ThanhTam
27-05-2009, 10:23 AM
[Only registered and activated users can see links]
Ảnh minh họa.
Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, là để lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit. Một hàm mũ tổng quát y=a^x có đạo hàm dưới dạng giới hạn:
[Only registered and activated users can see links]ới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và do đó e được định nghĩa bởi phương trình:
[Only registered and activated users can see links] đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp phù hợp để làm giải tích. Chọn e, không như một số số khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều.
Một lý do khác đến từ việc xét cơ số logarit ([Only registered and activated users can see links]) a. Xét định nghĩa của đạo hàm của logax bởi giới hạn: [Only registered and activated users can see links] Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một. Vậy [Only registered and activated users can see links] trong trường hợp đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên ([Only registered and activated users can see links]) (thường được kí hiệu là "ln"), và nó cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán.
Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số ax là ax. Một cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a là 1/x. Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận tiện để làm giải tích. Thực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác nhau này lại chỉ là một, số e.
Các đặc điểm khác
Một số đặc điểm khác của số e: một là về giới hạn dãy ([Only registered and activated users can see links]), một cái khác là về chuỗi vô hạn ([Only registered and activated users can see links]), và vẫn còn một số khác về tích phân ([Only registered and activated users can see links]). Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chât:
1. Số e là số thực ([Only registered and activated users can see links]) dương duy nhất mà : Đạo hàm ([Only registered and activated users can see links]) của hàm số mũ ([Only registered and activated users can see links]) cơ số e chính là hàm số đó
[Only registered and activated users can see links] 2. Số e là số thực dương duy nhất mà
[Only registered and activated users can see links] Các tính chất khác sau đây cũng được chứng minh là tương đương:
3. Số e là giới hạn ([Only registered and activated users can see links])
[Only registered and activated users can see links]
4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn ([Only registered and activated users can see links]) trong đó n! là giai thừa ([Only registered and activated users can see links]) của n.
[Only registered and activated users can see links]
5. Số e là số thực dương duy nhất mà
[Only registered and activated users can see links] (nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol ([Only registered and activated users can see links]) f(t) = 1 / t từ 1 tới e là bằng một)
Sưu tầm
Ảnh minh họa.
Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, là để lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit. Một hàm mũ tổng quát y=a^x có đạo hàm dưới dạng giới hạn:
[Only registered and activated users can see links]ới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và do đó e được định nghĩa bởi phương trình:
[Only registered and activated users can see links] đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp phù hợp để làm giải tích. Chọn e, không như một số số khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều.
Một lý do khác đến từ việc xét cơ số logarit ([Only registered and activated users can see links]) a. Xét định nghĩa của đạo hàm của logax bởi giới hạn: [Only registered and activated users can see links] Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một. Vậy [Only registered and activated users can see links] trong trường hợp đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên ([Only registered and activated users can see links]) (thường được kí hiệu là "ln"), và nó cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán.
Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số ax là ax. Một cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a là 1/x. Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận tiện để làm giải tích. Thực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác nhau này lại chỉ là một, số e.
Các đặc điểm khác
Một số đặc điểm khác của số e: một là về giới hạn dãy ([Only registered and activated users can see links]), một cái khác là về chuỗi vô hạn ([Only registered and activated users can see links]), và vẫn còn một số khác về tích phân ([Only registered and activated users can see links]). Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chât:
1. Số e là số thực ([Only registered and activated users can see links]) dương duy nhất mà : Đạo hàm ([Only registered and activated users can see links]) của hàm số mũ ([Only registered and activated users can see links]) cơ số e chính là hàm số đó
[Only registered and activated users can see links] 2. Số e là số thực dương duy nhất mà
[Only registered and activated users can see links] Các tính chất khác sau đây cũng được chứng minh là tương đương:
3. Số e là giới hạn ([Only registered and activated users can see links])
[Only registered and activated users can see links]
4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn ([Only registered and activated users can see links]) trong đó n! là giai thừa ([Only registered and activated users can see links]) của n.
[Only registered and activated users can see links]
5. Số e là số thực dương duy nhất mà
[Only registered and activated users can see links] (nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol ([Only registered and activated users can see links]) f(t) = 1 / t từ 1 tới e là bằng một)
Sưu tầm