Số phức

[ThanhTam]

Số Phức là một số bằng tổng của một số thực với một số ảo . Thường được biểu thị như sau
Z = Số Thực + Số Ảo
Định Nghĩa

Từ Phương Trình Bậc Hai
x2 = 1

[Only registered and activated users can see links] Vì [Only registered and activated users can see links] là một số không thực . Nên cần phải có một hệ thống để làm phép toán trên số này .
Nếu có một số ảo biểu thị bởi i = [Only registered and activated users can see links] .
Ta có
[Only registered and activated users can see links] = − 1i3 = − ii4 = 1
Số Phức Trên mặt phẳng OXY

Tọa Độ Z = X + i Y , i = [Only registered and activated users can see links]
Các phép Toán Số Phức
Nếu ta có hai Số Phức
Z1 = X1 + iY1
Z2 = X2 + iY2
Z1 + Z2 = (X1 + X2) + i(Y1 + Y2)
Z1 − Z2 = (X1 − X2) + i(Y1 − Y2)
Z1 * Z2 = (X1X2 − Y1Y2) + i(X2Y1 + X1Y2) [Only registered and activated users can see links]

Từ công thức lượng giác X = cosθ , Y =sinθ
Z = R + i R sinθ = R (cosθ + i sinθ)
Nếu ta có hai Số Phức
Z1 = R1/_θ1
[Only registered and activated users can see links]
θ1 = Tan-1Y1/X1
Z2 = R2/_θ2
[Only registered and activated users can see links]
θ2 = Tan-1Y2/X2
Z1Z2 = R1R2/_θ1 + θ2Z1 / Z2 = R1 / R2/_θ1 - θ2

[root]

Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình [Only registered and activated users can see links] vô nghiệm thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.
I. Khái niệm về số phức
1.1. Định nghĩa số phức:
1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho [Only registered and activated users can see links] gọi là đơn vị ảo.
2. Biểu thức [Only registered and activated users can see links] Cmathbb%7BR%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)
3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là [Only registered and activated users can see links]
4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.
5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: [Only registered and activated users can see links] arrow+a+%3D+c+%3B+b+%3D+d.+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký hiệu [Only registered and activated users can see links] Khi đó: số phức liên hợp của [Only registered and activated users can see links] là z.
1.2. Các dạng biểu diễn của số phức:
1. Dạng đại số: Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số phức.
2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b) của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.
Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục thực.
Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo.
Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.
Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ [Only registered and activated users can see links] Trong nhiều trường hợp, người ta xem vec tơ [Only registered and activated users can see links] như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.
3. Dạng lượng giác của số phức
[Only registered and activated users can see links] số phức z = a +bi và [Only registered and activated users can see links] là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy. Khi đó:
Độ dài [Only registered and activated users can see links] của vectơ [Only registered and activated users can see links] được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển nhiên ta có:

[Only registered and activated users can see links] Cin+%5Cmathbb%7BC%7D%2C+%7Cz+%7C+%3D+0+%5CLeftrigh tarrow+z+%3D+0+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Bây giờ giả sử [Only registered and activated users can see links] tức là [Only registered and activated users can see links] +&bg=ffffff&fg=333333&s=0. Góc định hướng giữa tia Ox và vectơ [Only registered and activated users can see links] (đo bằng radian) [Only registered and activated users can see links] t%7BOx%3B%5Coverrightarrow%7BOA%7D%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất mà sai khác nhau [Only registered and activated users can see links]
Nếu chỉ giới hạn xét [Only registered and activated users can see links] D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 thì khi đó [Only registered and activated users can see links] được gọi là argument chính, ký hiệu argz.
Khi z = 0 thì [Only registered and activated users can see links] không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.
Rõ ràng [Only registered and activated users can see links] D+rsin%7B%5Cvarphi%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Do đó: [Only registered and activated users can see links] rphi%7D+%2B+isin%7B%5Cvarphi%7D%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
1.3. Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác [Only registered and activated users can see links] sin%7B%5Cvarphi%7D%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ta có: [Only registered and activated users can see links] %2C+%7B%5Cvarphi%7D%3D+%7B%5Ctan%7D%7B%5Cleft%28%7 B+%5Cdfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%7D%5Cright%29%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 , nếu [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] D+rsin%7B%5Cvarphi%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Từ định nghĩa của số phức liên hợp [Only registered and activated users can see links] của z và biểu diễn hình học của [Only registered and activated users can see links] , ta có:

