see links] B3%7D%20-%20b;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dq%20=%20%5Cfrac%7B%7B2%7B a%5E3%7D%20-%209ab%20+27c%7D%7D%7B%7B27%7D%7D.
Đặt [Only registered and activated users can see links] Để xét số nghiệm của (3), ta khảo sát sự tương giao của hàm số [Only registered and activated users can see links] với trục Ox.
Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại
· Một điểm [Only registered and activated users can see links]àm luôn đơn điệu hoặc [Only registered and activated users can see links] 200
· Hai điểm [Only registered and activated users can see links] %7Bf_%7BCT%7D%7D%20=%200
· Ba điểm [Only registered and activated users can see links] %7Bf_%7BCT%7D%7D%20%3C%200
Xét hàm số [Only registered and activated users can see links] , ta có: [Only registered and activated users can see links]
* Nếu [Only registered and activated users can see links] %29%20%5Cge%200%20%5CRightarrow%20f%28y%29 là hàm đồng biến [Only registered and activated users can see links] có một nghiệm.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 9%20=%200%20%5CLeftrightarrow%20y%20=%20%5Cpm%20%5 Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D và
[Only registered and activated users can see links] f%5Cleft%28%20%7B%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7 D%7D%20%7D%20%5Cright%29.f%5Cleft%28%20%7B-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%20%7D%20% 5Cright%29%20=%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27% 7D%7D.
Từ đây ta có các kết quả sau:
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 3%29 có nghiệm duy nhất. Để tìm nghiệm này ta làm như sau:
Đặt [Only registered and activated users can see links] khi đó (3) trở thành: [Only registered and activated users can see links] uv%20-%20p%29%28u%20+%20v%29%20+%20q%20=%200
Ta chọn u,v sao cho: [Only registered and activated users can see links] c%7Bp%7D%7B3%7D, lúc đó [Only registered and activated users can see links] ta có hệ:
[Only registered and activated users can see links] 7Bu%5E3%7D%7Bv%5E3%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B%7Bp%5E3% 7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20%5C%5C%20%7Bu%5E3%7D%20+% 7Bv%5E3%7D%20=%20-%20q%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20% 5CRightarrow%20%7Bu%5E3%7D,%7Bv%5E3%7Dlà nghiệm phương trình: [Only registered and activated users can see links] %7Bp%5E3%7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20=%200 (4)
(4) có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] B%7B27%7D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D;%20%7BX_1%7D%20=%5 Cfrac%7B%7B%20-%20q%20-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27%7 D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] %20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7BX_1%7D%7D%7D%20+%20%5Csq rt%5B3%5D%7B%7B%7BX_2%7D%7D%7D%20=%5Csqrt%5B3%5D%7 B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%20q%20+%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7 B%7B27%7D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20+%5Csqrt%5 B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%20q%20-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27%7 D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D (*)
Công thức (*) gọi là công thức Cardano.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] khi đó (3) có hai nghiệm, một nghiệm kép ([Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%7D%7D%7D hoặc [Only registered and activated users can see links] ) và một nghiệm đơn. Tức là: [Only registered and activated users can see links] =%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%7D%7 D%20%5C%5C%20y%20=%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B4q%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bm atrix%7D%20%5Cright.
hoặc [Only registered and activated users can see links] =%20-%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%7D%7D %20%5C%5C%20y%20=%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B4q%7D%7D%20%5 C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. (**).
* Nếu [Only registered and activated users can see links] khi đó (3) có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này nằm trong khoảng [Only registered and activated users can see links] qrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%20%29 . Để tìm ba nghiệm này ta đặt [Only registered and activated users can see links] %7D%7D%20%5Ccos%20t, với [Only registered and activated users can see links] ta đưa (3) về dạng: [Only registered and activated users can see links] (5), trong đó [Only registered and activated users can see links] qrt%20p%20%7D%7D.
Giải (5) ta được ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] %5Cleft%28%20%7B0;%5Cpi%20%7D%20%5Cright%29, từ đây suy ra ba nghiệm của phương trình (3) là :
[Only registered and activated users can see links] p%7D%7B3%7D%7D%20%5Ccos%20%7Bt_1%7D;%7B%5Crm%7B%20 %7D%7D%7By_2%7D%20=%202%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B 3%7D%7D%20%5Ccos%20%7Bt_2%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7D% 7By_3%7D%20=%202%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D %7D%20%5Ccos%7Bt_3%7D (***).
