ThanhTam
27-05-2009, 10:24 AM
[Only registered and activated users can see links]
Ảnh minh họa.
Bài viết đề cập tới các cấu trúc đại số có ý nghĩa quan trọng trong các phân tích tập hợp . Định nghĩa. Cấu trúc đại số.
Một cấu trúc đại số là một tập hợp được hình thành bởi một hay nhiều tập [Only registered and activated users can see links] trong đó chứa các phần tử và một tập các toán tử [Only registered and activated users can see links] được định nghĩa trên các tập [Only registered and activated users can see links] Ta có thể ký hiệu cấu trúc đại số [Only registered and activated users can see links] một cách tổng quát là [Only registered and activated users can see links]
Rõ ràng ta thấy rằng các toán tử [Only registered and activated users can see links] trong định nghĩa trên chẳng qua chính là các hàm định nghĩa trên tích Đề-các của một số tập, và nhận giá trị trong một tập khác có thể là một trong các tập đã nói đến hoặc không. Với một tập [Only registered and activated users can see links] và luật trong [Only registered and activated users can see links]* thỏa mãn điều kiện của một cấu trúc đại số, ta sẽ ký hiệu cấu trúc đại số là [Only registered and activated users can see links]*%29.
Chúng ta cũng lưu ý sự khác biệt giữa cấu trúc đại số và khái niệm hàm đại số vẫn gặp ở môn toán bậc phổ thông.
Nhóm
Trước tiên, hiểu sơ lược rằng nhóm là một cấu trúc đại số được xác định bởi ba tính chất tiêu biểu là (i) tính kết hợp; (ii) tồn tại của một phần tử trung tính, và phần tử đối xứng. Tính chất kết hợp đã được nghiên cứu ở trên. Tiếp theo, chúng ta xem xét hai tính chất khác của nhóm.
Các khái niệm xung quanh nhóm
Dưới đây là một số khái niệm quan trọng bổ sung kiến thức cho chúng ta về tính chất của các cấu trúc đại số.
Phần tử trung tính của luật trong
Định nghĩa dưới đây mô tả tính chất rõ nét nhất của phần tử trung tính, thường tương ứng với số [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] trong luật hợp thành trong toán tử nhân và cộng.
Định nghĩa. Phần tử trung tính [Only registered and activated users can see links]
Phần tử [Only registered and activated users can see links] được gọi là phần tử trung tính của luật hợp thành trong [Only registered and activated users can see links]* định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] nếu nó thỏa mãn điều kiện
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20x%5Cin%20X,%5Cexists%20%5Cmathbf%7B e%7D%5Cin%20X%5C;%5Ctextrm%7Bsao%5C;cho%5C;%7Dx*%5 Cmathbf%7Be%7D=x=%5Cmathbf%7Be%7D*x.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation%7D%3Cbr%20/%3E
Rõ ràng nếu [Only registered and activated users can see links] tồn tại, thì nó là duy nhất. Ví dụ phần tử [Only registered and activated users can see links] này là số [Only registered and activated users can see links] đối với phép nhân [Only registered and activated users can see links] (hoặc [Only registered and activated users can see links]) với các số thực [Only registered and activated users can see links] Ta thấy ngay phép nhân số thực bất kỳ với [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E1%5Ccdot%20x%20=%20x%20=%20x%5Ccdot%201,%5Cfora ll%20x%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Một ví dụ khác là số [Only registered and activated users can see links] với phép cộng các số thực, [Only registered and activated users can see links] thông qua biểu thức
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E0+x=x=x+0.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Phần tử đối xứng hay nghịch đảo
Định nghĩa . Phần tử đối xứng.
Cho [Only registered and activated users can see links]*%29. Phần tử đối xứng, hay nghịch đảo, của [Only registered and activated users can see links] trong tương quan với luật hợp thành [Only registered and activated users can see links]*, ký hiệu là [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn điều kiện sau
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cexists%5Cmathbf%7Be%7D%5C;%5Ctextrm%7Band%7D %5C;%5Coverline%7Bx%7D*x=%5Cmathbf%7Be%7D=x*%5Cove rline%7Bx%7D.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Đối với hệ thống số thực, xét [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] như hai phần tử trung tính, ta có thể thu được các phần tử đối xứng với [Only registered and activated users can see links] qua luật hợp thành trong [Only registered and activated users can see links] (cũng thường được ký hiệu theo cách khác là [Only registered and activated users can see links]) và [Only registered and activated users can see links] lần lượt là:
[Only registered and activated users can see links] với tính chất [Only registered and activated users can see links]
[ii.] [Only registered and activated users can see links] với tính chất [Only registered and activated users can see links]
[I]Chứng minh.
Nếu từng phần tử [Only registered and activated users can see links] đều có phần tử nghịch đảo tương ứng [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links]*y có một phần tử nghịch đảo duy nhất chính là [Only registered and activated users can see links]*%5Coverline%7By%7D.