[Only registered and activated users can see links] +%7Cz%7C+%3B+arg%28%7B%5Coverline%7Bz%7D%7D%29+%3D +-argz+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Tình huống:


[Only registered and activated users can see links]ó phải là dạng lượng giác của số phức z?
Ví dụ:
1. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác:
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] ght%29+%2B+i.%5Csin+%5Cleft%28+%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D %7B7%7D+%5Cright%29+%5Cqquad+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 [Only registered and activated users can see links] c%7B%5Cpi%7D%7B3%7D+%5Cright%29+%2B+i.%5Ccos+%5Cle ft%28+%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
II. Những phép tính cơ bản trên số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là [Only registered and activated users can see links] 2B+isin%7B%5Cvarphi%7D_1%29+%2C+w+%3D+r_2%28cos%7B %5Cvarphi%7D_2+%2B+isin%7B%5Cvarphi%7D_2%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
1. Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)
2. Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:
[Only registered and activated users can see links] hi%7D_1+%2B%7B%5Cvarphi%7D_1%29+%2B+isin%28%7B%5Cv arphi%7D_1+%2B%7B%5Cvarphi%7D_1%29%29+%283%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Nhận xét: [Only registered and activated users can see links] E2+%2B+b%5E2+%3D+%7C+z+%7C%5E2+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 , [Only registered and activated users can see links] , [Only registered and activated users can see links] g%28z%5En%29+%3D+nArgz+%2B+k2%7B%5Cpi%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
3. Phép chia 2 số phức.
3.1 Bổ đề:
Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links] . Khi đó [Only registered and activated users can see links] được gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu [Only registered and activated users can see links] . Vậy [Only registered and activated users can see links]
Chứng minh
Ta cần tìm [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links] .
Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1
Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1
Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)
Giải hệ phương trình (I) ta được: [Only registered and activated users can see links] 2Bb%5E2%7D%7D+%3B+d+%3D+%7B+%5Cdfrac%7B-b%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Vậy [Only registered and activated users can see links] tồn tại.
Do đó: [Only registered and activated users can see links] 7D+-+%7B+%5Cdfrac%7Bb%7D%7Ba%5E2+%2B+b%5E2%7D%7D.i+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 (4)
Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm [Only registered and activated users can see links] bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp [Only registered and activated users can see links]
3.2 Phép chia hai số phức:
Giả sử [Only registered and activated users can see links] Khi đó:

[Only registered and activated users can see links] %7B+%5Cdfrac%7Bz.%5Coverline%7Bw%7D%7D%7Bw.%5Cover line%7Bw%7D%7D%7D+%3D+%7B+%5Cdfrac%7B%28a%2Bbi%29. %28c-di%29%7D%7Bc%5E2%2Bd%5E2%7D%7D+%3D+%7B+%5Cdfrac%7B %28ac%2Bbd%29%2B%28bc-ad%29i%7D%7Bc%5E2%2Bd%5E2%7D%7D+%285%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:

[Only registered and activated users can see links] %7B+%5Cdfrac%7Br_1%7D%7Br_2%7D%7D%28cos%28%7B%5Cva rphi%7D_1+-+%7B%5Cvarphi%7D_1%29+%2B+isin%28%7B%5Cvarphi%7D_1 +-+%7B%5Cvarphi%7D_1%29%29+%286%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
4. Các ví dụ:
1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w, z – w, z.w, z/w.
2. Tính [Only registered and activated users can see links] 4+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 . Suy ra [Only registered and activated users can see links]
3. [Only registered and activated users can see links] ; [Only registered and activated users can see links] ; [Only registered and activated users can see links] 7D%7B1-i%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
4. [Only registered and activated users can see links] 7B%281-i%29%5E7%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 ; [Only registered and activated users can see links] 5E2+%2B+...+%2B+%281%2Bi%29%5E%7B99%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
5. Tìm modun của các số phức sau: [Only registered and activated users can see links] 81%2B6i%29%282-7i%29%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
III. Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức:
3.1 Nâng lên lũy thừa:
Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì:

