ThanhTam
27-05-2009, 10:22 AM
[Only registered and activated users can see links]
Tin buồn đối với những ai yêu toán và đặc biệt là những nhà lí thuyết xác xuất khi Kiyoshi Itô, một trong những người hàng đầu trong lĩnh vực giải tích ngẫu nhiên qua đời vào ngày 10-11 vừa qua. Những nghiên cứu chính của ông chủ yếu liên quan đến chuyển động Brownian, phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình khuyết tán và được ứng dụng hết sức rộng rãi trong các lĩnh vực sinh học, điện kỹ thuật, phản ứng hóa học, vật lí lượng tử... Ông đã từng nhận các giải thưởng danh giá như Wolf Prize (1987), the Kyoto Prize (1998), và the Gauss Prize (2006). Thật tình cờ, ngày bắt đầu biết mặt nhà toán học Itô cũng chính là ngày mà ông mất. Một bài viết như một nén nhan viếng nhà toán học tài năng. Bài viết nói về công thức mang tên ông.
Để đi đến công thức Itô mình xin nói qua đôi chút về quá trình ngẫu nhiên và chuyển động brownian. Bài viết có tham khảo bài giảng của GS Dương Minh Đức và bài giảng Lawrence C. Evans khoa toán đại học Berkeley.
Địnhnghĩa 1. Cho(Ω, F, P) là một không gian xác suất, đặt X là tập hợp tất cả các biến số ngẫu nhiên. Cho I là một khoảng trong tập các số thực, T là một ánh xạ từ I vào X. Đặt [Only registered and activated users can see links] với mọi t thuộc I. Ta nói [Only registered and activated users can see links] ight%29%7D%20%5Cright%5C%7D_%7Bt%20%5Cin%20I%7D là một tiến trình ngẫu nhiên.
Thí dụ. Để lập đề án xây dựng một đập thủy điện, chúng ta phải đo lưu lượng nước tại một vị trí nào đó của một dòng sông. Gọi X(t) là lưu lượng tại vị trí đó tại ngày thứ t trong năm. Dĩ nhiên con số X(t) này thay đổi hằng năm, nhưng nếu chúng ta lấy mẫu trong vài mươi năm (ký hiệu tập hợp các năm này là Ω), chúng ta có thể chấp nhận X(t)(Ω) = [ [Only registered and activated users can see links] ] với hàm phân phối [Only registered and activated users can see links] và hàm mật độ [Only registered and activated users can see links]
Lúc đó ta có một tiến trình ngẫu nhiên [Only registered and activated users can see links] thay vì một hàm số thực t→X(t). Như vậy chúng ta phải mô hình nhiều bài toán với các phương trình ngẩu nhiên.
Định nghĩa 2: Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, cho X là một ánh xạ từ [0,∞) vào tập hợp các biến ngẫu nhiên trong (Ω, F, P) có các tính chất sau:
(i) X(0) = 0
(ii) Nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] là phân phối chuẩn [Only registered and activated users can see links]
(iii) Nếu [Only registered and activated users can see links] 0%3C%20t_n thì họ [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links] độc lập.
Lúc đó [Only registered and activated users can see links] được gọi là một tiến trình Wiener hay một chuyển động Brownian.
Địnhnghĩa 3. Cho [Only registered and activated users can see links] là một tiến trình Wiener trong một không gian xác suất (Ω, F, P). Cho một số thực không âm r, ta đặt
(i) [Only registered and activated users can see links] là σ-đại số nhỏ nhất chứa các tập [Only registered and activated users can see links] , với mọi [Only registered and activated users can see links] và mọi tập mở U trong [Only registered and activated users can see links] Ta gọi [Only registered and activated users can see links] là lịch sử của tiến trình Wiener [Only registered and activated users can see links] cho đến thời điểm r.
(ii) [Only registered and activated users can see links] là σ-đại số nhỏ nhất chứa các tập [Only registered and activated users can see links] , với mọi [Only registered and activated users can see links] và mọi tập mở U trong R. Ta gọi [Only registered and activated users can see links] là tương lai của tiến trình Wiener [Only registered and activated users can see links] kể từ thời điểm r.