Nhóm
Sau khi trang bị một cấu trúc [Only registered and activated users can see links]*%29 như trên, chúng ta sẽ định nghĩa nhóm như sau.
Định nghĩa . Cho cấu trúc đại số [Only registered and activated users can see links]*%29, bao gồm tập [Only registered and activated users can see links] đóng đối với luật hợp thành trong [Only registered and activated users can see links]*. [Only registered and activated users can see links]*%29 được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
[Only registered and activated users can see links]* có tính chất kết hợp;
[Only registered and activated users can see links] hbf%7Be%7D; và,
[Only registered and activated users can see links] rline%7Bx%7D.
Theo định nghĩa này, ta sẽ đưa ra một số ví dụ về cấu trúc đại số là nhóm và không phải nhóm dưới đây.
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] là một nhóm.
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] không là nhóm.
[Only registered and activated users can see links] Định nghĩa tập [Only registered and activated users can see links] %7BR%7D%5Csetminus%5C%7B0%5C%7D, thì [Only registered and activated users can see links] es%29 là một nhóm.
Nhóm giao hoán
Ta biết rằng nếu [Only registered and activated users can see links]*y=y*x thì hai phần tử này được gọi là có tính thể hoán vị. Khi luật trong [Only registered and activated users can see links]* thỏa mãn điều kiện
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20X%5Ctimes%20X,%20x *y=y*x%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
thì [Only registered and activated users can see links]* có tính chất giao hoán.
Định nghĩa . Nhóm giao hoán.
Cho [Only registered and activated users can see links]*%29 là một nhóm. Nếu luật trong [Only registered and activated users can see links]* có tính chất giao hoán, thì [Only registered and activated users can see links]*%29 được gọi là nhóm giao hoán.
Định lý. Luật trong không giao hoán. Một luật trong [Only registered and activated users can see links]* không giao hoán nếu chỉ tồn tại một cặp [Only registered and activated users can see links] bất kỳ sao cho [Only registered and activated users can see links]*y%5Cneq%20y*x.
Một số ví dụ minh họa.
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] es%29 là các nhóm giao hoán.
[Only registered and activated users can see links] Hàm hợp thành từ các ánh xạ không giao hoán. Giả sử cho [Only registered and activated users can see links] và hai song ánh [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] Ta thấy [Only registered and activated users can see links] %5D=f%281%29=2, và [Only registered and activated users can see links] %5D=g%282%29=3. Như vậy [Only registered and activated users can see links] %20f%5D.
Giả sử ta định nghĩa phép cộng từng phần tử của hai cặp số thực như sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%28x_1,x_2%29+%28y_1,y_2%29%20=%20%28x_1+y_1,x_ 2+y_2%29,%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
và phép cộng này là luật hợp thành trong của [Only registered and activated users can see links] 7D. Luật trong này có tính chất giao hoán. Ta cũng có phần tử trung tính với phép cộng này là [Only registered and activated users can see links] Phần tử đối xứng với mọi cặp [Only registered and activated users can see links] chính là [Only registered and activated users can see links] Bên cạnh đó [Only registered and activated users can see links] từng phần tử có thể thấy rõ là có tính kết hợp.
Chứng minh. [Only registered and activated users can see links] 7D với luật trong cộng từng phần tử của các cặp số là một nhóm giao hoán.
Nhóm cộng tính
Chứng minh . [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] là tập hợp chứa các bộ [Only registered and activated users can see links]ố thực trên đó xác định phép cộng từng phần tử giữa các cặp định nghĩa như sau
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%28x_1,x_2,%5Cdots,x_k%29%20+%20%28y_1,y_2,%5Cd ots,y_k%29%20=%20%28x_1+y_1,x_2+y_2,%5Cdots,x_k+y_ k%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
chính là một nhóm giao hoán.
Chứng minh. [Only registered and activated users can see links]
Cho tập [Only registered and activated users can see links] Tập [Only registered and activated users can see links] là tập chứa các ánh xạ [Only registered and activated users can see links] trên đó xác định một phép cộng gọi là cộng ảnh như sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20x%5Cin%20X,%5Bf+g%5D%28x%29=f%28x%2 9+g%28x%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
chính là một nhóm giao hoán.
Chứng minh. Ta biết rằng luật trong [Only registered and activated users can see links] định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5B%28f+g%29+h%5D%28x%29&=&%20%5Bf+g%5D%28x%29+h%28x%29=f%28x%29+g%28x%29+h%2 8x%29%5C%3Cbr%20/%3E&=&%20f%28x%29+%5Bg+h%5D%28x%29=%5Bf+%28g+h%29%5D%28x %29.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Beqnarray*%7D%3Cbr%20/%3E
Ngoài ra ta cũng có các tính chất
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Bf+g%5D%28x%29%20=%20f%28x%29+g%28x%29=%5Bg+f %5D%28x%29%20%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cbegin%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Bf+0%5D%28x%29%20=%20f%28x%29+0%20=%20f%28x%2 9%20%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cbegin%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Bf-f%5D%28x%29%20=%20f%28x%29-f%28x%29=0=%5B0%5D%28x%29%20%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Trong đó [Only registered and activated users can see links] là một ánh xạ không đổi. Như vậy định đề đã được chứng minh.