Chú ý : Trong một số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta đi tìm một nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức và chuyển phương trình đã cho về phương trình tích của một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Giải: Ta thấy phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links] (dùng MTBT) nên ta biến đổi phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20%5CLeftrightarrow%20x%20=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D.
Ví dụ 2: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Giải: Ta có: [Only registered and activated users can see links] nên phương
trình có duy nhất nghiệm:
[Only registered and activated users can see links] B%20-%20q%20+%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7 B%7B27%7D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20+%5Csqrt%5 B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%20q%20-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27%7 D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20=%5Csqrt%5B3%5D%7B %7B%5Cfrac%7B%7B%20-%201%20+%20%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20+%2 0%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%201%20-%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D.
Ví dụ 3: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] (1).
Giải:
Ta có: [Only registered and activated users can see links] nên phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng [Only registered and activated users can see links] Đặt [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links]
(2) trở thành: [Only registered and activated users can see links] 5Ccos%20%5E3%7Dt%20-%203%5Ccos%20t%20=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20=%20%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B3%7D%5CLeftrightarrow%20t%20=%20%5Cpm% 20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%20+%20k%5Cfrac%7B%7 B2%5Cpi%20%7D%7D%7B3%7D .
Vì [Only registered and activated users can see links] nên ta có: [Only registered and activated users can see links] 9%7D;%7Bt_2%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B7%5Cpi%20%7D%7D% 7B9%7D;%7Bt_3%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B5%5Cpi%7D%7D%7 B9%7D.
Vậy phương trình có ba nghiệm: [Only registered and activated users can see links] 7B9%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dx%20=%202%5Ccos%20%5Cfr ac%7B%7B5%5Cpi%20%7D%7D%7B9%7D;%7B%5Crm%7B%7D%7Dx% 20=%202%5Ccos%20%5Cfrac%7B%7B7%5Cpi%20%7D%7D%7B9%7 D.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
[Only registered and activated users can see links] (1).
Giải: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm [Only registered and activated users can see links]ên :
[Only registered and activated users can see links] Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20%7Bx%5E2 %7D%20-%202mx%20+%20m%20-%202%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright .
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt [Only registered and activated users can see links] Bx%5E2%7D%20-%202mx%20+%20m%20-%202 có hai nghiệm phân biệt khác 1 [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5CDelta%20%27%20=%20%7Bm%5E 2%7D%20-%20m%20+%202%20%3E%200%5C%5C%20f%281%29%20=%20-%20m%20-%201%20%5Cne%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20% 5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20m%20%5Cne-%201.
Vậy [Only registered and activated users can see links] là giá trị cần tìm.
Chú ý : Số nghiệm của PT : [Only registered and activated users can see links] 29%20=%200 phụ thuộc vào số nghiệm của tam thức: [Only registered and activated users can see links] %20c%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%28a%20%5Cne%200%29. Cụ thể
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20%3E%200%20%5C%5C%20f%28%5Calpha%20%29%20 %5Cne%200%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20%3E%200%20%5C%5C%20f%28%5Calpha%20%29%20 =%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright. thì phương trình có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7B%7Ba%5Calpha%20%7D%7D.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có nghiệm kép khác [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20=%200%20%5C%5C%20-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%7B2a%7D%7D%20%5Cne%20%5Calpha %20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.thì phương trình có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có nghiệm kép [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20=%200%20%5C%5C%20-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%7B2a%7D%7D%20=%20%5Calpha%20% 5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.thì phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links]
* Nếu [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm thì phương trình có đúng một nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt:
[Only registered and activated users can see links]
Giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
[Only registered and activated users can see links] (2)
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20f%28x%29%2 0=%202m%7Bx%5E2%7D%20-%20%281-%204m%29x%20-%204m%20+%202%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7 D%20%5Cright.
Yêu cầu bài toán [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt.
