ThanhTam
27-04-2009, 05:23 PM
BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRONG CÁC TẠP CHÍ TOÁN HỌC
TRONG NĂM 2008
Bài 1:
Được đăng trong tháng 1 năm 2008 , mục: TIẾN TỚI OLUYMPIC TOÁN của tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ.
ĐỀ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =[Only registered and activated users can see links]
Trong đó ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng với công sai bằng [Only registered and activated users can see links]
Lời giải.
Theo giả thiết thì [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] thì
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Và [Only registered and activated users can see links]
Hay phương trình [Only registered and activated users can see links]
có các nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Suy ra phương trình [Only registered and activated users can see links] có các nghiệm
[Only registered and activated users can see links]
Khi đó [Only registered and activated users can see links] Sử dụng hệ thức Vi-et và đẳng thức
[Only registered and activated users can see links]
ta thu được:[Only registered and activated users can see links]
Hay [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét rằng hàm số này có P'(x)=[Only registered and activated users can see links]
mọi x[Only registered and activated users can see links] nên P(x) đồng biến trong [Only registered and activated users can see links]
Suy ra minP = P(9) = 129, đạt được khi m = 1
Hay [Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links] k là số nguyên.
Bài 2.
Được đăng trong tháng 1/2008, muc: Giải toán qua thư của tạp chí Toán Tuổi thơ 2.
ĐỀ: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn [Only registered and activated users can see links]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :S = [Only registered and activated users can see links]
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
[Only registered and activated users can see links]
Suy ra [Only registered and activated users can see links](1)
Theo bất đẳng thức Cô-si:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Từ (1) và (2) ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi[Only registered and activated users can see links]
Bài 3
Được đăng trong tháng 3/2008, mục Các lớp THCS của Toán Học & Tuổi Trẻ
ĐỀ: Giải phương trình:
[Only registered and activated users can see links]
Lời giải
Cách 1 Điều kiện :[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Bình phương hai vế phương trình trở thành [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
So với điều kiện phương trình có nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Cách 2: Đặt u=x+3;[Only registered and activated users can see links]
Khi đó phương trình trở thành [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] Từ đó suy ra cách giải.
Cách 3 Phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] ; Điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Phương trình trở thành hệ [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] Từ đó biết cách giải.
Cách 4. Đặt [Only registered and activated users can see links]
Phương trình trở thành [Only registered and activated users can see links] biết cách giải.
ĐỀ SỐ 4
(Được đăng tháng 6/2008:Mục Thử sức trước kì thi THTT)
Câu 1.(2 điểm)
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1.
2) Trong trường hợp hàm số (1) đồng biến trong tập số thực R, tìm m để diện tích hình phẳng
giới hạn bỡi đồ thị của hàm (1) và hai trục Ox, Oy có diện tích bằng 1.
Câu 2.( 2 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm thực :[Only registered and activated users can see links]
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số k để phương trình [Only registered and activated users can see links] có nghiệm.
Câu 3.(2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E):[Only registered and activated users can see links] Qua M(1;2) kẽ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (E) tại A và B. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
2) Cho tam giác ABC thỏa mãn
[Only registered and activated users can see links]
Tính độ lớn ba góc của tam giác đó.
Câu 4.( 2 điểm)
1) Tính tích phân [Only registered and activated users can see links]
2) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [Only registered and activated users can see links]
II. PHẦN TỰ CHỌN.(Thí sinh chọn câu 5a, hoặc câu 5b)
Câu 5a. ( Theo chương trình THPT không phân ban) ( 2 điểm)
1) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
[Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên.
2) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số, sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó ?
Câu 5b.(Theo chương trình THPT phân ban thí điểm) ( 2 điểm).
1) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh băng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
Tính diện tích của thiết diện tạo bỡi hình chóp với mặt phẳng qua A vuông góc với cạnh SC.
2) Giải bất phương trình [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Lời giải:
Câu 1
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1. (Tự giải)
2) Trong trường hợp hàm số (1) đồng biến trong tạp R, tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị của hàm số (1) và hai trục Ox, Oy có diện tích bằng 1.
+Dễ dàng chứng minh đường cong luôn qua điểm cố định (1;0).
+Hàm số đồng biến trong tập số thực R khi [Only registered and activated users can see links]
+Vì hàm số trên là hàm bậc ba có hệ số a>0 và luôn đồng biến nên đồ thị cắt trục tung có giá trị âm.
Vậy [Only registered and activated users can see links]
theo giả thiết S=1, suy ra [Only registered and activated users can see links] thỏa điều kiện
Câu 2.a
a) Giải phương trình nghiệm thực:[Only registered and activated users can see links]
Điều kiện: Điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Phương trình viết lại :[Only registered and activated users can see links]
Hoặc [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Hoặc [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] .