Ví dụ [Only registered and activated users can see links]
Tập hợp [Only registered and activated users can see links] gồm các chuỗi số thực trên đó định nghĩa phép cộng trên từng phần tử của chuỗi:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%28x_n,n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%29+%28y_n,n%5Cin% 5Cmathbb%7BN%7D%29=%28x_n+y_n,n%5Cin%5Cmathbb%7BN% 7D%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
là một nhóm giao hoán.
Định đề tổng quát
Ta sẽ tổng quát hóa định đề về hợp thành các ánh xạ qua hợp thành các ảnh thành tập [Only registered and activated users can see links] chứa các ánh xạ [Only registered and activated users can see links] và phát biểu định đề dưới đây.
Định đề. [Only registered and activated users can see links]
Cho tập [Only registered and activated users can see links] và nhóm [Only registered and activated users can see links]*%29. Tập [Only registered and activated users can see links] chứa các ánh xạ [Only registered and activated users can see links] trên đó định nghĩa luật hợp thành trong là hợp thành của các ảnh theo cách sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20x%5Cin%20X,%20%5Bf*g%5D%28x%29%20=% 20f%28x%29*g%28*%29.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
[Only registered and activated users can see links] là một nhóm. Nếu [Only registered and activated users can see links] là nhóm giao hoán, thì [Only registered and activated users can see links] cũng là nhóm giao hoán.
Chứng minh tương tự theo cách của định đề đã phát biểu trước đó.
Nhóm con
Ràng buộc của một luật hợp thành trong ([Only registered and activated users can see links])hoặc qui nạp
Cho tập con [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] Ràng buộc đối với các phần tử thuộc [Only registered and activated users can see links] của một luật trong [Only registered and activated users can see links]* định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] xác định một luật trong trên [Only registered and activated users can see links] nếu và chỉ nếu hợp thành của hai phần tử nào đó thuộc [Only registered and activated users can see links] là một phần tử thuộc [Only registered and activated users can see links] nghĩa là
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20A%5Ctimes%20A,%20x *y%5Cin%20A.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Nếu luật hợp thành trong trên [Only registered and activated users can see links] có tính chất kết hợp, thì ràng buộc của nó trên [Only registered and activated users can see links] cũng có tính chất này. Tương tự với tính chất giao hoán.
Nhóm con
Cho nhóm [Only registered and activated users can see links]*%29, và [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] được gọi là nhóm con nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) Ràng buộc của một luật định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] là một luật trên [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20G%5E2_S,%20x*y%5Ci n%20G_S%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
(2) [Only registered and activated users can see links]*%29 là một nhóm.
Định đề. Điều kiện cần và đủ để một tập con [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con là:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20G%5E2_S,%20x*%5Cov erline%7By%7D%5Cin%20G_S%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
trong đó [Only registered and activated users can see links] là phần tử đối xứng của [Only registered and activated users can see links] trong [Only registered and activated users can see links]
Chứng minh.
Điều kiện cần. Cho [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là nhóm con. Phần tử [Only registered and activated users can see links] có một phần tử đối xứng [Only registered and activated users can see links] và nó cũng là phần tử đối xứng của [Only registered and activated users can see links] trong tập [Only registered and activated users can see links] do tính chất duy nhất của tính đối xứng. Ta có thể rút ra được [Only registered and activated users can see links]*%5Coverline%7By%7D%5Cin%20G_S.
Điều kiện đủ. Giả sử rằng [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] *%5Coverline%7By%7D%5Cin%20G_S. Do giả thiết rằng [Only registered and activated users can see links] chứa ít nhất một phần tử [Only registered and activated users can see links] do đó [Only registered and activated users can see links] và suy ra [Only registered and activated users can see links]*%5Coverline%7Bx%7D% 5Cin%20G_S. Ta qui nạp rằng [Only registered and activated users can see links] bf%7Be%7D,x%29%5Cin%20G%5E2_S và [Only registered and activated users can see links]*%5 Coverline%7Bx%7D%5Cin%20G_S. Tiếp theo, nếu [Only registered and activated users can see links] thì suy ra [Only registered and activated users can see links] 2_S, [Only registered and activated users can see links]*y%5Cin%20G_S. Ta đã chỉ ra rằng ràng buộc của luật trên [Only registered and activated users can see links] đối với [Only registered and activated users can see links] là luật trong trên [Only registered and activated users can see links] vì thế [Only registered and activated users can see links] luôn có một phần tử đối xứng qua [Only registered and activated users can see links]* là [Only registered and activated users can see links] Như vậy, [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links] theo định nghĩa.
Một số tính chất của nhóm con
Một số tính chất phổ biến của nhóm con là:
(1) Nhóm con của nhóm giao hoán có tính chất giao hoán.
