Bài toán tổ hợp dạng 1

[ThanhTam]

ví dụ 1: cho 7 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a. có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho?
b. Trong các số đó, có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7.
c. Trong các số đó, có bao nhiêu số luôn luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Giải:
gọi chữ số gồm 4 chữ số khác nhau có dạng:
[Only registered and activated users can see links]
a. khi đó số cách chọn 4 số trong 7 số (1,2,3,4,5,6,7) là: [Only registered and activated users can see links]
b. có 4 cách sắp xếp số 7 vào 1 trong 4 vị trí.
như vậy còn 6 số ( khác 7 ) để sắp xếp vào 3 vị trí còn lại và số cách xếp là: [Only registered and activated users can see links]
vậy số có 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 7 là: 4.[Only registered and activated users can see links]
c. chữ số hàng đơn vị luôn là 1 nên a4 có 1 cách chọn.
khi đó có 3 cách xếp số 7 vào 3 vị trí còn lại ( a1, a2, a3 ).
còn 2 vị trí còn lại, còn 5 số để lựa chọn ( trừ số 1 và 7 ) như vậy số cách chọn 5 số vào 2 vị trí này là: [Only registered and activated users can see links]
vậy số cách chọn là: 1.3.[Only registered and activated users can see links]
chúng ta lưu ý số tự nhiên không thể bắt đầu bởi chữ số 0. vì vậy hãy theo dõi cách chia trường hợp khi có chữ số 0 trong lựa chọn ở ví dụ dưới đây, từ đó so sánh sự khác nhau giữa 2 ví dụ
ví dụ 2:
Với các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5,6
a. ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau ?
b. ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5?
giải:
gọi chữ số gồm 5 chữ số khác nhau có dạng:
[Only registered and activated users can see links] %7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0
a,
+ số đầu tiên [Only registered and activated users can see links] không thể là chữ số 0. vì vậy [Only registered and activated users can see links] có 6 cách chọn ( khác 0 ).
+ 4 vị trí còn lại ( có thể có số 0 ) sẽ sắp xếp cho 6 số còn lại ( trừ 1 số khác 0 đã được xếp vào vị trí [Only registered and activated users can see links] ) . như vậy số cách xếp là: [Only registered and activated users can see links]
vậy có tất cả [Only registered and activated users can see links] số có 5 chữ số khác nhau.
b.
do phải có mặt chữ số 5 nên chia 2 trường hợp:
E1: “[Only registered and activated users can see links]
+ như vậy [Only registered and activated users can see links] có 1 cách chọn.
+ còn 4 vị trí còn lại là sắp xếp của 6 số ( trừ số 5 đã xếp vào vị trí [Only registered and activated users can see links] ) . như vậy có [Only registered and activated users can see links]
vậy [Only registered and activated users can see links] .
E2: “[Only registered and activated users can see links]
+ [Only registered and activated users can see links] có 5 cách chọn ( khác 5 và 0 ).
+ số 5 có 4 cách sắp xếp vào 1 trong 4 vị trí còn lại.
+ còn 3 vị trí sắp xếp cho 5 số ( khác 5 và khác số đã chọn vào vị trí [Only registered and activated users can see links] ) vậy số sắp xếp là: [Only registered and activated users can see links]
vậy [Only registered and activated users can see links]
vậy số có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 là: E1+E2 .
bạn nhớ cách chia trường hợp nhé.

[ThanhTam]