2.b Tìm tất cả các giá trị của tham số k để phương trình [Only registered and activated users can see links] có nghiệm.
cách 1
Phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] điều kiện [Only registered and activated users can see links]
nên phương trình trở thành: [Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links] ([Only registered and activated users can see links]
Vậy hàm f(t) giảm trong (0;1]
Nên suy ra [Only registered and activated users can see links]
Cách 2. Đặt [Only registered and activated users can see links]
Phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links](1)
Điều kiện [Only registered and activated users can see links](2)
Phương trình tương đương [Only registered and activated users can see links]
Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc điều kiện (2).
Xảy ra các trường hợp sau:
Khi k=0, suy ra t=1( nhận).
Khi k khác 0. Để phương trình có ngiệm thì
*f(0).f(1) < 0.(3)
(4)
Giải (3) , (4) . Để phương trình có nghiệm thì :[Only registered and activated users can see links]
Câu 3a.
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E):[Only registered and activated users can see links] Qua M(1;2) kẽ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (E) tại A và B.
Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Giả sử ta kẽ được hai tiếp tuyến MA, MB trong đó lần lượt có hai tiếp điểm là [Only registered and activated users can see links]
Do đó phương trình tiếp tuyến của (E) tại A là [Only registered and activated users can see links] mà tiếp tuyến đi qua M(1; 2) nên thỏa mãn [Only registered and activated users can see links] (1)
Tương tự ta có tiếp tuyến đi qua M, B là [Only registered and activated users can see links] (2)
Từ (1) , (2) chứng tỏ đường thẳng [Only registered and activated users can see links] đi qua hai tiếp điểm A, B
Câu 3b.
b) Cho tam giác ABC thỏa mãn
[Only registered and activated users can see links]
Tính độ lớn ba góc của tam giác đó.
Biểu thức viết lại:[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Cách 2 :
Ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
* Nếu A nhọn ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đế [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Nếu A tù , không xảy ra.
Câu 4.a.
Ta có : [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links]
Vậy : [Only registered and activated users can see links]
4b.
b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [Only registered and activated users can see links]
Ta có :[Only registered and activated users can see links] (1)
[Only registered and activated users can see links](2).
[Only registered and activated users can see links](3)
Cộng (1), (2), (3) ta có :[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đẳng thức xảy ra khi [Only registered and activated users can see links]
Câu 5b1
1) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
[Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên.
Giải Dễ dàng chứng minh được hai đường thẳng cheó nhau, nên tâm mặt cầu cần tìm là trung điểm I đoạn vuông góc chung EF của hai đường thẳng đó và đường kính là EF.
Đường thẳng [Only registered and activated users can see links] viết lại :[Only registered and activated users can see links] có vectơ chỉ phương là [Only registered and activated users can see links] và điểm [Only registered and activated users can see links]
Đường thẳng [Only registered and activated users can see links] viết lại :[Only registered and activated users can see links] có vectơ chỉ phương là [Only registered and activated users can see links] và điểm [Only registered and activated users can see links]
Suy ra [Only registered and activated users can see links] Vì EF vuông góc cả hai đường thẳng trên nên ta có hệ
[Only registered and activated users can see links]
Giải hệ này ta có t =1, p=-1
Từ đó suy ra mặt cầu [Only registered and activated users can see links]
5b2.
Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số,
sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó ?[/B]
Giả sử số đó là [Only registered and activated users can see links] giả thiết ta có các trường hợp sau
* d = 4 , suy ra x = 1234. Do đó có một cách chọn .
*d=6 suy ra có [Only registered and activated users can see links] cách chọn cho a,b,c lấy từ {1;2;3;4;5}
*d= 8 suy ra có [Only registered and activated users can see links] cách chọn cho a,b,c trong tập {1;2;3;4;5;6;7}
Theo yêu cầu đề toán , có 1+10 + 35 = 46 số được chọn.
Câu 5b
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh băng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
Tính diện tích của thiết diện tạo bỡi hình chóp với mặt phẳng qua A vuông góc với cạnh SC.
Phương pháp tọa độ Oxyz Ta chọn A(0;0;0), B(a;0;0),D(0;a;0), suy ra C(a;a;0) và S(0;0;a).
Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc SC nên nhận vectơ [Only registered and activated users can see links] làm vectơ pháp tuyến, suy ra mặt phẳng (P): x+y-z=0.