(2) Phần tử trung tính [Only registered and activated users can see links] nằm trong tất cả các nhóm con [Only registered and activated users can see links]
(3) Giao của các nhóm con của [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links]
Đẳng cấu của các nhóm
Định nghĩa . Đồng phôi(Đây là khái niệm có xuất xứ từ âm tiếng Anh của từ morphologic có nghĩa là liên quan đến cách thức cấu tạo. Ở đây, cấu tạo hiểu theo nghĩa phương thức hợp thành nên ảnh qua ánh xạ.)
Cho hai nhóm [Only registered and activated users can see links]*%29 và [Only registered and activated users can see links]**%29. Ta định nghĩa đồng phôi của các nhóm này là một ánh xạ [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn điều kiện sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20G%5E2,f%28x*y%29=f %28x%29**f%28y%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Một đẳng cấu [Only registered and activated users can see links] từ [Only registered and activated users can see links] trên [Only registered and activated users can see links] là song ánh của [Only registered and activated users can see links] trên [Only registered and activated users can see links] mà chính nó là một đồng phôi.
Các tính chất quan trọng
Giả sử chúng ta có một đẳng cấu [Only registered and activated users can see links] của các nhóm từ tập [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] ta tiếp cho [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là các phần tử có quan hệ như sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3Eu=f%28x%29,v=f%28y%29%5Cquad%20x=f%5E%7B-1%7D%28u%29,y=f%5E%7B-1%7D%28v%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Các tính chất dưới đây có ý nghĩa quan trọng đối với việc xem xét quan hệ giữa các toán tử hai ngôi [Only registered and activated users can see links]* và [Only registered and activated users can see links]** định nghĩa lần lượt trên [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
(1) Ánh xạ nghịch [Only registered and activated users can see links] là một đẳng cấu từ [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] Nghĩa là với giả định [Only registered and activated users can see links] ta có [Only registered and activated users can see links]*y%29=u**v, do đó [Only registered and activated users can see links]*f%5E%7B-1%7D%28v%29=x*y=f%5E%7B-1%7D%28u**v%29. Khi tồn tại cả [Only registered and activated users can see links] lẫn [Only registered and activated users can see links] và chúng đều là đẳng cấu lần lượt từ [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] được gọi là hai nhóm đẳng cấu.
(2) Cho [Only registered and activated users can see links] là hai nhóm đẳng cấu, nếu một trong hai là nhóm giao hoán, thì nhóm kia cũng là nhóm giao hoán. Như vậy, giả sử [Only registered and activated users can see links] là nhóm giao hoán, thì [Only registered and activated users can see links] %20H, ta có [Only registered and activated users can see links]**v=f%28x*y%29=f%28y*x%29=v**u. Điều này hoàn toàn có thể cảm nhận trực quan.
(3) Ảnh của một phần tử trung tính qua một đẳng cấu chính là phần tử trung tính của ảnh. Ảnh của một phần tử đối xứng qua đẳng cấu chính là phần tử nghịch đảo của ảnh. Nghĩa là, [Only registered and activated users can see links] D%5Cin%20G
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3Eu**f%28%5Cmathbf%7Be%7D=f%28x*%5Cmathbf%7Be%7D% 29=f%28x%29=u%5C;%5Ctextrm%7Band%7D%20f%28%5Cmathb f%7Be%7D%29**u=f%28%5Cmathbf%7Be%7D*x%29=f%28x%29= u.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
(4) Tập ảnh qua [Only registered and activated users can see links] của một nhóm con [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links]
Một số ví dụ
Một số ví dụ sau sẽ minh họa cho các khái niệm trừu vừa đề cập tới ở phần trên.
Ánh xạ đổi dấu [Only registered and activated users can see links] w%20-x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D là một đẳng cấu từ [Only registered and activated users can see links] lên chính nó.
Ánh xạ [Only registered and activated users can see links] ongrightarrow%201/x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5E%5Cbullet là một đẳng cấu từ [Only registered and activated users can see links] lên chính nó.
Tập [Only registered and activated users can see links] llet;%5Cexists%20p%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D,x=2%5Ep%5C %7D là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links] t%29.
Hàm lô-ga-rít nê-pê (cơ số tự nhiên) [Only registered and activated users can see links] là một song ánh từ [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn điều kiện [Only registered and activated users can see links] 5Cln%28y%29. Nó chính là một đẳng cấu từ nhóm [Only registered and activated users can see links] dot%29 lên nhóm cộng tính [Only registered and activated users can see links] Hàm nghịch của nó, tức là hàm mũ là đẳng cấu theo chiều ngược lại.
Theo SAGA
Ảnh minh họa.
Bài viết đề cập tới các cấu trúc đại số có ý nghĩa quan trọng trong các phân tích tập hợp . Định nghĩa. Cấu trúc đại số.