TH 1: [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm
bằng 1. Điều này có [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20m%20%5Cne%200%20%5C%5C%20%5C Delta%20=%2048%7Bm%5E2%7D-%2024m%20+%201%20%3E%200%20%5C%5C%20f%281%29%20=%2 02m%20+%201%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D% 20%5Cright.%5CLeftrightarrow%20m%20=%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.
TH 2: [Only registered and activated users can see links] có một nghiệm khác 1. Khi đó xảy ra hai khả năng
Khả năng 1: [Only registered and activated users can see links] %20%5Cne%200%20%5C%5C%20%5CDelta%20=%200%20%5C%5C% 20%5Cfrac%7B%7B1%20-4m%7D%7D%7B%7B4m%7D%7D%20%5Cne%201%20%5C%5C%20%5Ce nd%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20m %20=%20%5Cfrac%7B%7B3%5Cpm%20%5Csqrt%206%20%7D%7D% 7B%7B12%7D%7D.
Khả năng 2: [Only registered and activated users can see links] %20=%200%20%5C%5C%20f%281%29%20%5Cne%200%20%5C%5C% 20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%5CLeftrightarrow% 20m%20=%200.
Vậy các giá trị của m cần tìm là: [Only registered and activated users can see links] %200;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dm%20=%20%5Cfrac%7B%7B3%20 %5Cpm%20%5Csqrt%206%7D%7D%7B%7B12%7D%7D.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình : [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200;%20%5Cleft%28%20%7Ba%20%5Cne%200%7 D%20%5Cright%29 có 3 nghiệm [Only registered and activated users can see links] 7c%20+%202%7Ba%5E3%7D%20-%209ab%7D%20%5Cright%7C%20%5Cle%202%5Csqrt%7B%7B%7 B%5Cleft%28%20%7B%7Ba%5E2%7D%20-%203b%7D%20%5Cright%29%7D%5E3%7D%7D (1).
Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm. Ta chứng minh (1).
* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì [Only registered and activated users can see links] %29 đúng.
* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc ba nghiệm đó là phân biệt. Khi đó ta có: [Only registered and activated users can see links]
( trong đó: [Only registered and activated users can see links] B3%7D%20-%20b;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dq%20=%20%5Cfrac%7B%7B2%7B a%5E3%7D%20-%209ab%20+27c%7D%7D%7B%7B27%7D%7D )
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B%7B4%7Bp%5E3%7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20% 5CRightarrow%20%7Cq%7C%20%5Cle2%5Csqrt%20%7B%5Cfra c%7B%7B%7Bp%5E3%7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%7D%20%5CLef trightarrow%20%7C%5Cfrac%7B%7B2%7Ba%5E3%7D%20-%209ab%20+27c%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%7C%20%5Cle%202%5 Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%7B%28%7Ba%5E2%7D%20-%203b%29%7D%5E3%7D%7D%7D%7B%7B%7B%7B27%7D%5E2%7D%7 D%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] 0+%202%7Ba%5E3%7D%20-%209ab%7D%20%5Cright%7C%20%5Cle%202%5Csqrt%7B%7B%7 B%5Cleft%28%20%7B%7Ba%5E2%7D%20-%203b%7D%20%5Cright%29%7D%5E3%7D%7D đpcm.
Từ cách chứng minh trên ta suy ra được nếu có (1) thì phương trình có ba nghiệm
Trong bài trước chúng ta đã nghiên cứu một số vấn đề về phương trình bậc hai . Trong bài này chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba tổng quát
1. Phương trình có dạng: [Only registered and activated users can see links] %20+%20d%20=%200 (1), trong đó a, b, c, d là các số thực cho trước [Only registered and activated users can see links]
2. Cách giải: Bây giờ ta đi xét cách giải phương trình (1).
Vì [Only registered and activated users can see links] nên ta có thể chia hai vế của phương trình (1) cho a. Do vậy ta chỉ cần đi giải phương trình dạng : [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200 (2) .
Đặt [Only registered and activated users can see links] khi đó (2) trở thành : [Only registered and activated users can see links] (3)
Trong đó: [Only registered and activated users can see links] B3%7D%20-%20b;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dq%20=%20%5Cfrac%7B%7B2%7B a%5E3%7D%20-%209ab%20+27c%7D%7D%7B%7B27%7D%7D.