Dưới đây là các bài toán tổ hợp cơ bản gồm nhiều dạng khác nhau mà tôi sưu tầm. các bạn quan tâm thì vào giải thử nhé.
Bài 1: Một cái hộp đựng 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ, ta lấy ra 4 quả cầu.
a. Hỏi có thể có bao nhiêu cách.
b. Trong đó có bao nhiêu cách lấy 2 quả cầu đỏ?
c. Có bao nhiêu cách lấy nhiều nhất 2 quả cầu đỏ?
d. Ít nhất 2 quả cầu đỏ.
Bài 2: trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng đi qua n điểm đã cho. Áp dụng với n =10.
Bài 3: cho đa giác n cạnh D1, D2,…Dn.
a. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường chéo?
b. Có bao nhiêu đường chéo qua D1?
Câu 4: Với các chữ số: 0,1, 2, 3,4,5 ta có thể lập đuợc bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?
Câu 5: có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ số: 0, 2, 4, 6, 8?
Câu 6: một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Câu 7: Một hợp tác xã có 25 xã viên. Họ muốn chọn ra một người làm chủ nhiệm, một người làm thư ký, một người làm thủ quỹ mà không cho kiêm nhiệm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Câu 8: Một cuộc đua ngựa có 10 con ngựa tham gia. hỏi có thể có bao nhiêu cặp nhất nhì?
Câu 9: Với các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5,6 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5?
Câu 10: cho các chữ số: 1,2,3,4,5. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
Câu 11: cho 3 điểm A, B, C.
a. có bao nhiêu cách ghi điểm A, B, C đã cho nằm trên một đường thẳng.
b. Với 3 điểm này, ta có thể xác lập được bao nhiêu véc tơ khác véc tơ không.
c. giả sử A, B, C không thẳng hang. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 3 điểm đó.
d. Giả sử A, B, C không thẳng hang. Có thể lập đựơc bao nhiêu tam giác nhận 3 điểm đó làm 3 đỉnh.
Câu 12: có 12 điểm nằm trên một đường tròn. hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn nhận các điểm đã cho làm đỉnh? Có bao nhiêu tam giác nội tiếp đường tròn có đỉnh là các điểm đã cho?
Câu 13: tìm số giao điểm tối đa của:
a. 10 đường thẳng phân biệt.
b. 6 đường tròn phân biệt.
c. 10 đường thẳng và 6 đường tròn trên.
Câu 14: Một bộ bài tây có 52 con. Trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. hỏi có bao nhiêu cách để rút được:
a. 2 con át.
b. nhiều nhất là 2 con át.
c. Ít nhất là 2 con át.
d. Có 1 con át và 1 con ka và 3 con không là ka và át
Câu 15: có 12 người gồm 10 nam và 2 nữ.
a. có bao nhiêu cách chọn một uỷ ban gồm 8 người từ 12 người đó không phân biệt nam nữ.
b. có bao nhiêu cách chọn một uỷ ban gồm 8 người trong 12 người đó sao cho có ít nhất 1 nữ.
c. số cách chọn uỷ ban toàn nam?
Câu 16: cho 7 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a. có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho?
b. Trong các số đó, có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7.
c. Trong các số đó, có bao nhiêu số luôn luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Câu 17: có thể viết được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà chỉ dung các chữ số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. không nhiều hơn 1 lần và mỗi số chứa chữ số 5? Trong các số đó, có bao nhiêu số không chia hết cho 5?
Câu 18: cho 7 chữ số: 1,2,3,4,5,6,7.
a. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho?
b. Trong các số đó, có bao nhiêu số luôn luôn có mặt chữ số 2.
c. Trong các số đó, có bao nhiêu số chia hết cho 5 và luôn có mặt chữ số 2.
Câu 19: cho 8 chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho.
b. Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 2.
c. Trong các số đó, có bao nhiêu số chia hết cho 5.
Câu 20: từ các chữ số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 9 chữ số nếu như không có số nào được lặp lại. trong các số đó, có bao nhiêu số mà các chữ số 1 và 7.
a. Đứng cạnh nhau.
b. Không đứng cạnh nhau.
Câu 21*: cho 8 chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được viết từ 8 chữ số đã cho mà mỗi số luôn có mặt 2 chữ số 1 và 7.
b. Trong đó có bao nhiêu số mà 2 chữ số 1 và 7 đứng kề nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7.
Câu 22: Ông x có 11 người bạn. ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa, trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông x có bao nhiêu cách mời.
Câu 23: Ban chấp hành đoàn trường có 12 người gồm 9 nam và 3 nữ. cần lập ban thường trực gồm 5 người trong đó có ít nhất 1 nữ. hỏi có thể có bao nhiêu cách lập ban thường trực?
Câu 24: với 5 chữ số: 1,2,3,4,5. ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần.
( Gợi ý: là số hoán vị của 8 vật, trong đó có 3 vật giống nhau và 2 vật khác cũng giống nhau ).
Câu 25: Với các chữ số: 0,1,2,3,4,5,6.
a. lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số, chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
b. lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 2 có mặt đúng 3 lần, chữ số 4 có mặt đúng 2 lần các chữ số khác, mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
Câu 26*: ( bài toán tổng quát hoán vị n vật trong đó có n1 vật lặp lại; n2 vật khác lặp lại;… nk vật khác lặp lại )
Có bao nhiêu cách chia n vật khác nhau thành k nhóm mà nhóm thứ nhất có n1 vật, nhóm thứ hai có n2 vật,…. Nhóm thứ k có nk vật và hai nhóm bất kỳ không chứa vật nào chung?
gợi ý:
+ chọn n1 vật trong n vật có bao nhiêu cách chọn?
+ Số vật còn lại sau lần chọn thứ nhất là ( n-n1 )
vậy chọn n2 trong ( n-n1 ) vật có bao nhiêu cách ?
……
cứ như vậy đến k lần.
+ vận dụng quy tắc nhân suy ra kết quả: [Only registered and activated users can see links] 21n_2+%21...n_k+%21%7D%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0
câu 27: tìm số hạng thứ năm của khai triển và tìm số hạng nào chứa z với số mũ tự nhiên.
a. [Only registered and activated users can see links] 5E%7B10%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0
b. [Only registered and activated users can see links] 9%5E%7B13%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Câu 28: tìm hệ số của [Only registered and activated users can see links] trong khai triển biểu thức: [Only registered and activated users can see links] +%7D%7D%29%5E8&bg=ffffff&fg=333333&s=0
Câu 29: từ khai triển biểu thức: [Only registered and activated users can see links] hãy tính tổng các hệ số của đa thức vừa nhận được.
câu 30: hãy khai triển công thức sau:
a. [Only registered and activated users can see links] %7D%29%5E8&bg=ffffff&fg=333333&s=0
b. [Only registered and activated users can see links] sqrt+3++%2B+%5Csqrt+%7B15%7D+%29%5E6&bg=ffffff&fg=333333&s=0
cố gắng hoàn thành 30 bài tập này nhé, toàn bài cơ bản đấy.