Một cấu trúc đại số là một tập hợp được hình thành bởi một hay nhiều tập [Only registered and activated users can see links] trong đó chứa các phần tử và một tập các toán tử [Only registered and activated users can see links] được định nghĩa trên các tập [Only registered and activated users can see links] Ta có thể ký hiệu cấu trúc đại số [Only registered and activated users can see links] một cách tổng quát là [Only registered and activated users can see links]
Rõ ràng ta thấy rằng các toán tử [Only registered and activated users can see links] trong định nghĩa trên chẳng qua chính là các hàm định nghĩa trên tích Đề-các của một số tập, và nhận giá trị trong một tập khác có thể là một trong các tập đã nói đến hoặc không. Với một tập [Only registered and activated users can see links] và luật trong [Only registered and activated users can see links]* thỏa mãn điều kiện của một cấu trúc đại số, ta sẽ ký hiệu cấu trúc đại số là [Only registered and activated users can see links]*%29.
Chúng ta cũng lưu ý sự khác biệt giữa cấu trúc đại số và khái niệm hàm đại số vẫn gặp ở môn toán bậc phổ thông.
Nhóm
Trước tiên, hiểu sơ lược rằng nhóm là một cấu trúc đại số được xác định bởi ba tính chất tiêu biểu là (i) tính kết hợp; (ii) tồn tại của một phần tử trung tính, và phần tử đối xứng. Tính chất kết hợp đã được nghiên cứu ở trên. Tiếp theo, chúng ta xem xét hai tính chất khác của nhóm.
Các khái niệm xung quanh nhóm
Dưới đây là một số khái niệm quan trọng bổ sung kiến thức cho chúng ta về tính chất của các cấu trúc đại số.
Phần tử trung tính của luật trong
Định nghĩa dưới đây mô tả tính chất rõ nét nhất của phần tử trung tính, thường tương ứng với số [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] trong luật hợp thành trong toán tử nhân và cộng.
Định nghĩa. Phần tử trung tính [Only registered and activated users can see links]
Phần tử [Only registered and activated users can see links] được gọi là phần tử trung tính của luật hợp thành trong [Only registered and activated users can see links]* định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] nếu nó thỏa mãn điều kiện
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20x%5Cin%20X,%5Cexists%20%5Cmathbf%7B e%7D%5Cin%20X%5C;%5Ctextrm%7Bsao%5C;cho%5C;%7Dx*%5 Cmathbf%7Be%7D=x=%5Cmathbf%7Be%7D*x.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation%7D%3Cbr%20/%3E
Rõ ràng nếu [Only registered and activated users can see links] tồn tại, thì nó là duy nhất. Ví dụ phần tử [Only registered and activated users can see links] này là số [Only registered and activated users can see links] đối với phép nhân [Only registered and activated users can see links] (hoặc [Only registered and activated users can see links]) với các số thực [Only registered and activated users can see links] Ta thấy ngay phép nhân số thực bất kỳ với [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E1%5Ccdot%20x%20=%20x%20=%20x%5Ccdot%201,%5Cfora ll%20x%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Một ví dụ khác là số [Only registered and activated users can see links] với phép cộng các số thực, [Only registered and activated users can see links] thông qua biểu thức
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E0+x=x=x+0.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Phần tử đối xứng hay nghịch đảo
Định nghĩa . Phần tử đối xứng.
Cho [Only registered and activated users can see links]*%29. Phần tử đối xứng, hay nghịch đảo, của [Only registered and activated users can see links] trong tương quan với luật hợp thành [Only registered and activated users can see links]*, ký hiệu là [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn điều kiện sau
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cexists%5Cmathbf%7Be%7D%5C;%5Ctextrm%7Band%7D %5C;%5Coverline%7Bx%7D*x=%5Cmathbf%7Be%7D=x*%5Cove rline%7Bx%7D.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Đối với hệ thống số thực, xét [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] như hai phần tử trung tính, ta có thể thu được các phần tử đối xứng với [Only registered and activated users can see links] qua luật hợp thành trong [Only registered and activated users can see links] (cũng thường được ký hiệu theo cách khác là [Only registered and activated users can see links]) và [Only registered and activated users can see links] lần lượt là:
[Only registered and activated users can see links] với tính chất [Only registered and activated users can see links]
[ii.] [Only registered and activated users can see links] với tính chất [Only registered and activated users can see links]
[I]Chứng minh.
Nếu từng phần tử [Only registered and activated users can see links] đều có phần tử nghịch đảo tương ứng [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links]*y có một phần tử nghịch đảo duy nhất chính là [Only registered and activated users can see links]*%5Coverline%7By%7D.
Nhóm
Sau khi trang bị một cấu trúc [Only registered and activated users can see links]*%29 như trên, chúng ta sẽ định nghĩa nhóm như sau.