Đặt [Only registered and activated users can see links] Để xét số nghiệm của (3), ta khảo sát sự tương giao của hàm số [Only registered and activated users can see links] với trục Ox.
Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại
· Một điểm [Only registered and activated users can see links]àm luôn đơn điệu hoặc [Only registered and activated users can see links] 200
· Hai điểm [Only registered and activated users can see links] %7Bf_%7BCT%7D%7D%20=%200
· Ba điểm [Only registered and activated users can see links] %7Bf_%7BCT%7D%7D%20%3C%200
Xét hàm số [Only registered and activated users can see links] , ta có: [Only registered and activated users can see links]
* Nếu [Only registered and activated users can see links] %29%20%5Cge%200%20%5CRightarrow%20f%28y%29 là hàm đồng biến [Only registered and activated users can see links] có một nghiệm.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 9%20=%200%20%5CLeftrightarrow%20y%20=%20%5Cpm%20%5 Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D và
[Only registered and activated users can see links] f%5Cleft%28%20%7B%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7 D%7D%20%7D%20%5Cright%29.f%5Cleft%28%20%7B-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%20%7D%20% 5Cright%29%20=%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27% 7D%7D.
Từ đây ta có các kết quả sau:
* Nếu [Only registered and activated users can see links] 3%29 có nghiệm duy nhất. Để tìm nghiệm này ta làm như sau:
Đặt [Only registered and activated users can see links] khi đó (3) trở thành: [Only registered and activated users can see links] uv%20-%20p%29%28u%20+%20v%29%20+%20q%20=%200
Ta chọn u,v sao cho: [Only registered and activated users can see links] c%7Bp%7D%7B3%7D, lúc đó [Only registered and activated users can see links] ta có hệ:
[Only registered and activated users can see links] 7Bu%5E3%7D%7Bv%5E3%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B%7Bp%5E3% 7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20%5C%5C%20%7Bu%5E3%7D%20+% 7Bv%5E3%7D%20=%20-%20q%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20% 5CRightarrow%20%7Bu%5E3%7D,%7Bv%5E3%7Dlà nghiệm phương trình: [Only registered and activated users can see links] %7Bp%5E3%7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20=%200 (4)
(4) có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] B%7B27%7D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D;%20%7BX_1%7D%20=%5 Cfrac%7B%7B%20-%20q%20-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27%7 D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] %20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%7BX_1%7D%7D%7D%20+%20%5Csq rt%5B3%5D%7B%7B%7BX_2%7D%7D%7D%20=%5Csqrt%5B3%5D%7 B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%20q%20+%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7 B%7B27%7D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20+%5Csqrt%5 B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%20q%20-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27%7 D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D (*)
Công thức (*) gọi là công thức Cardano.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] khi đó (3) có hai nghiệm, một nghiệm kép ([Only registered and activated users can see links] 7D%7B2%7D%7D%7D hoặc [Only registered and activated users can see links] ) và một nghiệm đơn. Tức là: [Only registered and activated users can see links] =%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%7D%7 D%20%5C%5C%20y%20=%20-%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B4q%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bm atrix%7D%20%5Cright.
hoặc [Only registered and activated users can see links] =%20-%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%7D%7D %20%5C%5C%20y%20=%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B4q%7D%7D%20%5 C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. (**).
* Nếu [Only registered and activated users can see links] khi đó (3) có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này nằm trong khoảng [Only registered and activated users can see links] qrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%20%29 . Để tìm ba nghiệm này ta đặt [Only registered and activated users can see links] %7D%7D%20%5Ccos%20t, với [Only registered and activated users can see links] ta đưa (3) về dạng: [Only registered and activated users can see links] (5), trong đó [Only registered and activated users can see links] qrt%20p%20%7D%7D.
Giải (5) ta được ba nghiệm [Only registered and activated users can see links] %5Cleft%28%20%7B0;%5Cpi%20%7D%20%5Cright%29, từ đây suy ra ba nghiệm của phương trình (3) là :
[Only registered and activated users can see links] p%7D%7B3%7D%7D%20%5Ccos%20%7Bt_1%7D;%7B%5Crm%7B%20 %7D%7D%7By_2%7D%20=%202%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B 3%7D%7D%20%5Ccos%20%7Bt_2%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7D% 7By_3%7D%20=%202%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D %7D%20%5Ccos%7Bt_3%7D (***).