Lập phương trình đường thẳng SD [Only registered and activated users can see links]
Gọi M là giao điểm của SD và (P) nên nó là nghiệm của hệ hai phương trình của SD và (P) , suy ra [Only registered and activated users can see links]
Tương tự gọi N là giao điểm SC và (P) ta có [Only registered and activated users can see links]
Do đó diện tích của thiết diện là [Only registered and activated users can see links]
Cách 2 :
Hai phương pháp tổng hợp
Cách CM trực tiếp
Giả sử mặt phẳng (P) qua A cắt SB, SD, SC lần lượt tại E, F. G. Ta cấn chứng minh thiết diện AEGF là tứ giác có hai đường chéo EF và AG vuông góc nhau.
Trong đó AE vuông góc SB, suy ra E là trung điểm SB, tương tự F là trung điểm SD. Do đó [Only registered and activated users can see links] Và xét tam giác SAC vuông tại A, áp dụng hệ thức [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Do đó diện tích thiết diện [Only registered and activated users can see links]
Cách 3
Vận dụng Thể tích.
Ta nhận thấy (SAC) là mặt phẳng đối xứng của khối đa diện trên.
Ta tính [Only registered and activated users can see links]
Ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links]
Suy ra diện tích thiết diện [Only registered and activated users can see links]
Câu 5b2.
2) Giải bất phương trình [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Bất phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links] (1)
ĐK: [Only registered and activated users can see links]
Khi [Only registered and activated users can see links] Ta có vế trái âm, vế phải dương, bất phương trình luôn đúng, nên (1) nhận [Only registered and activated users can see links] là nghiệm.
Khi [Only registered and activated users can see links] hai vế bất phương trình đều dương ,
nên bất phương trình tương đương [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] Vì [Only registered and activated users can see links] .
Do đó bất phương trình viết lại:
[Only registered and activated users can see links]
Lại đặt [Only registered and activated users can see links] là hàm liên tục trong [Only registered and activated users can see links]
Ta có [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] f(t) là hàm giàm trong [Only registered and activated users can see links]
Mặt khác ta có f(1) = 1. Do đó bất phương trình viết lại
[Only registered and activated users can see links]
Vậy bất phương trình có nghiệm là [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links]
(Nguồn: laisac ([Only registered and activated users can see links]))
TRONG NĂM 2008
Bài 1:
Được đăng trong tháng 1 năm 2008 , mục: TIẾN TỚI OLUYMPIC TOÁN của tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ.
ĐỀ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =[Only registered and activated users can see links]
Trong đó ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng với công sai bằng [Only registered and activated users can see links]
Lời giải.
Theo giả thiết thì [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] thì
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Và [Only registered and activated users can see links]
Hay phương trình [Only registered and activated users can see links]
có các nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Suy ra phương trình [Only registered and activated users can see links] có các nghiệm
[Only registered and activated users can see links]
Khi đó [Only registered and activated users can see links] Sử dụng hệ thức Vi-et và đẳng thức
[Only registered and activated users can see links]
ta thu được:[Only registered and activated users can see links]
Hay [Only registered and activated users can see links]
Nhận xét rằng hàm số này có P'(x)=[Only registered and activated users can see links]
mọi x[Only registered and activated users can see links] nên P(x) đồng biến trong [Only registered and activated users can see links]
Suy ra minP = P(9) = 129, đạt được khi m = 1
Hay [Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links] k là số nguyên.
Bài 2.
Được đăng trong tháng 1/2008, muc: Giải toán qua thư của tạp chí Toán Tuổi thơ 2.
ĐỀ: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn [Only registered and activated users can see links]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :S = [Only registered and activated users can see links]
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
[Only registered and activated users can see links]
Suy ra [Only registered and activated users can see links](1)
Theo bất đẳng thức Cô-si:
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Từ (1) và (2) ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi[Only registered and activated users can see links]
Bài 3
Được đăng trong tháng 3/2008, mục Các lớp THCS của Toán Học & Tuổi Trẻ
ĐỀ: Giải phương trình:
[Only registered and activated users can see links]
Lời giải
Cách 1 Điều kiện :[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Bình phương hai vế phương trình trở thành [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
So với điều kiện phương trình có nghiệm [Only registered and activated users can see links]
Cách 2: Đặt u=x+3;[Only registered and activated users can see links]
Khi đó phương trình trở thành [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] Từ đó suy ra cách giải.
Cách 3 Phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] ; Điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Phương trình trở thành hệ [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] Từ đó biết cách giải.
Cách 4. Đặt [Only registered and activated users can see links]
Phương trình trở thành [Only registered and activated users can see links] biết cách giải.
ĐỀ SỐ 4
(Được đăng tháng 6/2008:Mục Thử sức trước kì thi THTT)
Câu 1.(2 điểm)
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1.