Định nghĩa . Cho cấu trúc đại số [Only registered and activated users can see links]*%29, bao gồm tập [Only registered and activated users can see links] đóng đối với luật hợp thành trong [Only registered and activated users can see links]*. [Only registered and activated users can see links]*%29 được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
[Only registered and activated users can see links]* có tính chất kết hợp;
[Only registered and activated users can see links] hbf%7Be%7D; và,
[Only registered and activated users can see links] rline%7Bx%7D.
Theo định nghĩa này, ta sẽ đưa ra một số ví dụ về cấu trúc đại số là nhóm và không phải nhóm dưới đây.
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] là một nhóm.
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] không là nhóm.
[Only registered and activated users can see links] Định nghĩa tập [Only registered and activated users can see links] %7BR%7D%5Csetminus%5C%7B0%5C%7D, thì [Only registered and activated users can see links] es%29 là một nhóm.
Nhóm giao hoán
Ta biết rằng nếu [Only registered and activated users can see links]*y=y*x thì hai phần tử này được gọi là có tính thể hoán vị. Khi luật trong [Only registered and activated users can see links]* thỏa mãn điều kiện
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20X%5Ctimes%20X,%20x *y=y*x%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
thì [Only registered and activated users can see links]* có tính chất giao hoán.
Định nghĩa . Nhóm giao hoán.
Cho [Only registered and activated users can see links]*%29 là một nhóm. Nếu luật trong [Only registered and activated users can see links]* có tính chất giao hoán, thì [Only registered and activated users can see links]*%29 được gọi là nhóm giao hoán.
Định lý. Luật trong không giao hoán. Một luật trong [Only registered and activated users can see links]* không giao hoán nếu chỉ tồn tại một cặp [Only registered and activated users can see links] bất kỳ sao cho [Only registered and activated users can see links]*y%5Cneq%20y*x.
Một số ví dụ minh họa.
[Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] es%29 là các nhóm giao hoán.
[Only registered and activated users can see links] Hàm hợp thành từ các ánh xạ không giao hoán. Giả sử cho [Only registered and activated users can see links] và hai song ánh [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] Ta thấy [Only registered and activated users can see links] %5D=f%281%29=2, và [Only registered and activated users can see links] %5D=g%282%29=3. Như vậy [Only registered and activated users can see links] %20f%5D.
Giả sử ta định nghĩa phép cộng từng phần tử của hai cặp số thực như sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%28x_1,x_2%29+%28y_1,y_2%29%20=%20%28x_1+y_1,x_ 2+y_2%29,%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
và phép cộng này là luật hợp thành trong của [Only registered and activated users can see links] 7D. Luật trong này có tính chất giao hoán. Ta cũng có phần tử trung tính với phép cộng này là [Only registered and activated users can see links] Phần tử đối xứng với mọi cặp [Only registered and activated users can see links] chính là [Only registered and activated users can see links] Bên cạnh đó [Only registered and activated users can see links] từng phần tử có thể thấy rõ là có tính kết hợp.
Chứng minh. [Only registered and activated users can see links] 7D với luật trong cộng từng phần tử của các cặp số là một nhóm giao hoán.
Nhóm cộng tính
Chứng minh . [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links] là tập hợp chứa các bộ [Only registered and activated users can see links]ố thực trên đó xác định phép cộng từng phần tử giữa các cặp định nghĩa như sau
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%28x_1,x_2,%5Cdots,x_k%29%20+%20%28y_1,y_2,%5Cd ots,y_k%29%20=%20%28x_1+y_1,x_2+y_2,%5Cdots,x_k+y_ k%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
chính là một nhóm giao hoán.
Chứng minh. [Only registered and activated users can see links]
Cho tập [Only registered and activated users can see links] Tập [Only registered and activated users can see links] là tập chứa các ánh xạ [Only registered and activated users can see links] trên đó xác định một phép cộng gọi là cộng ảnh như sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20x%5Cin%20X,%5Bf+g%5D%28x%29=f%28x%2 9+g%28x%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
chính là một nhóm giao hoán.
Chứng minh. Ta biết rằng luật trong [Only registered and activated users can see links] định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] sao cho [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5B%28f+g%29+h%5D%28x%29&=&%20%5Bf+g%5D%28x%29+h%28x%29=f%28x%29+g%28x%29+h%2 8x%29%5C%3Cbr%20/%3E&=&%20f%28x%29+%5Bg+h%5D%28x%29=%5Bf+%28g+h%29%5D%28x %29.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Beqnarray*%7D%3Cbr%20/%3E
Ngoài ra ta cũng có các tính chất
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Bf+g%5D%28x%29%20=%20f%28x%29+g%28x%29=%5Bg+f %5D%28x%29%20%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cbegin%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Bf+0%5D%28x%29%20=%20f%28x%29+0%20=%20f%28x%2 9%20%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cbegin%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E%5Bf-f%5D%28x%29%20=%20f%28x%29-f%28x%29=0=%5B0%5D%28x%29%20%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Trong đó [Only registered and activated users can see links] là một ánh xạ không đổi. Như vậy định đề đã được chứng minh.