Địnhnghĩa 4. Cho [Only registered and activated users can see links] là một tiến trình Wiener trong một không gian xác suất (Ω, F, P). Cho một họ σ-đại số [Only registered and activated users can see links] trên Ω sao cho [Only registered and activated users can see links] với mọi t. Ta nói họ [Only registered and activated users can see links] nonanticipating đối với [Only registered and activated users can see links]ếu
(i) [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links]
(ii) [Only registered and activated users can see links] với mọi [Only registered and activated users can see links] ,
(iii) A (t) độc lập [Only registered and activated users can see links] với mọi t ≥ 0 .
Lúc đó một tiến trình ngẫu nhiên [Only registered and activated users can see links] trên (Ω, F, P), được gọi là nonanticipating đối với {A (t)}nếu X(t) đo được trên (Ω, A(t)) với mọi [Only registered and activated users can see links] .
Định nghĩa 5: Chúng ta kí hiệu [Only registered and activated users can see links] là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên thực G(t) thảo mãn
[Only registered and activated users can see links] p%20dt%7D%20%29%20%3C%20%5Cinfty
Định nghĩa 6: Một quá trình ngẫu nhiên [Only registered and activated users can see links] gọi là đơn giản nếu tồn tại [Only registered and activated users can see links] ..%3C%20t_m%20=%20T%7D sao cho
[Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links]
Định nghĩa 7. Cho [Only registered and activated users can see links] là một quá trình ngẫu nhiên đơn giản. Khi đó
[Only registered and activated users can see links] 20%5Csum%5Climits_%7Bk%20=%200%7D%5E%7Bm%20-%201%7D%20%7BG_k%20%28%7B%5Crm%7BW%7D%7D%28t_%7Bk% 20+%201%7D%20%29%20-%20%7B%5Crm%7BW%7D%7D%28t_k%20%29%29%7D
là tích phân ngẫu nhiên Itô G trên khoảng (0, T) đối với quá trình Wiener W.
Chú ý: 1) Tích phân Itô có tính chất cộng tính
2) Kì vọng của tích phân Itô bằng 0
3) Tập hợp các quá trình đơn giản trong [Only registered and activated users can see links] trù mật trong không gian này. Điều này dẫn đến định nghĩa tích phân Itô cho các quá trình thuộc không gian [Only registered and activated users can see links]
Định nghĩa 8: Cho [Only registered and activated users can see links] là một quá trình ngẫu nhiên thực thỏa mãn
[Only registered and activated users can see links] mits_s%5Er%20%7BFdt%7D%20%20+%20%5Cint%5Climits_s% 5Er%20%7BGd%7B%5Crm%7BW%7D%7D%7D
Trong đó [Only registered and activated users can see links] _2%280,T%29 và với mọi [Only registered and activated users can see links] Chúng ta nói [Only registered and activated users can see links] có vi phân ngẫu nhiên
[Only registered and activated users can see links]
đối với [Only registered and activated users can see links]
Công thức Itô: Giả sử quá trình X(t) có vi phân ngẫu nhiên
[Only registered and activated users can see links]
với [Only registered and activated users can see links] _2%280,T%29. Hàm số [Only registered and activated users can see links] 5B%7D%7D0,T%7B%5Crm%7B%5D%7D%7D%20%5Cto%20R liên tục và [Only registered and activated users can see links] Cpartial%20t%7D%7D,%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20u%7D% 7D%7B%7B%5Cpartial%20x%7D%7D,%5Cfrac%7B%7B%5Cparti al%20%5E2%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%5E2%20%7D% 7D tồn tại và liên tục.