Chú ý : Trong một số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta đi tìm một nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức và chuyển phương trình đã cho về phương trình tích của một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Giải: Ta thấy phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links] (dùng MTBT) nên ta biến đổi phương trình : [Only registered and activated users can see links] %20%5CLeftrightarrow%20x%20=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D.
Ví dụ 2: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links]
Giải: Ta có: [Only registered and activated users can see links] nên phương
trình có duy nhất nghiệm:
[Only registered and activated users can see links] B%20-%20q%20+%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7 B%7B27%7D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20+%5Csqrt%5 B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%20q%20-%20%5Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%5CDelta%20%7D%7B%7B27%7 D%7D%7D%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20=%5Csqrt%5B3%5D%7B %7B%5Cfrac%7B%7B%20-%201%20+%20%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%20+%2 0%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%201%20-%5Csqrt%205%20%7D%7D%7B2%7D%7D%7D.
Ví dụ 3: Giải phương trình : [Only registered and activated users can see links] (1).
Giải:
Ta có: [Only registered and activated users can see links] nên phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng [Only registered and activated users can see links] Đặt [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links]
(2) trở thành: [Only registered and activated users can see links] 5Ccos%20%5E3%7Dt%20-%203%5Ccos%20t%20=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20=%20%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5 Cpi%20%7D%7B3%7D%5CLeftrightarrow%20t%20=%20%5Cpm% 20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%20+%20k%5Cfrac%7B%7 B2%5Cpi%20%7D%7D%7B3%7D .
Vì [Only registered and activated users can see links] nên ta có: [Only registered and activated users can see links] 9%7D;%7Bt_2%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B7%5Cpi%20%7D%7D% 7B9%7D;%7Bt_3%7D%20=%20%5Cfrac%7B%7B5%5Cpi%7D%7D%7 B9%7D.
Vậy phương trình có ba nghiệm: [Only registered and activated users can see links] 7B9%7D;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dx%20=%202%5Ccos%20%5Cfr ac%7B%7B5%5Cpi%20%7D%7D%7B9%7D;%7B%5Crm%7B%7D%7Dx% 20=%202%5Ccos%20%5Cfrac%7B%7B7%5Cpi%20%7D%7D%7B9%7 D.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
[Only registered and activated users can see links] (1).
Giải: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm [Only registered and activated users can see links]ên :
[Only registered and activated users can see links] Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20%7Bx%5E2 %7D%20-%202mx%20+%20m%20-%202%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright .
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt [Only registered and activated users can see links] Bx%5E2%7D%20-%202mx%20+%20m%20-%202 có hai nghiệm phân biệt khác 1 [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5CDelta%20%27%20=%20%7Bm%5E 2%7D%20-%20m%20+%202%20%3E%200%5C%5C%20f%281%29%20=%20-%20m%20-%201%20%5Cne%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20% 5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20m%20%5Cne-%201.
Vậy [Only registered and activated users can see links] là giá trị cần tìm.
Chú ý : Số nghiệm của PT : [Only registered and activated users can see links] 29%20=%200 phụ thuộc vào số nghiệm của tam thức: [Only registered and activated users can see links] %20c%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%28a%20%5Cne%200%29. Cụ thể
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20%3E%200%20%5C%5C%20f%28%5Calpha%20%29%20 %5Cne%200%20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright. thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20%3E%200%20%5C%5C%20f%28%5Calpha%20%29%20 =%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright. thì phương trình có hai nghiệm: [Only registered and activated users can see links] Bc%7D%7B%7Ba%5Calpha%20%7D%7D.
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có nghiệm kép khác [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20=%200%20%5C%5C%20-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%7B2a%7D%7D%20%5Cne%20%5Calpha %20%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.thì phương trình có hai nghiệm [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
* Nếu [Only registered and activated users can see links] có nghiệm kép [Only registered and activated users can see links] tức là: [Only registered and activated users can see links] 5CDelta%20=%200%20%5C%5C%20-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%7B2a%7D%7D%20=%20%5Calpha%20% 5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.thì phương trình có một nghiệm [Only registered and activated users can see links]
* Nếu [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm thì phương trình có đúng một nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt:
[Only registered and activated users can see links]
Giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
[Only registered and activated users can see links] (2)
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] egin%7Bmatrix%7D%20x%20=%201%20%5C%5C%20f%28x%29%2 0=%202m%7Bx%5E2%7D%20-%20%281-%204m%29x%20-%204m%20+%202%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7 D%20%5Cright.