Ví dụ [Only registered and activated users can see links]
Tập hợp [Only registered and activated users can see links] gồm các chuỗi số thực trên đó định nghĩa phép cộng trên từng phần tử của chuỗi:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%28x_n,n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%29+%28y_n,n%5Cin% 5Cmathbb%7BN%7D%29=%28x_n+y_n,n%5Cin%5Cmathbb%7BN% 7D%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
là một nhóm giao hoán.
Định đề tổng quát
Ta sẽ tổng quát hóa định đề về hợp thành các ánh xạ qua hợp thành các ảnh thành tập [Only registered and activated users can see links] chứa các ánh xạ [Only registered and activated users can see links] và phát biểu định đề dưới đây.
Định đề. [Only registered and activated users can see links]
Cho tập [Only registered and activated users can see links] và nhóm [Only registered and activated users can see links]*%29. Tập [Only registered and activated users can see links] chứa các ánh xạ [Only registered and activated users can see links] trên đó định nghĩa luật hợp thành trong là hợp thành của các ảnh theo cách sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20x%5Cin%20X,%20%5Bf*g%5D%28x%29%20=% 20f%28x%29*g%28*%29.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
[Only registered and activated users can see links] là một nhóm. Nếu [Only registered and activated users can see links] là nhóm giao hoán, thì [Only registered and activated users can see links] cũng là nhóm giao hoán.
Chứng minh tương tự theo cách của định đề đã phát biểu trước đó.
Nhóm con
Ràng buộc của một luật hợp thành trong ([Only registered and activated users can see links])hoặc qui nạp
Cho tập con [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] Ràng buộc đối với các phần tử thuộc [Only registered and activated users can see links] của một luật trong [Only registered and activated users can see links]* định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] xác định một luật trong trên [Only registered and activated users can see links] nếu và chỉ nếu hợp thành của hai phần tử nào đó thuộc [Only registered and activated users can see links] là một phần tử thuộc [Only registered and activated users can see links] nghĩa là
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20A%5Ctimes%20A,%20x *y%5Cin%20A.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Nếu luật hợp thành trong trên [Only registered and activated users can see links] có tính chất kết hợp, thì ràng buộc của nó trên [Only registered and activated users can see links] cũng có tính chất này. Tương tự với tính chất giao hoán.
Nhóm con
Cho nhóm [Only registered and activated users can see links]*%29, và [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] được gọi là nhóm con nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) Ràng buộc của một luật định nghĩa trên [Only registered and activated users can see links] là một luật trên [Only registered and activated users can see links]
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20G%5E2_S,%20x*y%5Ci n%20G_S%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
(2) [Only registered and activated users can see links]*%29 là một nhóm.
Định đề. Điều kiện cần và đủ để một tập con [Only registered and activated users can see links] [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con là:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20G%5E2_S,%20x*%5Cov erline%7By%7D%5Cin%20G_S%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
trong đó [Only registered and activated users can see links] là phần tử đối xứng của [Only registered and activated users can see links] trong [Only registered and activated users can see links]
Chứng minh.
Điều kiện cần. Cho [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là nhóm con. Phần tử [Only registered and activated users can see links] có một phần tử đối xứng [Only registered and activated users can see links] và nó cũng là phần tử đối xứng của [Only registered and activated users can see links] trong tập [Only registered and activated users can see links] do tính chất duy nhất của tính đối xứng. Ta có thể rút ra được [Only registered and activated users can see links]*%5Coverline%7By%7D%5Cin%20G_S.
Điều kiện đủ. Giả sử rằng [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] *%5Coverline%7By%7D%5Cin%20G_S. Do giả thiết rằng [Only registered and activated users can see links] chứa ít nhất một phần tử [Only registered and activated users can see links] do đó [Only registered and activated users can see links] và suy ra [Only registered and activated users can see links]*%5Coverline%7Bx%7D% 5Cin%20G_S. Ta qui nạp rằng [Only registered and activated users can see links] bf%7Be%7D,x%29%5Cin%20G%5E2_S và [Only registered and activated users can see links]*%5 Coverline%7Bx%7D%5Cin%20G_S. Tiếp theo, nếu [Only registered and activated users can see links] thì suy ra [Only registered and activated users can see links] 2_S, [Only registered and activated users can see links]*y%5Cin%20G_S. Ta đã chỉ ra rằng ràng buộc của luật trên [Only registered and activated users can see links] đối với [Only registered and activated users can see links] là luật trong trên [Only registered and activated users can see links] vì thế [Only registered and activated users can see links] luôn có một phần tử đối xứng qua [Only registered and activated users can see links]* là [Only registered and activated users can see links] Như vậy, [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links] theo định nghĩa.
Một số tính chất của nhóm con
Một số tính chất phổ biến của nhóm con là:
(1) Nhóm con của nhóm giao hoán có tính chất giao hoán.