2) Trong trường hợp hàm số (1) đồng biến trong tập số thực R, tìm m để diện tích hình phẳng
giới hạn bỡi đồ thị của hàm (1) và hai trục Ox, Oy có diện tích bằng 1.
Câu 2.( 2 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm thực :[Only registered and activated users can see links]
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số k để phương trình [Only registered and activated users can see links] có nghiệm.
Câu 3.(2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E):[Only registered and activated users can see links] Qua M(1;2) kẽ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (E) tại A và B. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
2) Cho tam giác ABC thỏa mãn
[Only registered and activated users can see links]
Tính độ lớn ba góc của tam giác đó.
Câu 4.( 2 điểm)
1) Tính tích phân [Only registered and activated users can see links]
2) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [Only registered and activated users can see links]
II. PHẦN TỰ CHỌN.(Thí sinh chọn câu 5a, hoặc câu 5b)
Câu 5a. ( Theo chương trình THPT không phân ban) ( 2 điểm)
1) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
[Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên.
2) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số, sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó ?
Câu 5b.(Theo chương trình THPT phân ban thí điểm) ( 2 điểm).
1) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh băng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
Tính diện tích của thiết diện tạo bỡi hình chóp với mặt phẳng qua A vuông góc với cạnh SC.
2) Giải bất phương trình [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Lời giải:
Câu 1
Cho hàm số [Only registered and activated users can see links] (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1. (Tự giải)
2) Trong trường hợp hàm số (1) đồng biến trong tạp R, tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị của hàm số (1) và hai trục Ox, Oy có diện tích bằng 1.
+Dễ dàng chứng minh đường cong luôn qua điểm cố định (1;0).
+Hàm số đồng biến trong tập số thực R khi [Only registered and activated users can see links]
+Vì hàm số trên là hàm bậc ba có hệ số a>0 và luôn đồng biến nên đồ thị cắt trục tung có giá trị âm.
Vậy [Only registered and activated users can see links]
theo giả thiết S=1, suy ra [Only registered and activated users can see links] thỏa điều kiện
Câu 2.a
a) Giải phương trình nghiệm thực:[Only registered and activated users can see links]
Điều kiện: Điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Phương trình viết lại :[Only registered and activated users can see links]
Hoặc [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Hoặc [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] .
2.b Tìm tất cả các giá trị của tham số k để phương trình [Only registered and activated users can see links] có nghiệm.
cách 1
Phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] điều kiện [Only registered and activated users can see links]
nên phương trình trở thành: [Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links] ([Only registered and activated users can see links]
Vậy hàm f(t) giảm trong (0;1]
Nên suy ra [Only registered and activated users can see links]
Cách 2. Đặt [Only registered and activated users can see links]
Phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links](1)
Điều kiện [Only registered and activated users can see links](2)
Phương trình tương đương [Only registered and activated users can see links]
Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc điều kiện (2).
Xảy ra các trường hợp sau:
Khi k=0, suy ra t=1( nhận).
Khi k khác 0. Để phương trình có ngiệm thì
*f(0).f(1) < 0.(3)
(4)
Giải (3) , (4) . Để phương trình có nghiệm thì :[Only registered and activated users can see links]
Câu 3a.
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E):[Only registered and activated users can see links] Qua M(1;2) kẽ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (E) tại A và B.
Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Giả sử ta kẽ được hai tiếp tuyến MA, MB trong đó lần lượt có hai tiếp điểm là [Only registered and activated users can see links]
Do đó phương trình tiếp tuyến của (E) tại A là [Only registered and activated users can see links] mà tiếp tuyến đi qua M(1; 2) nên thỏa mãn [Only registered and activated users can see links] (1)
Tương tự ta có tiếp tuyến đi qua M, B là [Only registered and activated users can see links] (2)
Từ (1) , (2) chứng tỏ đường thẳng [Only registered and activated users can see links] đi qua hai tiếp điểm A, B
Câu 3b.
b) Cho tam giác ABC thỏa mãn
[Only registered and activated users can see links]
Tính độ lớn ba góc của tam giác đó.
Biểu thức viết lại:[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Cách 2 :
Ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
* Nếu A nhọn ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đế [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Nếu A tù , không xảy ra.
Câu 4.a.
Ta có : [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links]
Vậy : [Only registered and activated users can see links]
4b.
b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện [Only registered and activated users can see links]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [Only registered and activated users can see links]
Ta có :[Only registered and activated users can see links] (1)
[Only registered and activated users can see links](2).