Giả sử:
[Only registered and activated users can see links]
Khi đó Y có vi phân ngẫu nhiên
[Only registered and activated users can see links] D%7B%7B%5Cpartial%20t%7D%7Ddt%20+%20%5Cfrac%7B%7B% 5Cpartial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%7D%7DdX%20 +%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%2 0%5E2%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%5E2%20%7D%7DG% 5E2%20dt%20=%20%5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpar tial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20t%7D%7D%20+%20%5C frac%7B%7B%5Cpartial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x %7D%7DF%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%7B%5 Cpartial%20%5E2%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%5E2% 20%7D%7DG%5E2%20%7D%20%5Cright%29dt%20+%20%5Cfrac% 7B%7B%5Cpartial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%7D%7 DGdW
Công thức này gọi là công thức Itô
Theo Nguyên Ngọc - Mathvn.org
Tin buồn đối với những ai yêu toán và đặc biệt là những nhà lí thuyết xác xuất khi Kiyoshi Itô, một trong những người hàng đầu trong lĩnh vực giải tích ngẫu nhiên qua đời vào ngày 10-11 vừa qua. Những nghiên cứu chính của ông chủ yếu liên quan đến chuyển động Brownian, phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình khuyết tán và được ứng dụng hết sức rộng rãi trong các lĩnh vực sinh học, điện kỹ thuật, phản ứng hóa học, vật lí lượng tử... Ông đã từng nhận các giải thưởng danh giá như Wolf Prize (1987), the Kyoto Prize (1998), và the Gauss Prize (2006). Thật tình cờ, ngày bắt đầu biết mặt nhà toán học Itô cũng chính là ngày mà ông mất. Một bài viết như một nén nhan viếng nhà toán học tài năng. Bài viết nói về công thức mang tên ông.
Để đi đến công thức Itô mình xin nói qua đôi chút về quá trình ngẫu nhiên và chuyển động brownian. Bài viết có tham khảo bài giảng của GS Dương Minh Đức và bài giảng Lawrence C. Evans khoa toán đại học Berkeley.
Địnhnghĩa 1. Cho(Ω, F, P) là một không gian xác suất, đặt X là tập hợp tất cả các biến số ngẫu nhiên. Cho I là một khoảng trong tập các số thực, T là một ánh xạ từ I vào X. Đặt [Only registered and activated users can see links] với mọi t thuộc I. Ta nói [Only registered and activated users can see links] ight%29%7D%20%5Cright%5C%7D_%7Bt%20%5Cin%20I%7D là một tiến trình ngẫu nhiên.
Thí dụ. Để lập đề án xây dựng một đập thủy điện, chúng ta phải đo lưu lượng nước tại một vị trí nào đó của một dòng sông. Gọi X(t) là lưu lượng tại vị trí đó tại ngày thứ t trong năm. Dĩ nhiên con số X(t) này thay đổi hằng năm, nhưng nếu chúng ta lấy mẫu trong vài mươi năm (ký hiệu tập hợp các năm này là Ω), chúng ta có thể chấp nhận X(t)(Ω) = [ [Only registered and activated users can see links] ] với hàm phân phối [Only registered and activated users can see links] và hàm mật độ [Only registered and activated users can see links]
Lúc đó ta có một tiến trình ngẫu nhiên [Only registered and activated users can see links] thay vì một hàm số thực t→X(t). Như vậy chúng ta phải mô hình nhiều bài toán với các phương trình ngẩu nhiên.
Định nghĩa 2: Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, cho X là một ánh xạ từ [0,∞) vào tập hợp các biến ngẫu nhiên trong (Ω, F, P) có các tính chất sau:
(i) X(0) = 0
(ii) Nếu [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] là phân phối chuẩn [Only registered and activated users can see links]
(iii) Nếu [Only registered and activated users can see links] 0%3C%20t_n thì họ [Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links] độc lập.
Lúc đó [Only registered and activated users can see links] được gọi là một tiến trình Wiener hay một chuyển động Brownian.
Địnhnghĩa 3. Cho [Only registered and activated users can see links] là một tiến trình Wiener trong một không gian xác suất (Ω, F, P). Cho một số thực không âm r, ta đặt
(i) [Only registered and activated users can see links] là σ-đại số nhỏ nhất chứa các tập [Only registered and activated users can see links] , với mọi [Only registered and activated users can see links] và mọi tập mở U trong [Only registered and activated users can see links] Ta gọi [Only registered and activated users can see links] là lịch sử của tiến trình Wiener [Only registered and activated users can see links] cho đến thời điểm r.
(ii) [Only registered and activated users can see links] là σ-đại số nhỏ nhất chứa các tập [Only registered and activated users can see links] , với mọi [Only registered and activated users can see links] và mọi tập mở U trong R. Ta gọi [Only registered and activated users can see links] là tương lai của tiến trình Wiener [Only registered and activated users can see links] kể từ thời điểm r.