[ThanhTam]

một phương pháp giải một số bài toán tổ hợp

bài toán: từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.
b. có bao nhiếu số có 4 chữ số khác nhau và chữ số 1 , 2 luôn có mặt.
c. có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chữ số 1, 2 luôn đứng cạnh nhau.
Giải:
Gọi số đã cho có dạng a1a2a3a4.
a.
+ a1 có 7 cách chọn ( khác 0 ).
+ có [Only registered and activated users can see links] cách chọn 7 số còn lại ( kể cả số 0 ) vào 3 vị trí còn lại.
vậy có : [Only registered and activated users can see links] số có 4 chữ số khác nhau.
b.
* số các số có 4 chữ số luôn có mặt chữ số 1 và 2 ( kể cả chữ số đầu a1=0 ) là:
+ có 4 cách sắp xếp chữ số 1 vào 1 trong 4 vị trí.
+ có 3 cách sắp xếp chữ số 2 vào 1 trong 3 vị trí còn lại.
+ có [Only registered and activated users can see links] cách sắp xếp 6 số còn lại ( kể cả số 0 ) vào 2 vị trí còn lại.
vậy số các số có 4 chữ số luôn có mặt chữ số 1 và 2 ( kể cả chữ số đầu a1=0 ) là: 4.3.[Only registered and activated users can see links]
* số các số luôn có mặt chữ số 1 và 2 nhưng vô nghĩa ( có dạng 0a2a3a4 ) là:
+ a1 có 1 cách chọn ( chữ số 0 ).
+ có 3 cách sắp xếp số 1 vào 3 vị trí khác a1.
+ có 2 cách sắp xếp số 2 vào 1 trong 2 vị trí còn lại.
+ còn 1 vị trí : có [Only registered and activated users can see links] cách sắp xếp.
vậy : số các số luôn có mặt chữ số 1 và 2 nhưng vô nghĩa ( có dạng 0a2a3a4 ) là: 1.3.2[Only registered and activated users can see links]
khi đó số các số luôn có mặt chữ số 1 và 2 có nghĩa ( a1 khác 0 ) = số các số luôn có mặt chữ số 1 và 2 ( kể cả trường hợp a1=0 ) – số các số luôn có mặt chữ số 1 và 2 nhưng vô nghĩa.
vậy: khi đó số các số luôn có mặt chữ số 1 và 2 có nghĩa = 4.3.[Only registered and activated users can see links] – 1.3.2[Only registered and activated users can see links]
c. làm tương tự:
số các số có 1, 2 liền kề có nghĩa ( a1 khác 0 ) = số các số có 1, 2 liền kề kể cả trường hợp a1=0 – số các số có 1, 2 liền kề nhưng vô nghĩa ( a1=0 ).
các bạn làm tương tự phần b để rèn luyện phương pháp này nhé. chúc may mắn.