[Only registered and activated users can see links](3)
Cộng (1), (2), (3) ta có :[Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Đẳng thức xảy ra khi [Only registered and activated users can see links]
Câu 5b1
1) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
[Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên.
Giải Dễ dàng chứng minh được hai đường thẳng cheó nhau, nên tâm mặt cầu cần tìm là trung điểm I đoạn vuông góc chung EF của hai đường thẳng đó và đường kính là EF.
Đường thẳng [Only registered and activated users can see links] viết lại :[Only registered and activated users can see links] có vectơ chỉ phương là [Only registered and activated users can see links] và điểm [Only registered and activated users can see links]
Đường thẳng [Only registered and activated users can see links] viết lại :[Only registered and activated users can see links] có vectơ chỉ phương là [Only registered and activated users can see links] và điểm [Only registered and activated users can see links]
Suy ra [Only registered and activated users can see links] Vì EF vuông góc cả hai đường thẳng trên nên ta có hệ
[Only registered and activated users can see links]
Giải hệ này ta có t =1, p=-1
Từ đó suy ra mặt cầu [Only registered and activated users can see links]
5b2.
Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số,
sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó ?[/B]
Giả sử số đó là [Only registered and activated users can see links] giả thiết ta có các trường hợp sau
* d = 4 , suy ra x = 1234. Do đó có một cách chọn .
*d=6 suy ra có [Only registered and activated users can see links] cách chọn cho a,b,c lấy từ {1;2;3;4;5}
*d= 8 suy ra có [Only registered and activated users can see links] cách chọn cho a,b,c trong tập {1;2;3;4;5;6;7}
Theo yêu cầu đề toán , có 1+10 + 35 = 46 số được chọn.
Câu 5b
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh băng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
Tính diện tích của thiết diện tạo bỡi hình chóp với mặt phẳng qua A vuông góc với cạnh SC.
Phương pháp tọa độ Oxyz Ta chọn A(0;0;0), B(a;0;0),D(0;a;0), suy ra C(a;a;0) và S(0;0;a).
Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc SC nên nhận vectơ [Only registered and activated users can see links] làm vectơ pháp tuyến, suy ra mặt phẳng (P): x+y-z=0.
Lập phương trình đường thẳng SD [Only registered and activated users can see links]
Gọi M là giao điểm của SD và (P) nên nó là nghiệm của hệ hai phương trình của SD và (P) , suy ra [Only registered and activated users can see links]
Tương tự gọi N là giao điểm SC và (P) ta có [Only registered and activated users can see links]
Do đó diện tích của thiết diện là [Only registered and activated users can see links]
Cách 2 :
Hai phương pháp tổng hợp
Cách CM trực tiếp
Giả sử mặt phẳng (P) qua A cắt SB, SD, SC lần lượt tại E, F. G. Ta cấn chứng minh thiết diện AEGF là tứ giác có hai đường chéo EF và AG vuông góc nhau.
Trong đó AE vuông góc SB, suy ra E là trung điểm SB, tương tự F là trung điểm SD. Do đó [Only registered and activated users can see links] Và xét tam giác SAC vuông tại A, áp dụng hệ thức [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Do đó diện tích thiết diện [Only registered and activated users can see links]
Cách 3
Vận dụng Thể tích.
Ta nhận thấy (SAC) là mặt phẳng đối xứng của khối đa diện trên.
Ta tính [Only registered and activated users can see links]
Ta có [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]
Do đó [Only registered and activated users can see links]
Suy ra diện tích thiết diện [Only registered and activated users can see links]
Câu 5b2.
2) Giải bất phương trình [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links]
Bất phương trình viết lại [Only registered and activated users can see links] (1)
ĐK: [Only registered and activated users can see links]
Khi [Only registered and activated users can see links] Ta có vế trái âm, vế phải dương, bất phương trình luôn đúng, nên (1) nhận [Only registered and activated users can see links] là nghiệm.
Khi [Only registered and activated users can see links] hai vế bất phương trình đều dương ,
nên bất phương trình tương đương [Only registered and activated users can see links]
Đặt [Only registered and activated users can see links] Vì [Only registered and activated users can see links] .
Do đó bất phương trình viết lại:
[Only registered and activated users can see links]
Lại đặt [Only registered and activated users can see links] là hàm liên tục trong [Only registered and activated users can see links]
Ta có [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] f(t) là hàm giàm trong [Only registered and activated users can see links]
Mặt khác ta có f(1) = 1. Do đó bất phương trình viết lại
[Only registered and activated users can see links]
Vậy bất phương trình có nghiệm là [Only registered and activated users can see links] hoặc [Only registered and activated users can see links]
(Nguồn: laisac ([Only registered and activated users can see links]))