Địnhnghĩa 4. Cho [Only registered and activated users can see links] là một tiến trình Wiener trong một không gian xác suất (Ω, F, P). Cho một họ σ-đại số [Only registered and activated users can see links] trên Ω sao cho [Only registered and activated users can see links] với mọi t. Ta nói họ [Only registered and activated users can see links] nonanticipating đối với [Only registered and activated users can see links]ếu
(i) [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] nếu [Only registered and activated users can see links]
(ii) [Only registered and activated users can see links] với mọi [Only registered and activated users can see links] ,
(iii) A (t) độc lập [Only registered and activated users can see links] với mọi t ≥ 0 .
Lúc đó một tiến trình ngẫu nhiên [Only registered and activated users can see links] trên (Ω, F, P), được gọi là nonanticipating đối với {A (t)}nếu X(t) đo được trên (Ω, A(t)) với mọi [Only registered and activated users can see links] .
Định nghĩa 5: Chúng ta kí hiệu [Only registered and activated users can see links] là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên thực G(t) thảo mãn
[Only registered and activated users can see links] p%20dt%7D%20%29%20%3C%20%5Cinfty
Định nghĩa 6: Một quá trình ngẫu nhiên [Only registered and activated users can see links] gọi là đơn giản nếu tồn tại [Only registered and activated users can see links] ..%3C%20t_m%20=%20T%7D sao cho
[Only registered and activated users can see links] với [Only registered and activated users can see links]
Định nghĩa 7. Cho [Only registered and activated users can see links] là một quá trình ngẫu nhiên đơn giản. Khi đó
[Only registered and activated users can see links] 20%5Csum%5Climits_%7Bk%20=%200%7D%5E%7Bm%20-%201%7D%20%7BG_k%20%28%7B%5Crm%7BW%7D%7D%28t_%7Bk% 20+%201%7D%20%29%20-%20%7B%5Crm%7BW%7D%7D%28t_k%20%29%29%7D
là tích phân ngẫu nhiên Itô G trên khoảng (0, T) đối với quá trình Wiener W.
Chú ý: 1) Tích phân Itô có tính chất cộng tính
2) Kì vọng của tích phân Itô bằng 0
3) Tập hợp các quá trình đơn giản trong [Only registered and activated users can see links] trù mật trong không gian này. Điều này dẫn đến định nghĩa tích phân Itô cho các quá trình thuộc không gian [Only registered and activated users can see links]
Định nghĩa 8: Cho [Only registered and activated users can see links] là một quá trình ngẫu nhiên thực thỏa mãn
[Only registered and activated users can see links] mits_s%5Er%20%7BFdt%7D%20%20+%20%5Cint%5Climits_s% 5Er%20%7BGd%7B%5Crm%7BW%7D%7D%7D
Trong đó [Only registered and activated users can see links] _2%280,T%29 và với mọi [Only registered and activated users can see links] Chúng ta nói [Only registered and activated users can see links] có vi phân ngẫu nhiên
[Only registered and activated users can see links]
đối với [Only registered and activated users can see links]
Công thức Itô: Giả sử quá trình X(t) có vi phân ngẫu nhiên
[Only registered and activated users can see links]
với [Only registered and activated users can see links] _2%280,T%29. Hàm số [Only registered and activated users can see links] 5B%7D%7D0,T%7B%5Crm%7B%5D%7D%7D%20%5Cto%20R liên tục và [Only registered and activated users can see links] Cpartial%20t%7D%7D,%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20u%7D% 7D%7B%7B%5Cpartial%20x%7D%7D,%5Cfrac%7B%7B%5Cparti al%20%5E2%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%5E2%20%7D% 7D tồn tại và liên tục.
Giả sử:
[Only registered and activated users can see links]
Khi đó Y có vi phân ngẫu nhiên
[Only registered and activated users can see links] D%7B%7B%5Cpartial%20t%7D%7Ddt%20+%20%5Cfrac%7B%7B% 5Cpartial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%7D%7DdX%20 +%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%2 0%5E2%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%5E2%20%7D%7DG% 5E2%20dt%20=%20%5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpar tial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20t%7D%7D%20+%20%5C frac%7B%7B%5Cpartial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x %7D%7DF%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%7B%5 Cpartial%20%5E2%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%5E2% 20%7D%7DG%5E2%20%7D%20%5Cright%29dt%20+%20%5Cfrac% 7B%7B%5Cpartial%20u%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20x%7D%7 DGdW
Công thức này gọi là công thức Itô
Theo Nguyên Ngọc - Mathvn.org