Yêu cầu bài toán [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt.
TH 1: [Only registered and activated users can see links] có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm
bằng 1. Điều này có [Only registered and activated users can see links] 5Cbegin%7Bmatrix%7D%20m%20%5Cne%200%20%5C%5C%20%5C Delta%20=%2048%7Bm%5E2%7D-%2024m%20+%201%20%3E%200%20%5C%5C%20f%281%29%20=%2 02m%20+%201%20=%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D% 20%5Cright.%5CLeftrightarrow%20m%20=%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.
TH 2: [Only registered and activated users can see links] có một nghiệm khác 1. Khi đó xảy ra hai khả năng
Khả năng 1: [Only registered and activated users can see links] %20%5Cne%200%20%5C%5C%20%5CDelta%20=%200%20%5C%5C% 20%5Cfrac%7B%7B1%20-4m%7D%7D%7B%7B4m%7D%7D%20%5Cne%201%20%5C%5C%20%5Ce nd%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20m %20=%20%5Cfrac%7B%7B3%5Cpm%20%5Csqrt%206%20%7D%7D% 7B%7B12%7D%7D.
Khả năng 2: [Only registered and activated users can see links] %20=%200%20%5C%5C%20f%281%29%20%5Cne%200%20%5C%5C% 20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%5CLeftrightarrow% 20m%20=%200.
Vậy các giá trị của m cần tìm là: [Only registered and activated users can see links] %200;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dm%20=%20%5Cfrac%7B%7B3%20 %5Cpm%20%5Csqrt%206%7D%7D%7B%7B12%7D%7D.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình : [Only registered and activated users can see links] 20+%20c%20=%200;%20%5Cleft%28%20%7Ba%20%5Cne%200%7 D%20%5Cright%29 có 3 nghiệm [Only registered and activated users can see links] 7c%20+%202%7Ba%5E3%7D%20-%209ab%7D%20%5Cright%7C%20%5Cle%202%5Csqrt%7B%7B%7 B%5Cleft%28%20%7B%7Ba%5E2%7D%20-%203b%7D%20%5Cright%29%7D%5E3%7D%7D (1).
Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm. Ta chứng minh (1).
* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì [Only registered and activated users can see links] %29 đúng.
* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc ba nghiệm đó là phân biệt. Khi đó ta có: [Only registered and activated users can see links]
( trong đó: [Only registered and activated users can see links] B3%7D%20-%20b;%7B%5Crm%7B%20%7D%7Dq%20=%20%5Cfrac%7B%7B2%7B a%5E3%7D%20-%209ab%20+27c%7D%7D%7B%7B27%7D%7D )
[Only registered and activated users can see links] 0%5Cfrac%7B%7B4%7Bp%5E3%7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%20% 5CRightarrow%20%7Cq%7C%20%5Cle2%5Csqrt%20%7B%5Cfra c%7B%7B%7Bp%5E3%7D%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%7D%20%5CLef trightarrow%20%7C%5Cfrac%7B%7B2%7Ba%5E3%7D%20-%209ab%20+27c%7D%7D%7B%7B27%7D%7D%7C%20%5Cle%202%5 Csqrt%20%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%7B%28%7Ba%5E2%7D%20-%203b%29%7D%5E3%7D%7D%7D%7B%7B%7B%7B27%7D%5E2%7D%7 D%7D%7D.
[Only registered and activated users can see links] 0+%202%7Ba%5E3%7D%20-%209ab%7D%20%5Cright%7C%20%5Cle%202%5Csqrt%7B%7B%7 B%5Cleft%28%20%7B%7Ba%5E2%7D%20-%203b%7D%20%5Cright%29%7D%5E3%7D%7D đpcm.
Từ cách chứng minh trên ta suy ra được nếu có (1) thì phương trình có ba nghiệm