(2) Phần tử trung tính [Only registered and activated users can see links] nằm trong tất cả các nhóm con [Only registered and activated users can see links]
(3) Giao của các nhóm con của [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links]
Đẳng cấu của các nhóm
Định nghĩa . Đồng phôi(Đây là khái niệm có xuất xứ từ âm tiếng Anh của từ morphologic có nghĩa là liên quan đến cách thức cấu tạo. Ở đây, cấu tạo hiểu theo nghĩa phương thức hợp thành nên ảnh qua ánh xạ.)
Cho hai nhóm [Only registered and activated users can see links]*%29 và [Only registered and activated users can see links]**%29. Ta định nghĩa đồng phôi của các nhóm này là một ánh xạ [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn điều kiện sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3E%5Cforall%20%28x,y%29%5Cin%20G%5E2,f%28x*y%29=f %28x%29**f%28y%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Một đẳng cấu [Only registered and activated users can see links] từ [Only registered and activated users can see links] trên [Only registered and activated users can see links] là song ánh của [Only registered and activated users can see links] trên [Only registered and activated users can see links] mà chính nó là một đồng phôi.
Các tính chất quan trọng
Giả sử chúng ta có một đẳng cấu [Only registered and activated users can see links] của các nhóm từ tập [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] ta tiếp cho [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] là các phần tử có quan hệ như sau:
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3Eu=f%28x%29,v=f%28y%29%5Cquad%20x=f%5E%7B-1%7D%28u%29,y=f%5E%7B-1%7D%28v%29%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
Các tính chất dưới đây có ý nghĩa quan trọng đối với việc xem xét quan hệ giữa các toán tử hai ngôi [Only registered and activated users can see links]* và [Only registered and activated users can see links]** định nghĩa lần lượt trên [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links]
(1) Ánh xạ nghịch [Only registered and activated users can see links] là một đẳng cấu từ [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] Nghĩa là với giả định [Only registered and activated users can see links] ta có [Only registered and activated users can see links]*y%29=u**v, do đó [Only registered and activated users can see links]*f%5E%7B-1%7D%28v%29=x*y=f%5E%7B-1%7D%28u**v%29. Khi tồn tại cả [Only registered and activated users can see links] lẫn [Only registered and activated users can see links] và chúng đều là đẳng cấu lần lượt từ [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] thì [Only registered and activated users can see links] và [Only registered and activated users can see links] được gọi là hai nhóm đẳng cấu.
(2) Cho [Only registered and activated users can see links] là hai nhóm đẳng cấu, nếu một trong hai là nhóm giao hoán, thì nhóm kia cũng là nhóm giao hoán. Như vậy, giả sử [Only registered and activated users can see links] là nhóm giao hoán, thì [Only registered and activated users can see links] %20H, ta có [Only registered and activated users can see links]**v=f%28x*y%29=f%28y*x%29=v**u. Điều này hoàn toàn có thể cảm nhận trực quan.
(3) Ảnh của một phần tử trung tính qua một đẳng cấu chính là phần tử trung tính của ảnh. Ảnh của một phần tử đối xứng qua đẳng cấu chính là phần tử nghịch đảo của ảnh. Nghĩa là, [Only registered and activated users can see links] D%5Cin%20G
[Only registered and activated users can see links]*%7D%3Cbr%20/%3Eu**f%28%5Cmathbf%7Be%7D=f%28x*%5Cmathbf%7Be%7D% 29=f%28x%29=u%5C;%5Ctextrm%7Band%7D%20f%28%5Cmathb f%7Be%7D%29**u=f%28%5Cmathbf%7Be%7D*x%29=f%28x%29= u.%3Cbr%20/%3E%5Cend%7Bequation*%7D%3Cbr%20/%3E
(4) Tập ảnh qua [Only registered and activated users can see links] của một nhóm con [Only registered and activated users can see links] là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links]
Một số ví dụ
Một số ví dụ sau sẽ minh họa cho các khái niệm trừu vừa đề cập tới ở phần trên.
Ánh xạ đổi dấu [Only registered and activated users can see links] w%20-x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D là một đẳng cấu từ [Only registered and activated users can see links] lên chính nó.
Ánh xạ [Only registered and activated users can see links] ongrightarrow%201/x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5E%5Cbullet là một đẳng cấu từ [Only registered and activated users can see links] lên chính nó.
Tập [Only registered and activated users can see links] llet;%5Cexists%20p%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D,x=2%5Ep%5C %7D là một nhóm con của [Only registered and activated users can see links] t%29.
Hàm lô-ga-rít nê-pê (cơ số tự nhiên) [Only registered and activated users can see links] là một song ánh từ [Only registered and activated users can see links] lên [Only registered and activated users can see links] thỏa mãn điều kiện [Only registered and activated users can see links] 5Cln%28y%29. Nó chính là một đẳng cấu từ nhóm [Only registered and activated users can see links] dot%29 lên nhóm cộng tính [Only registered and activated users can see links] Hàm nghịch của nó, tức là hàm mũ là đẳng cấu theo chiều ngược lại.
Theo SAGA