[Only registered and activated users can see links] %7B%5Cvarphi%7D%29%5D%5En+%3D+r%5En+%28cosn%7B%5Cv arphi%7D+%2B+isinn%7B%5Cvarphi%7D%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Công thức này gọi là công thức Moivre. Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với số mũ của lũy thừa.
3.2 Áp dụng của công thức Moivre:
Trong công thức đặt r = 1, ta được:

[Only registered and activated users can see links] 7B%5Cvarphi%7D%29%5D%5En+%3D+%28cosn%7B%5Cvarphi%7 D+%2B+isinn%7B%5Cvarphi%7D%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn [Only registered and activated users can see links] 7B%5Ccos%7Dn%7B%5Cvarphi%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 theo luỹ thừa của [Only registered and activated users can see links] B%5Csin%7D%7B%5Cvarphi%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 .
Chẳng hạn với n = 3: ta có:
[Only registered and activated users can see links] %5Cvarphi+%2Bi.3%7B%7B%5Ccos+%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cva rphi+%5Csin+%5Cvarphi+%2B3%5Ccos+%5Cvarphi+%7B%7B% 5Csin+%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cvarphi+%2Bi%7B%7B%5Csin+% 7D%5E%7B3%7D%7D%5Cvarphi+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
[Only registered and activated users can see links] D+%2B+i%7B%5Csin%7D3%7B%5Cvarphi%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Do đó: [Only registered and activated users can see links] %7D%5E%7B3%7D%7D%5Cvarphi+-3%5Ccos+%5Cvarphi+%7B%7B%5Csin+%7D%5E%7B2%7D%7D%5C varphi+%3D-3%5Ccos+%5Cvarphi+%2B4%7B%7B%5Ccos+%7D%5E%7B3%7D%7 D%5Cvarphi+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
[Only registered and activated users can see links] 5Ccos+%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cvarphi+%5Csin+%5Cvarphi+% 3D3%5Csin+%5Cvarphi+-4%7B%7B%5Csin+%7D%5E%7B3%7D%7D%5Cvarphi+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
3.3 Phép khai căn:
Căn bậc n của một số phức mà lũy thừa bậc n bằng số dưới căn: [Only registered and activated users can see links] trightarrow+%7Bw%5En%7D+%3D+z+&bg=ffffff&fg=333333&s=0.
Hay: [Only registered and activated users can see links] phi+%2Bi%5Csin+%5Cvarphi+%29%7D+%3D+%5Crho+%28%5Cc os+%5Ctheta+%2Bi%5Csin+%5Ctheta+%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
[Only registered and activated users can see links] rphi+%2Bi%5Csin+%5Cvarphi+%29+%3D+%7B%7B%5Crho+%7D %5E%7Bn%7D%7D%28%5Ccos+n%5Ctheta+%2Bi%5Csin+n%5Cth eta+%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Vì trong những số phức bằng nhau. Môđun phải bằng nhau nhưng argument có thể sai khác một bội [Only registered and activated users can see links] nên:

[Only registered and activated users can see links] d+n%7B%5Ctheta%7D+%3D+%5Cvarphi+%2B+k2%7B%5Cpi%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Từ đó: [Only registered and activated users can see links] 3B+%5Ctheta+%3D+%7B+%5Cdfrac%7B%5Cvarphi+%2B+k2%7B %5Cpi%7D%7D%7Bn%7D%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 ; k là số nguyên tùy ý.
Cho k các giá trị 0, 1, 2, …, n-1 ta được n giá trị khác nhau của căn. Chú ý với k = n, n+1, n+2,… thì giá trị sẽ lần lượt trùng với các giá trị ứng với k = 0, 1, 2, …
Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau.
Nhận xét:
Căn bậc n của số thực A khác 0 cũng có n giá trị vì số thực là một trường hợp đặc biệt của số phức và có thể viết dưới dạng lượng giác:
Nếu A > 0 thì [Only registered and activated users can see links] +i%7B%5Csin%7D0%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Nếu A < 0 thì [Only registered and activated users can see links] Cpi%7D+%2B+i%7B%5Csin%7D%7B%5Cpi%7D%29+&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Ví dụ: Tìm [Only registered and activated users can see links] sqrt%5B4%5D%7B-1%7D+%5Cqquad+%282%2B2i%29%5E3+&bg=ffffff&fg=333333&s=0


Nguồn: thunhan.wordpress